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Trigonométrie Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle. SinusCosinusTangente.

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1 Trigonométrie Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle. SinusCosinusTangente

2 Elle est très utilisée dans différents domaines; notons, entre autre : La géodésie, la topographie, larpentage, lastronomie, les techniques de communication, le système de position global ( GPS ), etc. La trigonométrie est une partie des mathématiques qui sintéresse à la triangulation, cest-à-dire aux situations que lon peut étudier à laide des triangles.

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4 Plusieurs de ces sciences travaillent à partir de deux dimensions principales: lhorizontalité etla verticalité Sachant que ces deux dimensions sont nécessairement perpendiculaires une à lautre, le triangle rectangle est donc un outil très utilisé. La trigonométrie sintéresse donc aux relations entre les côtés et les angles dans les triangles.

5 Avant daborder tout problème de trigonométrie, il faut savoir nommer les côtés dun triangle rectangle. Hypoténuse (cest le plus grand des côtés, cest aussi le côté opposé à langle droit). Côté opposé à langle. Côté adjacent à langle. Attention Côté adjacent à langle. Hypoténuse Côté opposé à langle.

6 Les mots sinus, cosinus et tangente représentent des rapports entre les côtés dun triangle rectangle. A B C Sinus dun angle: le rapport de la mesure du côté opposé à langle sur la mesure de lhypoténuse. Sin A : m CB m AC = = 0,6 Cosinus dun angle: le rapport de la mesure du côté adjacent à langle sur la mesure de lhypoténuse. Cos A : m AB m AC 4 5 = = 0,8 Tangente dun angle: le rapport de la mesure du côté opposé à langle sur la mesure du côté adjacent à langle. Tan A : m CB m AB 3 4 = = 0,75 Relations entre les côtés

7 ypoténuse Pour taider à les retenir, utilise ce petit truc :Soh Cah Toa A B C Soh inus : pposé ypoténuse Cah osinus : djacent Toa angente :pposé

8 De quel rapport sagit-il ? a b c a b : tangente a c : sinus b c : cosinus a b c a c : b a : tangente b c : sinus

9 Quel rapport représente : a b c b a tangente : b c sinus : a c cosinus : a b c a b tangente : a c sinus : b c cosinus :

10 Que valent les rapports suivants : tangente : sinus : cosinus : tangente : sinus : cosinus : ou0, ou0, ou0, ou 1, ou0, ou0,6

11 Le rapport tangente est le seul qui peut être plus grand que 1. Remarque: Les cathètes étant plus petites que lhypoténuse, les rapports sinus et cosinus sont toujours < A B C Sin A : Cos A : Sin B : Cos B : 3 4 Tan A : 4 3 Tan B : le rapport sinus en fonction de langle A. le rapport sinus en fonction de langle B.

12 Relations avec les angles Il existe une relation étroite entre les côtés et les angles dun triangle. Observe la longueur du côté face à langle est influencée par la grandeur de langle. Conséquemment, lautre angle aigu diminue à mesure que le premier augmente et le côté qui lui fait face diminue aussi. Pour une même longueur dhypoténuse,

13 À linverse, on pourrait créer plusieurs triangles rectangles sans changer la mesure de langle aigu , ,5 Tous ces triangles sont semblables par la propriété AA. Donnons-leurs des mesures. Tous les rapports SINUS sont égaux à : 1 2 0, ,5 3 == Donc un rapport sinus de ou 0,5 signifie que langle mesure Dans un triangle rectangle possédant un angle de 30 0, la mesure du côté faisant face à langle de 30 0 vaut la moitié de la mesure de lhypoténuse. Dans les triangles semblables, les rapports des côtés homologues sont proportionnels.

14 Les rapports entre les côtés Il en est de même pour tous les triangles rectangles ayant des angles homologues isométriques. sinus, cosinus et tangente vont donc nous aider à déterminer la mesure des angles qui leurs sont associés. Exemples: tous les triangles rectangles ayant un angle de 45 0 auront les mêmes valeurs sinus, cosinus et tangente. tous les triangles rectangles ayant un angle de 60 0 auront les mêmes valeurs sinus, cosinus et tangente

15 Anciennement, il fallait utiliser une table de rapports trigonométriques. Cette table indiquait la valeur des angles associés à chaque rapport trigonométrique. Exemples: Pour connaître la mesure de langle associé à un rapport sinus de : 0, m = 0, m = 0, m =

16 Aujourdhui, on utilise lordinateur, la calculatrice scientifique ou la calculatrice à affichage graphique. Attention Il faut préparer la calculatrice. Par défaut, la calculatrice est programmée pour déterminer les angles en utilisant une autre unité de mesure, soit le radian. Le radian est une unité de mesure utilisée pour évaluer les angles dans le cercle trigonométrique. Dans les triangles, nous utilisons le degré ( 0 ) pour évaluer les angles. Il faut donc en changer le réglage.

17 Pèse sur le bouton Mode Dans le menu qui apparaît, sélectionne degré à laide des flèches bleues. Pèse sur pour confirmer. ENTER Attention Si tu réinitialises: nd la calculatrice reviendra en mode radian. Donc avant de commencer un travail de trigonométrie, assure-toi dêtre en mode degré.

18 Repère les touches sin cos tan ce sont les touches à utiliser. Calculons la valeur de langle associé à un sinus de 0,5. Voici la séquence: 1) Pèse sur la touche 2nd puis sur la touche sin La fenêtre daffichage inscrira sin -1 ; cela signifie quelle est prête à donner la valeur de langle. 2)Inscris la valeur du sinus : 0,5 et pèse sur ENTER La calculatrice indiquera 30 soit 30 0.

19 Détermine les mesures dangles associés aux rapports trigonométriques suivants: Tan A = 0,7211m A = 35, ,8 0 Remarque:Pour les besoins de nos calculs, un chiffre après la virgule est suffisant. Tan -1 0,7211 Cos B = 0,4226m B = 65, Cos -1 0,4226 Sin A = 0,4848m A = 28, Sin -1 0,4848 Tan A = 6,3138m A 81 0 Tan -1 6,3138

20 Quelles sont les mesures des angles du triangle suivant ? A B C Sin A = 3 5 = 0,6Sin -1 0,6 36,9 0 Remarque: Pour calculer plus rapidement et plus précisément, tu peux utiliser la séquence suivante: Sin -1 ( 3 ÷ 5 ) ENTER 36,9 0 Remarque: Tu aurais pu déterminer la mesure de langle A en utilisant nimporte quel rapport. Cos -1 ( 4 ÷ 5 ) 36,9 0 Tan -1 ( 3 ÷ 4 ) 36,9 0 car les rapports entre les côtés ne sont pas les mêmes mais langle associé, oui. 36,9 0

21 A B C Quelle est la mesure de langle C? Ici encore, on pourrait utiliser nimporte lequel des trois rapports sinus, cosinus ou tangente pour déterminer la mesure de langle C. Mais, on peut aussi le déterminer en utilisant soit laxiome: « La somme des mesures des angles intérieurs dun triangle = donc m C = ( ,9 0 ) 53,1 0 soit laxiome: « Les angles aigus dun triangle rectangle sont complémentaires. donc m C = ,9 0 53,1 0

22 Détermine la mesure des angles de ce triangle. 4,1 7,2 D E F À partir des informations fournies, il faut utiliser le rapport tangente. Soit Tan F : Tan -1 ( 4,1 ÷ 7,2 ) 29,7 0 Soit Tan D : Tan -1 ( 7,2 ÷ 4,1 ) 60,3 0 et m D = ,7 0 60,3 0 m F = 29,7 0 et m F = 90 0 – 60,3 0 29,7 0 m D 60,3 0 4,1 7,2 4,1

23 Remarque: Les rapports trigonométriques ne sont définis que pour les angles aigus dun triangle rectangle, car, comme le triangle est rectangle, on connaît déjà langle de et avec cet angle les rapports sinus, cosinus et tangente nont pas vraiment de signification. hypoténuse Sinus : côté opposé hypoténuse Cosinus : hypoténuse côté adjacentlequel ? Tangente: côté opposé côté adjacent lequel ? hypoténuse ?

24 Dans le triangle ci-contre, que vaut la mesure de langle θ ? 6 cm 4,8 cm θ AB C Remarque : est la huitième lettre de lalphabet grec. Elle se prononce et sécrit thêta. Elle sert souvent de symbole pour identifier un angle : m θ. θ Selon les informations, il faut utiliser le rapport cosinus. Cos θ = 4,8 6 m θ =Cos -1 ( 4,8 ÷ 6 ) 36, m 65 m A B C Dans le triangle ci-contre, que vaut la mesure de langle A ? Selon les informations, il faut utiliser le rapport sinus. Sin A = m A =Sin -1 ( 65 ÷ 70 ) 68,2 0.

25 Quelle est la mesure de langle délévation dun segment ayant une pente de 23% ? Remarque: est toujours déterminée en fonction sur lhorizontalité.de la verticalité Une pente de 23% veut donc dire Langle délévation peut donc être calculer avec le rapport tangente. Tan A = m A =Tan -1 ( 23 ÷ 100 ) La pente ou linclinaison dun segment Langle délévation est langle du regard vers le haut. Langle de dépression est langle du regard vers le bas. Remarque :

26 Conclusion Les rapports trigonométriques SINUS, COSINUS ET TANGENTE sont des outils très utilisés pour résoudre des situations triangulaires. Nous venons de voir comment, avec la calculatrice et ces rapports, nous pouvons déterminer les angles dun triangle rectangle. Exemple:Sinus θ : côté opposé à langle hypoténuse Sin -1 = m θ La calculatrice permet aussi de déterminer le rapport trigonométrique associé à un angle. Exemple :Que vaut le rapport sinus dun angle de 48 0 ? Démarche: Pèse sur la touche Sin 1) la calculatrice affiche sin. 2) Inscris la mesure de langle et pèse sur ENTER La calculatrice affiche 0, ,cest le rapport entre les côtés. La calculatrice sera très utile pour résoudre des triangles.


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