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Inéquations du premier degré à deux variables. Inéquation du premier degré à deux variables Dans un magasin, on vend des téléphones cellulaires de type.

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1 Inéquations du premier degré à deux variables

2 Inéquation du premier degré à deux variables Dans un magasin, on vend des téléphones cellulaires de type A à 55,00 $ et dautres de type B à 85,00 $. Si le montant mensuel des ventes pour ces deux types dappareil est dau plus 3 540,00 $, combien de téléphones de chaque type pourrait-on vendre ? Exemple : 1. Les variables sont : - le nombre de téléphones de types A : x - le nombre de téléphones de types B : y 2. Linéquation est : 55x + 85y 3 540,00 $. Une solution dune inéquation du premier degré à deux variables correspond à un couple de valeurs qui vérifient cette inéquation. Lensemble des couples qui vérifient une inéquation du premier degré à deux variables est appelé lensemble-solution.

3 3.Linéquation est : 55x + 85y 3540, , ,00. 55,00 X ,00 X ,00 soit En substituant 8 à x et 14 à y, on obtient: 8 téléphones à 55,00 $ et 14 téléphones à 85,00 $. On pourrait vendre, par exemple: Le couple ( 8, 14 ) est donc une solution de cette inéquation, car il rend linéquation vraie. Vrai

4 3.Linéquation est : 55x + 85y 3540 Remarque: Il y a dautres combinaisons possibles Il y a donc beaucoup de solutions possibles, mais il faudra toujours obtenir un montant total inférieur à $. Exemple: 10 téléphones à 55,00 $ et 20 téléphones à 85,00 $. (dautres solutions possibles); 55,00 X ,00 X ,00 soit 2 250, ,00. Vrai Il y a donc beaucoup de solutions possibles.

5 3.Linéquation est : 55x + 85y 3540 Remarque: Certains couples ne sont pas des solutions de linéquation. Ce qui est faux car 3 775, ,00. Exemple: 30 téléphones à 55,00 $ et 25 téléphones à 85,00 $. 55,00 X ,00 X 25 = 3 775, , ,00. Le couple (30, 25) nest donc pas solution de linéquation.

6 Demi-plan Tous les points dont les coordonnées vérifient linéquation sont situés du même côté de la droite correspondant à léquation formée à partir de cette inéquation. Comme lensemble-solution dune inéquation peut comporter une grande quantité de couples, il est préférable de représenter graphiquement lensemble-solution dune inéquation du premier degré à deux variables dans un plan cartésien. Lensemble de ces couples forme un demi-plan qui représente lensemble-solution de cette inéquation. Habituellement, on colorie ou on hachure ce demi-plan.

7 Demi-plan La droite frontière dun demi-plan correspond à un trait plein lorsque léquation fait partie de linéquation ( ou ). La droite frontière dun demi-plan correspond à un trait en pointillé lorsque léquation en est exclue ( ).

8 y 2x – 3 Exemple 1 Soit linéquation suivante : Il faut tout dabord tracer la droite frontière dans le plan cartésien. y = 2x – 3 On procède comme si cétait une équation. On calcule 2 couples de coordonnées en utilisant léquation. y = 2x – 3 Pour x = -2 donc (-2, -7) Pour x = 4 y = 2 X -2 – 3 = -7 y = 2 X 4 – 3 = 5 donc (4, 5)

9 y 2x – 3 Exemple 1 Soit linéquation suivante : On choisit quelques couples pour connaître lesquels vérifient linéquation. Ex : P1 ( 0, 0 ) y 2x – 3 0 2(0) – Linégalité est vraie donc le P1 ( 0, 0 ) fait partie de lensemble-solution. P1 P2 Ex : P2 ( 6, 4 ) y 2x – 3 4 2(6) – Linégalité est fausse donc le P2 ( 6, 4 ) ne fait pas partie de lensemble-solution. Ex : P3 ( -8, -5 ) y 2x – (-8) – Linégalité est vraie donc le P3 ( -8, -5 ) fait partie de lensemble-solution. P3 On hachure alors le demi-plan contenant les couples-solutions qui vérifient linéquation. Cest lensemble-solution. VraiFauxVrai On trace un trait plein, car léquation fait partie de linéquation. Ex : P4 ( -2, -7 ) y 2x – (-2) – 3 -7 Linégalité est vraie donc le P4 ( -2, -7 ) fait partie de lensemble-solution. P4 Vrai On remplace alors x et y dans linéquation pour vérifier si linégalité est vraie.

10 y > -3x + 4 Exemple 2 Soit linéquation suivante : Il faut tout dabord tracer la droite dans un plan cartésien. y = -3x Ex : P1 ( 0, 0 ) y > -3x > -3(0) > 4 P1 P2 Ex : P2 ( 6, 4 ) y > -3x > -3(6) +4 0 > -14 Ex : P3 ( 2, 3 ) y > -3x > -3(2) > -2 P3 FauxVrai On trace un trait pointillé, car léquation ne fait pas partie de linéquation. Ex : P4 ( 3, -5 ) y > -3x > -3(3) > -5 P4 Faux On hachure alors le demi-plan contenant les couples-solutions qui vérifient linéquation. Cest lensemble-solution. On choisit quelques couples pour connaître lesquels vérifient linéquation.

11 Problème Les ingénieures et ingénieurs forestiers classifient parfois les forêts selon leur densité. On qualifie une forêt de « dense » lorsquon y dénombre plus de arbres par hectare ( m 2 ). On sintéresse au nombre de conifères et de feuillus par hectare qui composent une forêt du nord de lAbitibi dans le but de classifier cette forêt. Représente graphiquement cette situation. 1) Les variables sont:x: le nombre de conifères y: le nombre de feuillus 2) Linéquation est :x + y > 1 000

12 3) Construire le graphique. 4) Tracer la droite à partir de linéquation: x + y > donc y = -x ) Déterminer la zone à hachurer en utilisant un couple quelconque. Exemple:( 0, 0 ) > Faux Le couple ( 0, 0 ) ne fait pas partie de la région-solution ( lensemble-solution) car il rend linéquation fausse. Donc, il faut hachurer le demi-plan ne contenant pas ce couple. Remarque:Lorsque le couple ( 0, 0 ) nest pas sur la droite frontière, on peut lutiliser car il facilite les calculs Nombre de conifères par hectare Nombre de feuillus par hectare x y 0 Essences forestières


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