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Rappel: V.A. discrètes: 1. 2., 3. 4., 5.Moyenne 6.Variance 7.Écart type.

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1 Rappel: V.A. discrètes: 1. 2., 3. 4., 5.Moyenne 6.Variance 7.Écart type

2 Distribution Hypergéométrique x = Nombre des individus dans léchantillon qui possèdent la caractéristique étudiée: max(0, n –(N-r)) x min(n, r), N = taille de la population n = taille de léchantillon r = Nombre des individus dans la population qui possèdent la caractéristique étudiée p = proportion des individus de la population qui possèdent la caractéristique étudiée

3 x: nombre de succès en n tirages: p: la probabilité dobtenir x succès en n tirages. n: nombre dépreuves de Bernoulli(nombre de tirage) Distribution Binomiale

4 X = Le nombre de succès obtenus pendant une durée de temps donnée: t = Période de temps considérée = Intensité du processus considéré (constante de proportionnalité) ; correspond au nombre moyen de succès pour une période de temps unitaire. λ = nombre moyen de succès dans lintervalle de temps considéré e = … Distribution de Poisson

5 Exercice 1 Les demandes journalières successives sont supposées indépendantes. a) Calculer lespérance et lécart type de Q. b) En supposant que le stock est toujours de 5 unités en début de journée, calculer la probabilité que, sur une semaine de 6 jours, on nait une rupture de stock1 que le dernier jour de la semaine. c) Le prix de vente dun article est de 400 $, tout invendu entraîne une perte de 100 $. De plus, le coût dune rupture de stock est de 40 $. En supposant un stock journalier de 5 unités, donner les différentes valeurs possibles du bénéfice et calculer son espérance. Note (1) : Une rupture de stock survient lorsque la demande excède la quantité en main dun article donné. Quantité Q f(X) La demande journalière Q dun produit obéit à la loi de probabilité suivante :

6 a) E(X) = (0 x 0,05) + (1 x 0,15) + (2 x 0,25 ) + (3 x 0,30) + (4 x 0,15) + (5 x 0,05) + (6 x 0,05)= 2,70 E(X 2 ) = (0 x 0,05) + (1 2 x 0,15) + (2 2 x 0,25 ) + (3 2 x 0,30) + (4 2 x 0,15) + (5 2 x 0,05) + (6 2 x 0,05)= 9,30 Var (X) = E(X 2 ) – (E(X)) 2 = 9,30 – (2,70)2 = 2,01 Lécart type est donc la racine de la variance donc la racine de 2,01 = 1,4177 b) P(X5) 5 x P(X>5)=(F(X=5)) 5 x f(X=6)= 0,95 5 x 0,05 = 0,0387 c) Pour obtenir ces valeurs, on sais que chaque jour 5 unités de larticle sont en stock, si la demande pour une journée particulière est nulle alors 100$ par unité stockée en trop sont perdu doù une perte de 500 $. Si pour une journée particulière on a une demande dune unité et bien on fait un profit de 400$ pour cette unité vendue mais une perte de 100$ pour chacun des 4 unités non vendues doù le profit est nul. Et ainsi de suite. E(Profit) = (-500 x 0,05) + (0 x 0,15) + (500 x 0,25) + (1000 x 0,3) + (1500 x 0,15) + (2000 x 0,05) + ( 1960 x 0,05) = 823 $ Bénéfice f(x) 0,050,150,250,300,150,05

7 Exercice 2 Un vendeur reçoit une commission de $50.00 par vente. Pour les dernières semaines, ses efforts ont produit les résultats suivants : a.Déterminer la distribution de probabilité correspondant à la variable aléatoire X. b.Calculer la distribution de probabilité cumulée de X. c.Calculer la probabilité que le nombre de ventes hebdomadaire : a.excède 5 ; b.soit compris entre 1 et 4 inclusivement. d.Calculer lespérance et la variance de X. e.Calculer le revenu espéré du vendeur pour une semaine donnée. f.Calculer la probabilité que le revenu de la semaine suivante diffère du revenu moyen de plus de $100. x = # de ventes par semaine # de semaines où ces ventes sont réalisées

8 a. Déterminer la distribution de probabilité correspondant à la variable aléatoire On peut calculer les probabilités en calculant les fréquences relatives. Le nombre de semaines où x ventes sont réalisées sera divisé par le nombre total de semaines observées, soit 100 semaines. Par exemple, f(x=0) = P(X=0) = 3/100 = 0,03. x = # de ventes par semaine total f(x)

9 b. Calculer la distribution de probabilité cumulée de X ? La distribution de probabilité cumulée de X est la fonction de répartition F(x). Par exemple, F(x=3) = P(X 3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) =0,03+0,12+0,15+0,20 = 0,50. x = # de ventes par semaine F(x)

10 c. Calculer la probabilité que le nombre de ventes hebdomadaire : excède 5? soit compris entre 1 et 4 inclusivement? Ceci revient à calculer : P(X > 5) = P(X=6) +P(X=7) + P(X=8) = f(6) +f(7) + f(8) = 0,10 + 0,07 + 0, 03 = 0,20 Ou encore, P(X > 5) = 1 – P(X 5) = 1 - F(5) = 1 – 0,80 = 0,20 P(1 X 4) = P(X=1) +P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = f(1) +f(2) + f(3) + f(4) = 0,12 + 0,15 + 0, ,12 = 0,59 Ou encore, P(1 X 4) = P(0 < X 4) = F(4) – F(0) = 0,62 – 0,03 = 0,59.

11 d. Calculer lespérance et la variance de X? Ceci revient à calculer : E(X) = (0 x 0,03) + (1 x 0,12) + (2 x 0,15) + (3 x 0,20) + (4 x 0,12) + (5 x 0,18) + (6 x 0,10) + (7 x 0,07) + (8 x 0,03) = 3,73 semaines Var(X) = E(X 2 ) – (E(X)) 2 = (0 2 x 0,03) + (1 2 x 0,12) + (2 2 x 0,15) + (3 2 x 0,20) + (4 2 x 0,12) + (5 2 x 0,18) + (6 2 x 0,10) + (7 2 x 0,07) + (8 2 x 0,03) – (3,73) 2 = 3, 977

12 e. Calculer le revenu espéré du vendeur pour une semaine donnée? Sachant que le vendeur obtient $50 pour chaque vente réalisée, on peut établir les différentes valeurs possibles du revenu de la semaine (R): Le revenu espéré pour une semaine donnée est lespérance du revenu E(R). E(R) = (0 x 0,03) + ($50 x 0,12) + ($100 x 0,15) + ($150 x 0,20) + ($200 x 0,12)+ ($250 x 0,1) + ($300 x 0,10) + ($350 x 0,07) + ($400 x 0,03) = $186,50 Revenu f(x)

13 f. Calculer la probabilité que le revenu de la semaine suivante diffère du revenu moyen de plus de $100? Calculer la probabilité que le revenu de la semaine suivante diffère de plus de $100 du revenu moyen revient à calculer la probabilité que le revenu R dépasse le revenu moyen $186,50 de plus de $100 ou quil lui soit inférieur de plus de $100. Ceci revient donc à calculer : P(R $286,50) = P(R 50) + P(R 300) = P(X 1) + P(X 6) = P(X 1) + (1 - P(X 5)) = F(1) + (1 – F(5)) = 0,15 + (1 – 0,80) = 0,35.

14 Exercice 3 On considère une urne contenant trois boules jaunes, deux boules bleues, une boule rouge et quatre boules vertes. On tire, au hasard, une boule de l'urne. 1. Calculer la probabilité des événements suivants : J = "tirer une boule jaune" B = "tirer une boule bleue" R = "tirer une boule rouge" V = "tirer une boule verte" 2. En fonction de la couleur tirée, on se voit attribuer une somme d'argent selon la convention suivante : si la boule tirée est rouge, on gagne 10 $, verte, on gagne 2 $, jaune ou bleue, on gagne 3 $. Soit X la variable aléatoire qui associe, à chaque tirage le gain réalisé. a. Déduire de la question 1) : P(X = 2), P(X = 3) et P(X = 10). b. Calculer l'espérance mathématique de X, sa variance puis son écart– type. 3. Maintenant, on gagne toujours 10$ si la boule tirée est rouge, 2 $ si elle est verte mais on gagne 3 $ si elle est jaune et m $ si elle est bleue ; m désignant un réel positif. Calculer m pour que le gain moyen espéré soit de 4,5 $.

15 Réponse 1. Comme chaque boule a autant de chance dêtre tirée, on est dans une situation déquiprobabilité. La probabilité p dun événement peut donc se calculer comme suit : On a ainsi : P(J) =, P(B) =, P(R) =, P(V) =, 2. a. On a : P(X = 2) = P(V) = Comme les événements J et B sont incompatibles, on a : P(J B) = P(J) + P(B) Doù : P(X = 3) = P(J B) = P(J) + P(B) = P(X = 10) = P(R) = b. La loi de probabilité de X est donnée par le tableau ci-dessous

16 Réponse… L'espérance mathématique de X est donnée par : La variance de X est donnée par: Écart type: Valeurs de X Total Probabilité 1

17 Réponse… On souhaite avoir : Donc: Valeurs de Y Total Probabilité 1 Notons Y la nouvelle variable aléatoire correspondant au gain moyen dans cette situation. La loi de probabilité de Y est donnée par le tableau suivant :

18 Exercice 4 1. Une grande enveloppe contient les douze "figures" d'un jeu de carte : les quatre rois, les quatre dames et les quatre valets. On tire, simultanément et au hasard, cinq cartes de l'enveloppe. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de rois obtenus. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique. Interpréter. 2. Dans la même enveloppe contenant les mêmes douze cartes, on effectue successivement cinq fois le tirage d'une carte que l'on remet à chaque fois dans l'enveloppe. Soit Y la variable aléatoire dont la valeur est égale au nombre de rois obtenus au cours des cinq tirages. Déterminer la loi de probabilité de Y et calculer son espérance mathématique. Interpréter.

19 Réponse 1.La probabilité de choisir k rois (k::0, 1, 2, 3, 4) est: La loi de probabilité est donnée par: X 01234Total Probabilité 1 L'espérance mathématique de X est donnée par : En moyenne, le nombre de rois obtenus, par cette méthode de tirage, est 1,67.

20 Réponse 1bis.Si le tirage seffectue sans remise, alors la variable aléatoire X = le nombre de rois suit une loi Hypergéométrique de paramètres N=12, n=5 et p=4/12 = 1/3 (p est la proportion de rois dans les 12 cartes) L'espérance mathématique de X est donnée par : En moyenne, le nombre de rois obtenus, par cette méthode de tirage, est 1,67.

21 Réponse 2. Soit E l'expérience : "on tire, au hasard et avec remise, une carte de l'enveloppe et on regarde si c'est un roi. Cette expérience aléatoire possède deux issues : obtenir un roi (Succès) ou non (Échec). C'est donc une épreuve de Bernoulli de paramètre: p = P(Succès) = On répète, de manière indépendante, n = 5 fois cette épreuve de Bernoulli. La variable aléatoire Y (nombre de rois obtenus) représente le nombre de succès obtenus (0 Y 5) On peut donc affirmer que la variable aléatoire Y est binomiale de paramètre n = 5 et p = Donc:

22 Réponse La loi de probabilité est donnée par: Y Total Probabilité 0,1320,329 0,1650,0410,0041 L'espérance mathématique de X est donnée par : En moyenne, le nombre de rois obtenus, par cette méthode de tirage, est 1,67.

23 Exercice 5 a)Selon nos expériences dantan, un examen de statistique rencontre un taux de succès parfait (donc lobtention de la note A+) de 15 %. Quelle est la probabilité que, sur 10 étudiants sélectionnés aléatoirement dans l'auditoire, il y ait : a1)exactement 2 étudiants réussissant avec la note A+? a2)plus de 5 étudiants ne réussissant pas avec la note parfaite de A+? a3)Quelle est la moyenne ainsi que la variance de la note parfaite calculées sur la base de ces 10 étudiants sélectionnés aléatoirement?

24 a1) X suit une Bin~(n=10,p=0,15)

25 a2)plus de 5 étudiants ne réussissant pas avec la note parfaite de A+ peut être traduit par: 0 nayant pas A+ = 10 A+ 1 nayant pas A+ = 9 A+ 2 nayant pas A+ = 8 A+ 3 nayant pas A+ = 7 A+ 4 nayant pas A+ = 6 A+ 5 nayant pas A+ = 5 A+ 6 nayant pas A+ = 4 A+ 7 nayant pas A+ = 3 A+ 8 nayant pas A+ = 2 A+ 9 nayant pas A+ = 1 A+ 10 nayant pas A+ = 0 A+

26 Nous devons considérer seulement les valeurs rouges: X = le nombre de A+

27 a3)la moyenne et la variance de la note parfaite calculées sur la base de ces 10 étudiants sélectionnés aléatoirement Moyenne dune binomiale: E(x) = n * p = 10 * 0,15 = 1,5 Variance dune binomiale: V(x) = n * p * q = 10 * 0,15 *(1-0,15) =1,275


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