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ATELIERS DE MATHEMATIQUES Editions Nathan Enseigner les mathématiques au cycle 2 Aix en Provence, le 20 janvier 2010 Daniel Bensimhon

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1 ATELIERS DE MATHEMATIQUES Editions Nathan Enseigner les mathématiques au cycle 2 Aix en Provence, le 20 janvier 2010 Daniel Bensimhon

2 Les principaux enjeux de lenseignement des mathématiques à lécole. 1 – Les principaux enjeux de lenseignement des mathématiques à lécole.

3 1 – Créer une continuité éducative avec le cycle 3 puis le collège - Bénéficier des enseignements au collège : compétences acquises et à mobiliser. - Construire les bases à lécole primaire pour acquérir ces compétences -Les élèves doivent pouvoir mobiliser ces compétences pour : -résoudre des problèmes, -parvenir à abstraire, à raisonner, -à travailler en groupe ou de façon autonome, -à exprimer un résultat

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6 A lécole : la séparation progressive des disciplines Cycle 1 : découvrir le monde 1. Découverte sensorielle 2. Exploration du monde de la matière 3. Découvrir le monde animal 4. Découvrir le monde des objets 5. Repérages dans lespace 6. Le temps qui passe 7. Découverte des formes et des grandeurs 8. Approche des quantités et des nombres

7 La séparation progressive des disciplines – programmes 2008 Cycle 2 : mathématiques 1. Nombres et calcul 2. Géométrie 3. Grandeurs et mesures 4. Organisation et gestion de données Cycle 3 : mathématiques 1. Nombres et calcul 2. Géométrie 3. Grandeurs et mesures 4. Organisation et gestion de données

8 2 – Participer à la formation du futur citoyen Former un futur citoyen et favoriser son insertion dans la « vie sociale » Les mathématiques fournissent des outils pour agir, pour choisir, pour décider dans la « vie courante » Les mathématiques, un autre moyen dexpression avec un langage propre : schéma, graphique, figures, etc. Elles représentent donc un autre mode de communication Résultats et données fournis par les mathématiques font lobjet dun examen critique

9 3 – Aborder la dimension culturelle des mathématiques Penser des objets abstraits comme les nombres, les figures, débattre du « vrai » et du « faux », cest commencer à sapproprier des éléments de culture scientifique (surtout dans les activités de résolution de problème et de débats qui y sont liés). Mise en perspective historique de certaines connaissances : numérations romaine ou égyptienne par exemple enrichissement de cette dimension culturelle

10 4 – Contribuer à la formation générale des élèves Placer lélève devant des situations problèmes, une démarche fondamentale en mathématiques favoriser linitiative, limagination et lautonomie. Confrontation des résultats : compétences dans le domaine de largumentation, considérer dautres points de vue (décentration) socialisation, écoute et respect de lautre (un levier parfois plus fort car ancré dans un besoin de classe) Le statut particulier de la preuve en mathématiques qui sappuie à la fois sur lexpérience, mais aussi sur des connaissances mathématiques Tracés de figures, réalisation de solides, etc. développer lattention et le soin.

11 5 – Exploiter la pluridisciplinarité des mathématiques Aborder cet axe dès lécole élémentaire. Ce nest pas un objectif poursuivi systématiquement, mais une certaine cohérence et une vigilance doivent être observées. Voici quelques exemples : -Vécu corporel dun espace, dune position relative… (EPS) -Frise chronologique en histoire (placement des nombres sur une ligne graduée) -Cartes et échelles en géographie -Proportionnalité lors de lutilisation dun verre doseur. Fraction décimale…

12 « La mission de lécole primaire nest plus denseigner uniquement les connaissances indispensables dans la vie courante mais surtout de former les esprits, de donner à chacun la capacité de sadapter aux conditions largement imprévisibles de lavenir. » Rapport IGEN

13 2 – Comment enseigner les mathématiques ? Une démarche, des contenus

14 La démarche dapprentissage Le degré zéro (environnement non exploité) Limprégnation La découverte Linstitutionnalisation Lapplication Lextension

15 Un concept visé : la symétrie axiale Étape zéro : utilisation du miroir Imprégnation : tampon encreur, papier calque, découpage de ribambelles, frises géométriquesfrises géométriques Découverte : classer un ensemble de figures (certaines ont un axe de symétrie) Institutionnalisation : notion de symétrie axiale Application : construire le symétrique dune figure. Extension : symétrie et agrandissement.

16 Un concept visé : la division euclidienne Étape zéro : répartitions diverses de collections dobjets pris dans la vie quotidienne Imprégnation : situations de partage quelconque, plus ou moins complexes, à résoudre pour elles-mêmes Découverte : situations de partage sous contraintes (parts égales, reste minimal) Institutionnalisation : la division euclidienne (cycle 3) Application : situations de division euclidienne Extension : division avec de grandes quantités – division avec des décimaux

17 Mathématiques à la Grande section – quels moments, quels contenus ? Daprès Catherine BERDONNEAU IUFM de Cergy

18 Mathématiques à la maternelle – quels moments ? 1) Laccueil - préparer des activités qui ne nécessitent pas une surveillance rapprochée - sentraîner à des concepts mathématiques déjà abordés - se familiariser avec de nouveaux supports 2) Les activités rituelles - un élève compte les élèves présents dans un sens et un autre dans lautre sens : constats - viser le raisonnement et non un automatisme 3) Les activités motrices globales - temps de lEPS et de la motricité. Approche dun concept avec le corps (positions relatives par exemple). Lélève agit en se confrontant à des éléments (objets, autres enfants) de sa taille 4) Les activités fonctionnelles ou de vie pratique - les élèves sont amenés à utiliser des compétences mathématiques acquises antérieurement (par exemple, tri de gommettes rouges et jaunes pour garnir un sapin) 5) Les ateliers - des moments centraux de lapprentissage en maternelle - activités mathématiques de manipulation en laissant le « temps au temps »

19 Mathématiques à la maternelle – quels contenus ? 1) Le développement de la pensée logique - lappariement : réalisation de paires, faire travailler de manière simple la relation déquivalence - le tri et le classement : le tri où lon réalise deux tas (lun avec la propriété ciblée) et le classement, plus complexe. Des étiquettes posées sur des tas constitués : ces étiquettes correspondent à différentes valeurs dun unique critère. - les tableaux à double entrée - la relation dordre - les suites algorithmiques (répétitives : …. ou récursives : …. ) 2) La structuration de lespace - spatialisation : un vocabulaire de description des positions relatives. Place du langage (coins garages, Playmobils, maison de poupées, etc.) - géométrie dans lespace : en maternelle, la reconnaissance et la reproduction - de lespace au plan : des solides aux figures planes. Travailler à partir de photographies. Travailler la réalisation de « patrons » - géométrie plane : un début dargumentation gestuelle plus que verbale mais déjà potentiellement élaborée

20 Mathématiques à la maternelle – quels contenus ? 3) Le domaine numérique - comparer des collections : homogènes ou hétérogènes. - mémoriser la comptine numérique : - dénombrer : par « subitisation » (reconnaissance perceptive globale immédiate) par comptage (attention aux « habitudes »), définir une stratégie - représenter les quantités de manière analogique, de manière symbolique : le dé, les doigts, etc. Savoir lire, savoir coder, savoir calligraphier - les problèmes numériques : vers laddition, la soustraction, la multiplication et la division. Amener à anticiper les résultats 4) Les grandeurs et mesure - longueurs : égalité et ordre sur les longueurs - les aires : le puzzle géométrique - les volumes : conservation des quantités, comparaison de quantités. La balance « Roberval » - les durées : événement à replacer chronologiquement (à partir de photographies). Images séquentielles, calendrier.

21 Mathématiques et socle commun Attitudes attendues en mathématiques dans le cadre de lacquisition du socle commun à lissue du cycle 2 –La rigueur et la précision dans les tracés, dans les mesures, dans les calculs –Le goût du raisonnement –Le réflexe de contrôler la vraisemblance des résultats –La volonté de justesse dans lexpression écrite et orale –Louverture à la communication, au dialogue, au débat –Lenvie de prendre des initiatives, danticiper –La curiosité et la créativité –La motivation et la détermination dans la réalisation dobjectifs

22 3 – La résolution de problèmes

23 La résolution de problèmes Les problèmes ont une place prépondérante dans lenseignement des mathématiques. Tous les domaines des mathématiques sont concernés

24 La résolution de problèmes Objectifs poursuivis Viser la maîtrise des connaissances et en assurer lappropriation Les mathématiques sont perçues et donc vécues comme des moyens, des outils pour anticiper, prévoir et même décider. Constituer une base, un socle sur lequel construire les connaissances ultérieures. Les élèves prennent conscience des limites des connaissances dont ils disposent Passer progressivement dune solution personnelle à une solution experte Créer des interactions entre élèves Développer la confiance en soi ainsi que limagination et le désir de recherche

25 Apprendre par la résolution de problèmes La solution personnelle –Les propres stratégies de lélève –Une avancée vers lautonomie de lélève –Des activités modulées La solution experte –Lélève ne passe pas spontanément à cette solution –Apprentissage grâce à des situations –Solutions qui permettent daborder dautres solutions personnelles

26 Des problèmes résistants et de vrais problèmes De cette enveloppe qui contient 7 images, on en retire 3. Combien lenveloppe contient-elle dimages ? On veut partager équitablement 18 billes entre 3 enfants. Combien faut-il donner de billes à chaque enfant ?

27 Quelle somme ?

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30 Lautocar (CE1) Enoncé : Un autocar qui peut transporter 60 personnes est complet. 45 adultes y sont installés. Tous les autres passagers sont des enfants. Combien y a-t-il denfants dans lautocar ?

31 Lautocar Calcul expert : deux solutions –Soit le complément de 45 à 60 –Soit la différence entre 60 et 45 Calcul de lélève –Envisagé spontanément comme un complément 45 + ….. = 60 –Aider les élèves à reconnaître la soustraction, solution plus experte pour dautres nombres (un train de 926 places occupé par 389 adultes)

32 Quelques sites ressources Liste de nombreux sites Site très varié et accessible Sur les jeux mathématiques

33 4 - Les nombres

34 Connaître les nombres Savoir les désigner Savoir les comparer Savoir les utiliser pour résoudre des problèmes Savoir les opérer Savoir les utiliser pour mesurer

35 Apprendre les nombres entiers naturels Calcul Calcul automatisé Calcul réfléchi Calcul posé Calcul instrumenté Organisation et gestion des données Résoudre des problèmes danticipation, de partage. Utiliser des graphiques, des tableaux… Grandeurs et mesures Connaissance des nombres entiers naturels

36 De la maternelle au CM2 La construction du nombre Désignation dune quantité La numération décimale Le nombre : objet détude Différencier valeur et quantité Les grands nombres Insuffisance des nombres entiers

37 Apprentissage de la numération 1)De la récitation de la comptine numérique à la désignation dune quantité 2)Laspect algorithmique de la suite écrite chiffrée 3)Du dénombrement à la désignation écrite chiffrée des quantités 4)Numération et calcul

38 DVD « Enseigner les mathématiques au cycle 2 » : deux situations dapprentissage Scéren : CRDP Académie de Créteil

39 Compétences évaluées fin de CP Ordre sur les nombres naturels

40 Différentes écritures dun nombre

41 Connaissance de la régularité de la file numérique

42 Le dénombrement de grandes collections

43 Les nombres et le sens Deux types de problèmes : – Ceux qui donnent du sens aux nombres en tant que quantité, mesure ou position. – Ceux qui relient le nombre et sa désignation –Règles du fonctionnement de notre système de numération écrite et orale –Relation dordre entre les nombres

44 Des procédures pour comparer des collections

45 Différents registres de représentation Dire « trois » 3

46 Complète le tableau

47 Les moments dapprentissage Les différents types dactivités : Les situations problème Les activités dentraînement Les activités de réinvestissement Les problèmes de recherche Les activités de mémorisation Les dispositifs pédagogiques diversifiés : Travail en petits groupes Travail en binôme Travail individuel Travail collectif

48 Quelles difficultés repérées ? La connaissance des compléments à 10 Passage de la désignation orale à la désignation écrite Les relations arithmétiques entre les nombres : double et moitié

49 Du côté des jeux mathématiques

50 Deux coffrets de 3 jeux – CRDP de Franche-Comté Jeux créés par Didier Faradji

51 Les anneaux pour jouer

52 Equiplay : dès 4/5 ans Le vainqueur est le premier qui parvient à sélectionner quatre cases avec ses quatre anneaux en faisant en sorte quelles contiennent autant de points blancs que de noirs.

53 quadruplay – octuplay 4/5 ans Obtenir 4 (quadru) ou 8 (octu) en faisant la somme des points contenus dans ses anneaux

54 Le Décadex : dès 6 ans Chaque joueur ou équipe dispose de quatre anneaux dune même couleur Le but consiste à totaliser le premier 10 en additionnant les quatre valeurs sélectionnées Les quatre cases réunies doivent être de couleur différente

55 Magix 34- pour 7/8 ans Chaque joueur ou équipe dispose de quatre anneaux dune même couleur Le but consiste à totaliser le premier exactement 34 en additionnant les quatre valeurs sélectionnées. Une fois les anneaux déposés sur le plateau, ils peuvent être déplacés pour arriver à 34 Les tracés colorés correspondent aux symboles « plus petit que » et « plus grand que »

56 CRDP de Paris : les jeux mathématiques

57 5 - Le calcul

58 Le calcul mental -Une bonne maîtrise du calcul mental est indispensable pour les besoins de la vie quotidienne -Le calcul mental est nécessaire pour une bonne compréhension de certaines notions mathématiques -Le déficit de maîtrise du calcul mental fragilise gravement l'apprentissage des techniques écrites. -Ce qu'on désigne sous le terme de calcul écrit (l'opération posée) requiert la connaissance des tables et la gestion des retenues, donc du calcul mental.

59 Deux natures de calcul mental : le calcul automatisé et le calcul réfléchi

60 -Le propre du calcul automatisé (les tables, quelques doubles et moitiés, le calcul sur les dizaines et les centaines entières, les compléments à la dizaine supérieure... ), est de délaisser l'intuition des nombres, l'ordre de grandeur ; il met en oeuvre un algorithme uniforme sur des chiffres et c'est précisément le nœud de son efficacité. -Demande institutionnelle en cycle 2 : tables de 2, 3, 4 et 5 -Sans disponibilité rapide des résultats des tables, il n'y a pas d'accès possible aux techniques opératoires. -Le calcul réfléchi nécessite une intuition des nombres (qui s'affine avec l'entraînement) ainsi qu'une part d'initiative et de choix. Il opère sur des nombres et permet d'enraciner l'ordre de grandeur, le sens des opérations et leurs propriétés (commutativité, associativité, distributivité).

61 Fonction pédagogique du calcul mental -Le calcul mental permet aux élèves de construire et de renforcer leurs premières connaissances relatives à la structuration arithmétique des nombres entiers naturels -La pratique du calcul réfléchi s'appuie, le plus souvent implicitement, sur les propriétés des opérations et, en retour, en assure une première compréhension - Le calcul réfléchi nécessite l'élaboration de procédures originales et, par là, contribue au développement des capacités de raisonnement des élèves

62 Le calcul mental, une aide à la représentation des nombres -Les représentations des nombres sont intériorisées en prenant appui sur des représentations imagées ou symboliques. -Dans les premières, on trouve les constellations (dés, dominos, jeu de cartes) ou des figurations à l'aide des doigts. -Les secondes sont liées aux codages issus des systèmes de numération, chiffrée ou verbale. -Il est donc important, dans les premiers apprentissages des nombres, de consolider les images mentales des « petits nombres », à partir de leurs représentations sous forme de constellations. -La mémorisation dans la table daddition fonctionne essentiellement sur un format acoustique (verbal). -Ainsi, parmi les résultats symétriques (comme et 5 + 7), l'un est toujours plus disponible que l'autre. -De la même façon, les doubles sont toujours rappelés de façon plus sûre et plus rapide que les autres résultats, ce qui permet des stratégies efficaces de calcul.

63 -Lobjectif est bien que, au début du cycle 3, les élèves soient capables de fournir instantanément tous les résultats des tables d'addition, ainsi que les différences et les compléments associés. -Pour les résultats multiplicatifs, la reconstruction est plus difficile que pour laddition. Il faut viser, avant la fin du cycle 3, une mémorisation totale des produits des tables et leur utilisation pour répondre à des questions du type : « Combien de fois 7 dans 56 ? », « 56 divisé par 7 ? »

64 Proposition de progression en calcul mental

65 Principes : -Proposer des séquences assez courtes (elles sollicitent beaucoup). Elles doivent être quotidiennes au cycle 2 -Des exercices faciles au début (mémoire et attention mobilisées) -Des exercices plus complexes (stratégies plus nombreuses) -Terminer par un exercice difficile (obtenir un résultat et/ou ouvrir la réflexion) -Le calcul mental prescrit que lon ne pose pas dopérations mais le recours à lécrit est possible Modalités : -Lénoncé de la question est oral ou écrit (sil est écrit, il doit être effacé au bout de quelques instants) -Lélève écrit la réponse (ardoise) ou lénonce oralement -Il est autorisé à écrire des résultats intermédiaires mais pas lopération -Il lui est possible de consulter visuellement une graduation, un tableau numérique, des tables

66 Calcul additif/soustractif -Ajouter/retrancher 1 -Ajouter/retrancher 10 (à partir dune dizaine entière ; à partir dun nombre quelconque) -Ajouter/retrancher 2 (à partir dun nombre pair/impair) -Ajouter/retrancher 5 (à partir dun nombre en « 0 » ou « 5 ») -Complément à 10 (jeux de cartes, de dominos, « faire dix ») -Doubles (et moitiés) -Ajouter/retrancher 11 ou 9 ( : ) Vers le plus complexe -Pas de retenues – dizaine entière ( ) -Passage de dizaine ( )

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68 Pistes pour apprendre les tables de multiplication

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70 6 - Géométrie 7 - Grandeurs et mesures 8 - Organisation et gestion des données

71 Géométrie -La géométrie développe lattention, lobservation, le soin et le goût du travail bien fait -Proposer une pratique récurrente du tracé, même de simples reproductions de figures -Donner le temps aux élèves de se tromper, de recommencer

72 Géométrie Lenseignement de la géométrie renvoie à deux champs de connaissances : -Les connaissances spatiales -Les connaissances géométriques -Repérages précis -Lexique précis La géométrie, un domaine pluridisciplinaire (EPS, découverte du monde – espace- arts visuels)

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75 Grandeurs et mesures -Partir le plus possible de situations vécues par les élèves -Au cycle 2, étude de la notion de longueur et sensibilisation à celles de masses et de durée. Sajoute la monnaie. -Démarche -Par comparaison directe -Par comparaison indirecte -Par mesurage (étalon) accès à la « mesure » au sens mathématique du terme.

76 Grandeurs et mesures CP - Repérer des événements de la journée en utilisant les heures et les demi-heures. - Comparer et classer des objets selon leur longueur et leur masse. - Utiliser la règle graduée pour tracer des segments, comparer des longueurs. - Connaître et utiliser leuro. - Résoudre des problèmes de vie courante. CE1 Utiliser un calendrier pour comparer des durées. Connaître la relation entre heure et minute, mètre centimètre, kilomètre et mètre, kilogramme et gramme, euro et centime deuro. Mesurer des segments, des distances. Résoudre des problèmes de longueur et de masse.

77 Organisation et gestion des données au cycle 2 Au CP -Lire ou compléter un tableau dans des situations concrètes simples. Au CE1 -Utiliser un tableau, un graphique. -Organiser les informations dun énoncé.

78 Des graphiques

79 Informations dans un énoncé

80 Lecture des énoncés : une démarche -Au cycle 2 puis tout au long du cycle 3, il faut que les élèves soient confrontés aux énoncés sans la médiation dune première lecture par le maître. Envisager des énoncés adaptés, différenciés, outillés. -Les élèves doivent apprendre à naviguer entre données et questions, à passer du texte à dautres formes de (re)présentations des données (schéma, tableau, graphique, etc.) -Ils doivent aussi apprendre à mobiliser leurs connaissances pour se représenter les situations et valider la plausibilité de leurs réponses -La médiation par le maître est plus ou moins présente ; elle sélimine peu à peu à des moment différents selon les élèves. Viser la stabilité des apprentissages.

81 Une personne veut faire un voyage de 7 jours en Grèce. Elle se rend dans une agence de voyages qui lui propose un séjour à 98 euros par jour. Le voyage en avion dure 3 heures. Question : Quel est le prix total de ce séjour ? Parmi ces informations, entoure celles qui te sont utiles Un voyage de 7 jours en GrèceUne agence de voyages Un voyage en avion de 3 heuresUn séjour à 98 euros par jour Calcule le prix total du séjour …………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………..

82 Eléments de différenciation en mathématiques

83 Quelques pistes simples en ce qui concerne la différenciation pédagogique en mathématiques -Proposer un nombre dexercices moins important pour certains élèves -donner moins dopérations à calculer -Introduire des activités plus simples pour certains, « outillées » pour dautres, déjà amorcées…. -donner des opérations plus simples -donner les calculs intermédiaires -Ménager des étapes supplémentaires dans la résolution de certains problèmes -Les phases de travail individuelles sont primordiales. Elles permettent au maître de constater les difficultés et dinstaurer un dialogue avec lélève -Proposer des aides ponctuelles (tables, coup de pouce…) -Inverser toutes ces idées pour une différenciation « vers le haut »

84 Exemple de « coup de pouce » Multiplier par 10, par 20….. par 100, 200 ……………. Multiplier un nombre par 10 revient à lui ajouter un 0 55 x 10 = 550 Multiplier un nombre par 100 revient à lui ajouter deux 0 55 x 100 = Multiplier un nombre par 20 revient à le multiplier par 2 et à lui ajouter un 0 22 x 20 = 440. Cest le même principe pour 30, 40, 50, etc. Multiplier un nombre par 200 revient à le multiplier par 2 et à lui ajouter deux 0 22 x 200 = Cest le même principe pour 300, 400, 500, etc. Collecter toutes les démonstrations dans un cahier

85 Gestion des dispositifs de différenciation en mathématiques

86 A - La différenciation par les procédures Exemple dun partage équitable en CE1 -Un dessin explicatif -Une première répartition -Des hypothèses émises par certains élèves qui utilisent laddition répétée -Dautres élèves utilisent la multiplication

87 Quelle somme ?

88 B - La différenciation par les ressources disponibles et les contraintes imposées Le jet dun dé pour augmenter le trésor (des perles) en GS/CP La taille du trésor initial première variable La valeur du dé seconde variable Pour certains élèves, le dé peut porter des nombres figurés (des points) ou des écritures Le dé peut rester visible ou disparaître rapidement (mise en mémoire, abstraction) Jouer sur la contrainte du temps (plus ou moins de temps selon les élèves) Résultat demandé uniquement par écrit pour certains élèves (valeur et quantité) pour un problème lié à des échanges

89 C - La différenciation par les rôles Exemple du jeu du banquier -Le rôle du caissier -Le caissier a pour rôle de construire une somme demandée par le joueur (32 euros) -Recourir aux billets de 10 euros (pour des élèves nutilisant que des petites pièces) -Montrer lavantage que représente lutilisation des billets de 10 euros -Évolution du jeu : chacun est son propre banquier

90 D - La différenciation par la tâche Organiser la classe en ateliers -De soutien -De besoin -Dapprofondissement

91 La banque doutils daide à lévaluation

92 La banque doutils daide à lévaluation

93 Banque doutils daide à lévaluation 1) Evaluer les compétences des élèves -Immédiatement en classe -À tout moment de lannée -Dans de nombreuses disciplines -De la GS de maternelle à la classe de seconde 2) Un point de vue « autre » -Indépendamment des méthodes pédagogiques employées dans la classe -Interroger les compétences mises en jeu dans les apprentissages -Une analyse possible des réponses des élèves -Conduire ces derniers plus loin dans leurs acquisitions à laide des pistes pédagogiques suggérées

94 Banque doutils daide à lévaluation 3) Les noms des disciplines sont ceux en usage au collège -Allemand, anglais, espagnol -Français -Mathématiques -Histoire - géographie -Sciences de la vie et de la Terre (SVT) -Sciences physiques et chimiques -Technologie Pour les enseignants du 1er degré, une recherche en « sciences et technologie » équivaut à chercher dans trois disciplines

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98 Les gens qui veulent toujours enseigner empêchent beaucoup dapprendre. (Montesquieu)


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