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Arithmétique et algèbre Continuités et ruptures : lettres, signe égal, expressions Module 1.

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1 Arithmétique et algèbre Continuités et ruptures : lettres, signe égal, expressions Module 1

2 Activité – analyse des erreurs délèves Analysez les réponses délèves : Identifiez les erreurs des élèves Pour chacune delles, apportez une explication Travail en groupes de 4 (30 min) Répartition des questions de la façon suivante : G1 : G2 : G3 : G4 : G5 : G6 :

3 Statut de la lettre Lettre pour désigner Un objet Une variable Une inconnue Un nombre indéterminé Un paramètre

4 Lettre pour désigner un objet La lettre symbolise un objet mathématique, un symbole dunité, elle marque une abréviation : La lettre désigne un objet précis : un point A, un cercle C La lettre désigne une unité : 4 m pour 4 mètres, 2 t pour 2 tonnes La lettre désigne une abréviation dun objet mathématique : A = L l ; P = D. Enseignement primaire, début denseignement moyen

5 Lettre pour désigner une variable Les valeurs que peut admettre la lettre varient dans un intervalle ou un ensemble Dès le début de lenseignement moyen Quel nombre peut-on mettre à la place de t dans 1,2 < t < 1,5 ? ABCD est un carré de côté 8 cm et M un point du segment [AB], tel que AM = x. Exprimer l'aire A du quadrilatère MBCD quand M varie sur le segment [AB].

6 Lettre pour désigner une inconnue Ce statut est rencontré dans les situations de mise en équation dun problème ou lors dune résolution déquation : Que vaut le nombre x si le triple de la différence de x et de 7 est égal à la moitié de la somme de x et de 1 ?

7 Lettre pour désigner un nombre indéterminé La lettre ne représente plus des nombres particuliers mais au contraire, des nombres quelconques comme dans les identités où légalité est universellement vraie : Pour tous les nombres k, a, b : k (a + b) = k a + k b Pour tous les nombres x : x + x = 2x Les identités remarquables

8 Lettre pour désigner un paramètre La lettre représente une quantité supposée connue par rapport à dautres lettres qui ont : soit le statut de variable : f : x ax soit le statut dinconnue : ax + b = 0 soit le statut dindéterminée : a(x + y) = ax + ay

9 Statut de la lettre selon la tâche a) A(x) = 3(x + 4) x est ici une variable b) 3(x + 4) = 24 x est ici une inconnue

10 Du côté des élèves 6 niveaux dinterprétation identifiés chez des élèves de 11 à 17 ans : Lettre ignorée Lettre évaluée Lettre – objet Lettre – inconnue spécifique Lettre – nombre généralisé Lettre – variable Niveau pré-algébrique Nécessaires pour comprendre lalgèbre élémentaire

11 Du côté des élèves Lettre ignorée Prise en compte déléments numériques uniquement Ex y = 8 ou 5 + 3y = 8y Lettre évaluée Besoin dattribuer une valeur numérique à la lettre manipulée Ex. le périmètre dun polygone à n côtés égaux de 2 cm chacun est 28 cm. Lettre – objet La lettre na pas de statut de nombre, elle correspond à labréviation dun mot Ex t = 8 tonnes

12 Statut du signe égal = 10 Signe égal pour annoncer le résultat 54 = 3 18 Signe égal pour signifier la décomposition dun nombre 15/10 = 3/2 Signe égal pour signifier que différentes écritures représentent un même nombre Enseignement primaire

13 Statut du signe égal k(a + b) = ka + kb Signe égal pour traduire une identité Calculer a + 2b pour a = 1 et b = 0,7 Signe égal comme symbole daffectation (2x + 3)(x – 2) = 2x² – x – 6 Signe égal pour signifier que deux expressions ont la même valeur quel que soit x Pour quelle valeur de x a-t-on 2x + 3 = 5x ? Signe égal pour signifier que deux expressions peuvent avoir la même valeur pour une valeur de x Enseignement moyen

14 Du côté des élèves Ex. Dans un match de football léquipe qui reçoit marque x buts, léquipe visiteuse marque y buts. Exprimer le nombre total de buts marqués dans ce match. Réponse : z buts (x + y = z) Signe égal comme annonceur du résultat

15 Du côté des élèves 4 + 3x = 7xEst-ce toujours vrai ? Cest pareil car 3+4 = 7 et le prof a dit que 3x cest 3 multiplié par x, et on multiplie les deux cas Cest faux car il faudrait des parenthèses, cest (4+3)x qui est égal à 7x Si on remplace x par 1, cest vrai Si on remplace x par 2, cest faux On ne peut pas savoir, cest tantôt vrai, tantôt faux Ce nest pas toujours vrai Cest toujours vrai à condition de prendre 1 pour x.

16 Conclusion Difficultés dans lapprentissage de lalgèbre Bouleverse certaines conceptions darithmétique des élèves Nécessite de la part des enseignants de trouver des moyens de faire comprendre les nouvelles significations des objets mathématiques connus


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