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Fractions et décimaux Stage de circonscription Capesterre Belle Eau, 27-28-30 novembre 2006.

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1 Fractions et décimaux Stage de circonscription Capesterre Belle Eau, novembre 2006

2 Pourquoi les fractions en relations avec les décimaux? Construction historique des nombres décimaux. Construction historique des nombres décimaux. 2,43 est construit comme 2 unités 4 dixièmes et 3 centièmes ou 2 + 4/10 +3/100 2,43 est construit comme 2 unités 4 dixièmes et 3 centièmes ou 2 + 4/10 +3/100

3 Un constat : les évaluations 6ème Collège Saint-Ruf Mathématiques50,3 Connaissance des nombres (27)42,9 Designer par écrit des nombres entiers naturels76,7 Comparer des nbres décimaux et utiliser les signes inf et sup (4)17,7 Utiliser et écrire des fractions41 Connaître et utiliser des écritures fractionnaires et décimales de certains nbres (1)13,7 Connaître et utiliser certaines relations entre des nbes d'usage courant44,4 Designer par écrit et utiliser des nombres décimaux40,8

4 Les fractions

5 Lintérêt des fractions Quel cadre ? Impossibilité de représenter une quantité par un nombre.

6 Les limites des travaux sur les fractions à lécole primaire. Enseignement limité au sens : pas de techniques automatisées. Enseignement limité au sens : pas de techniques automatisées. La seule raison dêtre des fractions à lécole primaire, cest daider à la compréhension des décimaux (R. Charnay)La seule raison dêtre des fractions à lécole primaire, cest daider à la compréhension des décimaux (R. Charnay) Quelle représentation de 5/3 ? Quelle représentation de 5/3 ? Un seul sens à lécole primaire : 5 fois 1/3 Un seul sens à lécole primaire : 5 fois 1/3

7 Les difficultés rencontrées par mes élèves. Sur les fractions Le sens Le sens Les relations dordre (comparaison) Les relations dordre (comparaison) Les calculs Les calculs

8 Le sens des fractions Les faux amis : la tarte Les faux amis : la tarte Les élèves raisonnent sur une part de tarte comme une entité. Les élèves raisonnent sur une part de tarte comme une entité. Préférer les travaux sur les aires ou les longueurs. Préférer les travaux sur les aires ou les longueurs. Articulation langage-concept : importance du lexique. Articulation langage-concept : importance du lexique. Ex : 4 tiers et 2 tiers = 6 tiers…. Sans savoir ce quest un tiers! Ex : 4 tiers et 2 tiers = 6 tiers…. Sans savoir ce quest un tiers!

9 Les relations dordre A construire physiquement (situations auto–validantes) A construire physiquement (situations auto–validantes) Anticipation dun résultat puis vérification. Ex : bandes de différentes longueurs. Anticipation dun résultat puis vérification. Ex : bandes de différentes longueurs. Utiliser la bande numérique Utiliser la bande numérique Travaux dencadrement des fractions par des entiers Travaux dencadrement des fractions par des entiers

10 Les calculs Light : se limiter aux cas simples Light : se limiter aux cas simples Décomposition en somme dentier et de fraction Décomposition en somme dentier et de fraction Reconstruction du 3/3=1 à partir de la définition du tiers Reconstruction du 3/3=1 à partir de la définition du tiers Tartes de nouveau envisageables ici ! (bien que…) Tartes de nouveau envisageables ici ! (bien que…)

11 Les décimaux

12 Lintérêt des nombres décimaux Quel cadre historique? Nécessité dune précision accrue.

13 Les décimaux Révélateur de lenseignement à coup de règle (R. Charnay) Révélateur de lenseignement à coup de règle (R. Charnay) Enseignement de recettes Enseignement de recettes Pas de travail sur les fondements Pas de travail sur les fondements Mélanges et interférences Mélanges et interférences Un exemple : 23,4x100=2340 Un exemple : 23,4x100=2340 Quelles justifications? Quelles justifications?

14 Les décimaux Règle du zero : ne marche pas! Règle du zero : ne marche pas! Règle de la virgule : ne marche pas non plus! Règle de la virgule : ne marche pas non plus! Seules les stratégies basées sur le sens fonctionnent Seules les stratégies basées sur le sens fonctionnent Chaque terme de la décomposition est 100 fois plus grand Chaque terme de la décomposition est 100 fois plus grand 2 dizaines deviennent 2 milliers. 3 unités deviennent 3 centaines. 4 dixièmes deviennent 4 dizaines. 2 dizaines deviennent 2 milliers. 3 unités deviennent 3 centaines. 4 dixièmes deviennent 4 dizaines. La virgule ne bouge pas, ce sont les chiffres qui changent de classe! La virgule ne bouge pas, ce sont les chiffres qui changent de classe! On ne prend pas appui sur des règles formelles mais sur des stratégies On ne prend pas appui sur des règles formelles mais sur des stratégies

15 Sur les décimaux La comparaison, lordre La comparaison, lordre La signification de chaque chiffre La signification de chaque chiffre Les calculs sur les décimaux Les calculs sur les décimaux La résolution de problèmes nécessitant les décimaux. La résolution de problèmes nécessitant les décimaux. Les difficultés rencontrées par mes élèves.

16 Une remarque Des erreurs qui persistent Des erreurs qui persistent

17 Linterprétation des erreurs La juxtaposition des parties entières et décimales La juxtaposition des parties entières et décimales Les pratiques courantes : 1,52 euros, cest toujours 1 euro et 52 centimes. Il ny a pas de décimes! Les pratiques courantes : 1,52 euros, cest toujours 1 euro et 52 centimes. Il ny a pas de décimes! Mêmes choses pour les unités de longueur si on utilise les sous-multiples. Mêmes choses pour les unités de longueur si on utilise les sous-multiples. Fausse symétrie / virgule…. Fausse symétrie / virgule…. Ex : 123,48 Ex : 123,48 Lidée de nombre suivant persiste Lidée de nombre suivant persiste Proposer une activité. Proposer une activité.

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19 Lorigine des erreurs Pratiques sociales Pratiques sociales Construction physique impossible : les décimaux sont construits mentalement. Construction physique impossible : les décimaux sont construits mentalement. Règles de comparaison sur les entiers trop proches…. Mais non applicables! Règles de comparaison sur les entiers trop proches…. Mais non applicables! Préférer la comparaison terme à terme à la normalisation des longueurs de partie décimale. Préférer la comparaison terme à terme à la normalisation des longueurs de partie décimale. Un exemple dactivité de comparaison Un exemple dactivité de comparaison

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