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Les ensembles de nombres Q R Q Z N. Lêtre humain crée les outils dont il a besoin. Mesurer, faire du commerce, partager, exécuter un travail de haute.

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1 Les ensembles de nombres Q R Q Z N

2 Lêtre humain crée les outils dont il a besoin. Mesurer, faire du commerce, partager, exécuter un travail de haute précision, tous ces objectifs nécessitent lutilisation de différentes sortes de nombres. Ainsi, lhomme a créé différents ensembles (différentes familles) de nombres; chaque ensemble a ses propres caractéristiques et traduit des situations différentes. N : les nombres entiers naturels Z : les nombres entiers relatifs Q : les nombres rationnels Q : les nombres irrationnels R : les nombres réels Les nombres ont évolué. Au début, ils étaient assez simples, mais avec les besoins de plus en plus complexes de lhomme, ils se sont développés et spécialisés.

3 Avant de décrire les nombres et leurs ensembles, il faut savoir que ces différents nombres sont écrits avec des chiffres. Il existe 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ces chiffres représentent lalphabet des nombres Par exemple : 145 est un nombre composé de 3 chiffres (le 1, le 4 et le 5). 6 est aussi un nombre composé dun seul chiffre (le 6). et conséquemment, nous permettent décrire des nombres.

4 N : Ces nombres servent à compter des objets entiers. 2 pommes5 chaises500 personnes étoiles9 planètes Ils débutent à 0 et ne se terminent jamais; après un nombre, il y en a toujours un de plus. Historiquement, les nombres entiers naturels ont été les premiers à être utilisés. Les hommes de lépoque comptaient ce quils possédaient. 3 enfants, 25 chèvres, 56 arbres, etc. Ils sétendent jusquà linfini sans jamais latteindre. Remarque :Les hommes ont inventé un symbole pour décrire linfini; ce symbole est le suivant : Ils sont tous des nombres entiers et positifs. les nombres entiers naturels 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … N :

5 Sur une droite numérique, cet ensemble ne peut être représenté que par des points. Les nombres entiers négatifs, les fractions et les nombres décimaux ne font pas partie de cet ensemble … + N Ce dessin symbolise lensemble des entiers naturels. Tous les nombres entiers naturels se retrouvent à lintérieur de ce cercle.

6 Z : les nombres entiers relatifs Un jour, les hommes ont eu besoin de représenter de nouvelles situations. - la température : C et C ne signifient pas le même degré de chaleur. - les dettes : quand tu reçois un salaire de 100 $, tu possèdes $, mais si tu achètes un mp3 de 150 $, il te manque 50 $; tu es donc à – 50 $. Lensemble des entiers relatifs ne comporte que des nombres entiers (pas de fractions ni de décimaux) : il regroupe les nombres entiers naturels et les nombres entiers négatifs. La famille sagrandit ! Z : …, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Remarque : Un Allemand dénommé Zahl a été le premier a parlé de lensemble des entiers relatifs : doù le « Z ». Z N Exemples :

7 Ils permettent de construire une droite numérique à gauche du … + Ils ne se terminent jamais sen allant comme pour les nombres naturels vers linfini positif, mais aussi, vers linfini négatif. - Comme pour lensemble des nombres naturels, on ne peut représenter lensemble des entiers relatifs sur une droite numérique que par des points …

8 Q : les nombres rationnels Comment faire pour représenter : la moitié dune pomme,3 centièmes de seconde,le quart dune tarte,5,75 $ … Nous avons besoin dun nouvel ensemble qui regroupe toutes les fractions et les nombres décimaux périodiques. Q : …, -6, …, -5,24, …, -1/2, …, 0, …, 3/4, …, 2, …, 7,238, … Il existe une définition formelle pour décrire cet ensemble : La lettre Q signifie un quotient. Un nombre rationnel est un nombre de la forme dans laquelle a et b sont des entiers et b 0. a b

9 a b a et b sont des nombres entiers : est un nombre entier 5 est un nombre entier donc, est une fraction ou un nombre rationnel ,5 3 est un nombre entier 4,5 nest pas un nombre entier, mais un nombre rationnel donc, nest pas une fraction, mais un rapport. 3 4,5 b 0 :en mathématique, la division par 0 nest pas définie. Exemple : Par conséquent, un dénominateur ne doit jamais être égal à zéro. Posons x = 5 0 et effectuons le produit croisé :0 x = 5 Cette expression exprime la valeur que nous devons donner à x, pour que multipliée par 0, lexpression soit égale à 5. ?

10 Examinons maintenant les implications de cette définition. Les nombres décimaux périodiques sont une autre forme décriture des fractions et font également partie de lensemble des rationnels. 1 2 = 0,5 7 4 = 1, = - 1,6 1 3 = 0, Les nombres périodiques peuvent être indéfiniment divisés et leurs décimales reproduisent périodiquement une même série de chiffres. Ainsi, la division de, sobtient par : , Si on continuait la division, elle ne sarrêterait jamais et le chiffre 3 se répéterait indéfiniment. Donc, 3 est la période.

11 Certaines fractions ont une forme décimale comportant une période très longue. Exemples : 2 7 = 0, … 1 17 = 0, … Pour indiquer une période, un trait est tracé au-dessus qui nous précise que la période se répète indéfiniment. 2 7 = 0, … 1 17 = 0, … 1 3 = 0, … = 0, = 0, = 0, 3 Attention : 1 3 = 0, 3 et non = 0, 33 La période est 3 et non 33.

12 Les nombres entiers et décimaux sont considérés comme des nombres rationnels, car ils ont une période de 0. Exemples : Bien entendu, nous ne lécrivons pas, mais nous devons nous en souvenir. 7 = 7, = - 125, 034,8 = 34,8 0 La famille sagrandit encore ! Q Z N Les entiers font partie de lensemble des rationnels parce quils sont des fractions entières. Exemples : 8 4 = = - 3

13 Sur la droite numérique, il y a de plus en plus de nombres … … Cette figure, démontre quil y a beaucoup de nombres, mais il y en a beaucoup plus encore. Exemple : Quels nombres pouvons nous inscrire entre 1 et 2 ? 1 2 Agrandissons cette distance : 1,11,21,31,41,51,61,71,81,912 Plaçons les dixièmes :,0

14 1,11,21,31,41,51,61,71,81,91,02,0 1,11,0 Maintenant, agrandissons la distance entre 1,0 et 1,1 et insérons les centièmes : 1,09 1,011,021,031,041,051,061,071,081,0 1,1 Une démarche identique pourrait être effectuée pour placer les millièmes, les dix-millièmes, etc. Cette démarche pourrait être répétée jusquà linfini, puisquil y a toujours des nombres dont la partie décimale est de plus en plus petite. Il existe donc une infinité de nombres entre deux nombres. 0 0

15 Q : les nombres irrationnels De nouvelles réalités ont forcé lhomme à créer un nouvel ensemble de nombres. Q : 235 ~ ,,,,, …, Exemple : Ce triangle rectangle a 1 unité de côté. 1 1 Lhypoténuse de ce triangle se calcule avec la relation de Pythagore comme suit : a 2 + b 2 c = donc, c = c = 2 Les nombres irrationnels forment un ensemble particulier. Les côtés dun triangle, la circonférence dun cercle, le calcul des intérêts bancaires, etc. utilisent des nombres particuliers. Ce sont les irrationnels.

16 Si on extrait la racine carrée de 2, on obtient le nombre suivant : 2 1, … Ce nombre est qualifié de nombre décimal non-périodique, puisque la partie décimale est infinie et quaucune période ne peut être définie. Le même problème se pose avec : ~ ~ 3, … Pourtant ces nombres sont utiles dans beaucoup de situations. Par conséquent, les nombres irrationnels sont des nombres décimaux dont la partie décimale est infinie et non-périodique. Avec ces nombres, la droite numérique est pleine.

17 Prenons lexemple de la racine carrée de 2 : Cette valeur devrait se positionner entre 1,41 et 1,42 2 1, … 2,1 et 1, … Cette valeur devrait se positionner entre 1,44 et 1,45 Ainsi, avec certains nombres particuliers et par le calcul des racines de différents nombres, on obtient encore une infinité de nouveaux nombres, ce qui remplit la droite numérique … … - Attention :Ce ne sont pas tous les nombres avec des racines qui sont irrationnels. ± 2, 4 = donc des nombres entiers. Exemple :

18 Tous ces ensembles de nombres forment la grande famille des nombres réels : R R Q Q Z N à son tour est inclus dans lensemble des nombres réels. Ce paragraphe se traduit en langage mathématique comme suit : donc N Z Q R Lensemble des nombres irrationnels est un ensemble distinct des ensembles N, Z et Q, mais est inclus dans lensemble des nombres réels. Lensemble des nombres entiers naturels est inclus dans lensemble des nombres entiers relatifs qui lui est inclus dans lensemble des nombres rationnels qui, en langage mathématique, ce symbole signifie « est inclus dans ».

19 R Q Q Z N Un autre symbole mathématique nous permet de tout écrire. donc, R = Q Q Les mathématiciens ont inventé un langage mathématique pour décrire des phénomènes qui seraient trop longs à écrire, en français. Lapprentissage de ce langage est laborieux au début, mais essentiel si tu désires continuer ton cheminement en mathématique. en langage mathématique, ce symbole signifie lunion entre 2 ou plusieurs ensembles

20 Il existe un dernier ensemble de nombres qui nest pas étudié au secondaire. Il sappelle lensemble des nombres complexes : C Ces nombres ont des propriétés liées à la trigonométrie et sont très utiles en Sciences Physiques pour létude des réseaux électriques ainsi que pour les travaux se rapportant aux courants alternatifs. Exemple : - 4 En effet, on ne peut pas extraire la racine carrée dun nombre négatif. En utilisant les lois sur les radicaux, les mathématiciens ont décomposé cette racine en deux. - 1 X 4 = Dans lensemble des nombres réels, nexiste pas. - 4 = 4 X Ils ont symbolisé par i. - 1 Ainsi, = 2 i - 4 Ils peuvent donc effectuer des calculs complexes.

21 Nombres et langage Dans cette section, nous étudierons la façon dont nous pouvons décrire tous ces différents nombres. Dautres symboles sajoutent à ceux déjà appris qui nous permettront de décrire de grandes quantités de nombres : x représente :tous les nombres qui nous intéressent signifie : appartenir à … signifie : tel que (de telle manière que) < signifie : > signifie : signifie : plus petit que … plus grand que … plus petit ou égal à … plus grand ou égal à … signifie :union (quand on veut réunir des ensembles)

22 Prenons un exemple. Voici un ensemble (une liste) de nombres entiers naturels : 0, 1, 2, 3, 4, 5 Cette écriture est appelée « en extension », car elle énumère plusieurs nombres. Nous pourrions aussi écrire la même liste comme ceci : tous les nombres qui nous intéressent appartiennent à lensemble des nombres entiers naturels de telle manière que x N x 5 tous les nombres qui nous intéressent sont plus petits ou égaux à 5

23 x N x 5 Cette forme décriture sappelle « en compréhension ». Pour une courte liste de nombres comme cest un peu long, mais si on avait à écrire cette phrase : « Tous les entiers naturels plus petits ou égaux à », lénumération serait très longue tandis quen compréhension : x N x Cette phrase est beaucoup moins longue. 0, 1, 2, 3, 4, 5,

24 x N x 5 La première partie de la phrase indique avec quel ensemble de nombres, nous travaillons. Il est important de le mentionner, car chaque ensemble possède ses propres caractéristiques. Exemple : x N x 2 = 0, 1, 2 x Z x 2 = Donc, beaucoup plus de nombres ! … -5, , -2, -1, 0, 1, 2, -

25 x N x 5 La deuxième partie de la phrase donne les conditions particulières de la situation. Ainsi, cette situation ne comporte pas tous les nombres entiers naturels, mais seulement ceux qui sont plus petits ou égaux à x. 0, 1, 2, 3, 4, 5 soit

26 Remarques importantes sur les 4 symboles : <> En utilisant lensemble des entiers naturels ( N ), examinons des détails importants sur ces symboles. < La pointe signifie plus petit que... ainsi, x < 5 se lit x est plus petit que 5; Louverture signifie plus grand que … et x > 5 se lit x est plus grand que 5.

27 < signifie : > signifie : signifie : plus petit que … plus grand que … plus petit ou égal à … plus grand ou égal à … ce qui exclut le nombre de référence. Exemple :x < 4 signifie 0, 1, 2, 3 ce qui inclut le nombre de référence. Exemple :x 4 signifie 0, 1, 2, 3, 4 ce qui exclut le nombre de référence. Exemple :x > 6 signifie 7, 8, 9, 10, 11, … ce qui inclut le nombre de référence. Exemple :x 6 signifie 6, 7, 8, 9, 10, 11, …

28 Comment écrit-on en compréhension ? 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 x N 3 x 9 Comme ceci : et x est plus grand ou égal à 3x est plus petit ou égal à 9 autrement dit x est compris entre les deux. x N 2 < x < 10 On aurait pu aussi écrire :

29 Quelques situations Écris en compréhension, les phrases suivantes : Les entiers naturels plus grands que 27 : x N x > 27 Les entiers naturels plus petits ou égaux à 81 : x N x 81 Les entiers relatifs plus petits ou égaux à 81 : x Z x 81 Les entiers relatifs plus grands ou égaux à -20 et plus petits ou égaux à 6 : x Z -20 x 6

30 x N 13 x < 19x Q - 1 < x 2 Les entiers naturels plus grands ou égaux à 13 et plus petits que 19 : Écris en compréhension, les phrases suivantes : Attention cest-à-dire : 13, 14, 15, 16, 17, 18 Toutes les fractions plus grandes que - 1 et plus petites ou égales à 2 :

31 Écris en extension, les ensembles de nombres suivants : x N x < 10 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 x N x 23 : 23, 24, 25, 26, … On place quelques nombres et on met des … pour indiquer que la suite se poursuit. x Z -3 < x 2 : -2, -1, 0, 1, 2 x Q 4 x 6 : Impossible den faire une énumération, il y en a une infinité. Remarque :On ne peut pas décrire en extension les ensembles Q, Q et R, car il y a une infinité de nombres qui les composent. Cependant lécriture en compréhension permet de les écrire.

32 R : les nombres réels Lensemble des nombres réels englobe tous les autres ensembles N, Z, Q, Q. Il est lensemble de nombres le plus utilisé en mathématique. Les mathématiciens ont trouvé de nouvelles façons pour décrire les nombres réels : - la droite numérique : - les intervalles : … …,,,,

33 La droite numérique Nous savons que lensemble des nombres réels remplit la droite numérique; nous pouvons donc illustrer un ensemble particulier à laide de celle-ci. Exemple : … … x N 1 x 6 pour nous aurons x R 1 x 6 pour nous aurons … … Ce trait plein symbolise tous les nombres entre 1 et 6.

34 … … x R -2 x 5 Voici quelques exemples : Remarque : est équivalent à ou est équivalent à … … x R -2 < x 5 Lensemble de nombres commence immédiatement après -2 jusquà 5. Lensemble de nombres commence à -2 jusquà 5. 2 exclu 5 inclus

35 … … x R -2 < x < 5 Lensemble de nombres commence immédiatement après -2 et se termine avant … … x R -2 x < 5 Lensemble de nombres commence à -2 et se termine avant 5.

36 Sur la droite numérique, représente : x R x … … On prolonge le trait au-delà de la droite numérique pour indiquer que lensemble se dirige vers +. x R x < … … Remarque : Sur la droite numérique, le déplacement se fait toujours de la gauche vers la droite.

37 Les intervalles Les intervalles sont représentés par des crochets, Ces symboles ne sont utilisés quavec les nombres réels (R). Ils englobent, comme le trait plein sur la droite numérique, tous les nombres situés entre les deux. Exemple : … … Les intervalles, sécrivent comme suit : 1, 6 Cet exemple représente tous les nombres réels plus grands ou égaux à 1 et plus petits ou égaux à 6.

38 Lensemble de nombres commence immédiatement après -2 jusquà 5 et sécrit en intervalles les crochets peuvent être ouverts ou fermés,, Selon la situation à représenter, … … Exemples : … … Lensemble de nombres commence à -2 jusquà 5 et sécrit en intervalles -2, 5. 2 exclu5 inclus -2, 5.

39 Lensemble de nombres commence immédiatement après -2 et se termine avant 5 et sécrit en intervalles … … … … Lensemble de nombres commence à -2 et se termine avant 5 et sécrit en intervalles -2, 5.

40 … … sécrit en intervalles 1, + Remarque :Certains auteurs utilisent des crochets ouverts avec linfini, dautres nen mettent pas. 1, + 1, + les deux manières sont correctes. Par contre, il ne faut jamais mettre des crochets fermés sur linfini. Cela voudrait dire que lon a atteint linfini ce qui est impossible. 1, + ou

41 Remarque :Tant pour la droite numérique que pour les intervalles, les nombres se suivent du plus petit vers le plus grand (de la gauche vers la droite) … … sécrit en intervalles, -1 - et non -1, - Attention Les symboles suivants ne signifient pas la même chose :, crochets pour les dintervalles; accolades pour lénumération dune ou de plusieurs réponses; (, ) parenthèses pour la représentation dun couple de coordonnées dans le plan cartésien.

42 La représentation dun ensemble de nombres dans lensemble des nombres réels se fait de quatre manières différentes. Exemple : x R -3 x < 3 - en compréhension : - sur la droite numérique : - en intervalles : … … -3, 3 - en français :Tous les nombres compris entre -3 inclus et 3 exclu.

43 Particularités On peut voir les symboles suivants * + et - avec les ensembles N, Z, Q, Q et R. * signifie quon exclut le zéro. Exemple : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … N : 1, 2, 3, 4, 5, 6, … N * : +signifie quon ne travaille quavec la partie positive de lensemble. Exemple : R + : - R : +, 0, + - signifie quon ne travaille quavec la partie négative de lensemble. Exemple : R - : -, 0 On peut même avoir R * + : 0, + tous les réels positifs sauf 0. Tous ces symboles sont utiles pour faire lanalyse des fonctions.

44 Exercice 1 En utilisant la droite numérique, lécriture en intervalles et lécriture en compréhension, décris les phrases suivantes : Tous les réels plus petits que 3 : , 3 - Tous les réels supérieurs à 100 inclus : , + x R x 100 Tous les réels compris entre 5 inclus et 30 exclus : , 30 Droite numériqueEn intervallesEn compréhension x R x < 3x R 5 x < 30

45 Tous les nombres réels : 0 - +, ouR x R Tous les nombres réels positifs : 0 0, + ou R+R+ x R x 0 ou x R + Tous les nombres négatifs, sauf 0 : 0 -, 0 ou R-R- * x R x < 0 ou x R - * Droite numériqueEn intervallesEn compréhension

46 Droite numériqueEn intervallesEn compréhension Tous les nombres entiers compris entre -2 exclu et 3 inclus : Ne sapplique pas x Z -2 < x 3 Tous les nombres rationnels compris entre 0 exclu et 2 exclu : Ne sapplique pas x Q 0 < x < 2 Tous les nombres réels compris entre 5 exclu et 15 exclu : 05 5, 15 x R 5 < x < 15

47 Exercice 2 Écris en intervalles et en compréhension les représentations numériques suivantes : Droite numériqueEn intervallesEn compréhension , -1 -x R x , 2 x R -4 < x x R x -2 ou x 1 1,, Ce symbole sert à unir les deux ensembles de nombres. En compréhension « ou » est léquivalent de pour les intervalles.

48 0 0, + -, 0 Droite numériqueEn intervallesEn compréhension ou R * x R x 0 R * x ou , + x R x ,, x R x 1 ou x 4

49 Droite numériqueEn intervallesEn compréhension -4, Dans le plan cartésien, on associe la droite numérique horizontale aux valeurs de x et la droite numérique verticale aux valeurs de y. Les différentes façons de représenter les nombres et leurs ensembles pour x valent également pour y. y R -4 < 5 y x y Important

50 Cette présentation illustre les différents ensembles de nombres et la manière de les décrire. Le langage mathématique est une langue de communication tout comme le français. Avec du temps et de la persévérance, le langage mathématique devient un réflexe et naura plus de secret pour toi. Tous ces symboles ne sont que les premiers codages du langage mathématique, car il en existe une multitude dautres.


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