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La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel.

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1 La tangente et la géométrie analytique Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul différentiel

2 Au XVII e siècle, les travaux de René Descartes ( ) et Pierre de Fermat ( ) ont permis le dévelop- pement de méthodes algébriques dans la recherche de la tangente à une courbe. Introduction Ces méthodes algébriques se sont révélées très efficaces pour déterminer la tangente en un point quelconque dune courbe. Elles ont également permis le développement dun langage mathématique pour décrire les phénomènes physiques comportant des variables.

3 Dès quune équation contient deux quantités inconnues, il y a un lieu correspondant et le point extrême de lune de ces quantités décrit une ligne droite ou une ligne courbe. Cest dans louvrage Ad locos planos et solidos isagoge (Introduction aux lieux plans et solides, que Fermat énonce le principe fondamental de la géométrie analytique. Fondement de la géométrie analytique Ainsi, on peut représenter la courbe : y = x 3 – 14x x + 3 Remarque : À lorigine, il y a seulement un axe et on ne distingue pas relation et fonction. Dans les situations qui suivent, nous allons utiliser les notations et représentations modernes.

4 La géométrie analytique comporte deux types de problèmes : On constate que la forme de léquation permet didentifier la forme du graphique et réciproquement. trouver la figure géométrique correspondant à une équation donnée. trouver léquation décrivant une figure géométrique donnée. Problèmes de géométrie analytique Dès lors, la représentation graphique de données expérimentales permet de détecter le lien entre les variables à létude (voir Loi des gaz).

5 En 1637, Descartes publie Discours de la méthode pour bien conduire la raison et chercher la vérité dans les sciences. Cet ouvrage comporte trois appendices qui illustrent lapplication de sa méthode, ce sont : La Dioptrique, Les Météores et La Géométrie. René Descartes Dans la deuxième partie de La Géométrie, Descartes présente une méthode qui consiste à trouver dabord la normale à la courbe au point M, soit la perpendiculaire à la tangente.

6 Illustrons la démarche de Descartes à laide de la courbe y 2 = 8x et dun point quelconque M(x; y) sur la courbe. Descartes et la normale Supposons que N est le point de rencontre de la normale en M et de laxe horizontal. Alors le cercle de centre N et de rayon NM est tangent à la courbe au point M. Si on trace un cercle de centre Q et de rayon QM où Q N, alors le cercle coupe la courbe en deux points distincts M et P. Lorsque Q se rapproche de N, P se rapproche de M.

7 Il faut donc trouver pour quelle valeur de a le cercle est tangent à la parabole. Descartes et la normale Léquation du cercle est : (x – a) 2 + y 2 – r 2 = 0 Le cercle est tangent à la parabole lorsque le discriminant est nul. On a alors une racine double, et : et, puisque y 2 = 8x, on a : (x – a) 2 + 8x – r 2 = 0 x 2 – 2a + a 2 + 8x – r 2 = 0 Les solutions de cette équation quadratique sont données par :, ce qui donne x = a – 4, doù : a = x + 4. x 2 – 2[a – 4]x + (a 2 – r 2 ) = 0

8 On obtient labscisse du point de rencontre de la normale et de laxe horizontal en fonction de labscisse du point de tangence. Descartes et la normale Déterminons la normale au point M(2; 4). On a alors x = 2 et y = ±4. Puisque a = x + 4, on obtient a = 6. La normale en M coupe donc laxe horizontal au point (6; 0).

9 La normale passe par les points (2; 4) et (6; 0). Descartes et la normale On remarque quavec la géométrie analytique il nest plus nécessaire de considérer la courbe comme la composition de deux mouvements. Sa pente est donc : Le produit des pentes de droites perpendiculaires étant égal à –1, on a m T = 1. Léquation de la tangente est : y = x + 2. Elle coupe laxe horizontal à x = –2. On obtient également la tangente au point (2; –4)

10 Pierre de Fermat En 1636, Pierre de Fermat ( ) fait parvenir à Mersenne et Roberval un essai décrivant son approche algébrique de la géométrie, Ad locos planos et solidos isagoge (Introduction aux lieux plans et solides) ainsi quun traité intitulé Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam (Méthode pour déterminer les maxima et les minima). Le premier ouvrage décrit les fondements et méthodes de sa géométrie analytique. Le deuxième décrit une méthode pour trouver les valeurs optimales dune fonction, méthode quil utilisera par la suite pour déterminer la tangente à une courbe.

11 Fermat et les valeurs optimales La fonction a donc une valeur optimale à x = 5/2. Utilisons la notation moderne pour illustrer la procédure de Fermat pour trouver les valeurs optimales.

12 Fermat et la tangente Pour illustrer comment Fermat utilise la procédure pour trouver les valeurs optimales dans la recherche de la tangente, consi- dérons la courbe y 2 = 8x et un point B quelconque sur la courbe. En traçant la tangente et en la prolongeant, celle-ci coupe laxe horizontal en un point E. En abaissant du point B une perpendiculaire à laxe horizontal, on détermine un point C. Le segment EC est appelé la sous-tangente au point B et en déterminant sa longueur, on pourra déterminer le point E, soit un deuxième point de la tangente.

13 Fermat et la tangente Fermat considère alors en un point I une autre verticale à laxe horizontale qui coupe la parabole en A et la tangente en O. Il obtient alors les rapports : De plus, Le point O peut être à droite ou à gauche de B, cette inéquation demeure valide. puisque Considérons que le point O sapproche du point B. Le rapportsapproche alors de Il atteint sa valeur optimale lorsque O se superpose à B.

14 Fermat et la tangente Notons s, la longueur de la sous- tangente, ( x; y ), les coordonnées du point B et ( u; v ), celles du point O. De plus u = x + h. Les rapports sécrivent alors : De plus, puisque les triangles EBC et EOI sont semblables, on a : Cela donne y = ks et v = ku = k(x + h). On a donc, par substitution :

15 Fermat et la tangente Pour trouver la valeur optimale en utilisant la méthode de Fermat, il faut égaler ces deux rapports, ce qui donne : En simplifiant, on obtient : Doù, s 2 (x + h) = x(s + h) 2 et s 2 x + s 2 h = x(s 2 + 2sh + h 2. En distribuant : s 2 x + s 2 h = s 2 x + 2shx + h 2 x. En simplifiant : s 2 h = 2shx + h 2 x.En divisant par h : s 2 = 2sx + hx. En posant h = 0 : s 2 = 2sx.En divisant par s : s = 2x. Ainsi, au point B(2; 4) la longueur de la sous-tangente est 4, ce qui permet de déterminer que la tangente coupe laxe horizontal au point (–2; 0).

16 Isaac Barrow Isaac Barrow ( ) publie ses Lectionæ opticæ en 1669 et ses Lectionæ geometricæ en 1670 qui comprennent treize leçons. Dans ces ouvrages, il inclut tous les procédés infinitésimaux quil connaît ainsi qune méthode algébrique pour la détermination des tangentes. Dans la première leçon, il discute de la nature des concepts de temps et de mouvement et de leur représentation géométrique à la manière dOresme et de Galilée. Il considère quune ligne peut être conçue comme la trace dun point mobile ou comme la trace dun moment continuellement fluant. Le temps peut dont être représenté par une ligne droite uniforme, ce qui lamène au problème de la vitesse instantanée.

17 Barrow et la tangente Barrow présente dans la dixième leçon sa méthode des tangentes qui est assez semblable à celle de Fermat. Pour illustrer cette méthode, considérons la courbe ci-contre et un point M quelconque sur la courbe. Barrow veut déterminer la longueur t de la sous-tangente. Il considère alors un point N sur la courbe et le triangle de côtés e et a formé en traçant NR parallèlement à laxe horizontal. Lorsque M et N sont infiniment rapprochés, les rapports m/t et a/e sont égaux et le rapport a/e donne la valeur de la pente de la tangente à la courbe.

18 Barrow et la tangente Considérons la courbe y 2 = 8x. Pour déterminer le rapport a/e, Barrow substitue x + e à x et y + a à y dans léquation définissant la rela- tion. Cela donne : (y + a) 2 = 8(x + e) Doù : y 2 + 2ya + a 2 = 8x + 8e 2ya + a 2 = 8e, puisque y 2 = 8x et : 2ya = 8e, en négligeant les puissances de a et e. Par conséquent :, doù, et Au point M(2; 4), y = 4 et m = 4, doù t = 4. La longueur de la sous-tangente étant égale à 4, il est facile de tracer la tangente.

19 Isaac Newton En 1671, Newton rédige sa Méthode des fluxions qui ne sera publiée quen Dans cet ouvrage, il considère quune courbe est engendrée par le mouvement continu dun point. Lordonnée dun point est une fluente notée : y Dans cette conception, labscisse et lordonnée du point sont des quantités variables appelées fluentes et son taux de variation est appelé fluxion. sa fluxion est notée : son moment est noté : la fluxion de la fluxion est notée : De plus, le moment dune fluente est laccroissement infiniment petit de la fluente durant un intervalle de temps infiniment petit o. ( en notation moderne, dx/dt).

20 Newton et les fluxions Newton explique que lon peut toujours négliger les termes contenant des puissances de o supérieures à 1 et obtenir une équation décrivant la relation entre les coordonnées x et y du point qui engendre la courbe et les fluxions de celles- ci. Voyons comment procéder avec la courbe y 2 = 8x., par substitution;, puisque y 2 = 8x;, en divisant par o;, en posant o = 0., en développant; Remarque : La procédure de Newton sapparente à la dérivation implicite actuelle. Lexpression obtenue sécrit en notation moderne :

21 Gottfried Wilhelm Leibniz Leibniz a communiqué le fruit de ses réflexions sur le calcul différentiel et intégral dans deux articles publiés dans Acta eruditorum, lun en 1684 et lautre en Dans celui de 1684, il présente les règles générales de la différentiation en se servant des différentielles et plutôt que des dérivées. Les différentielles dy et dx sont définies comme des accroissement finis, mais en une occasion il définit dy par le rapport suivant : où dx est considéré comme une constante arbitraire, établissant un lien entre les différentielles et la tangente.

22 Règles de différentiation Dans son article, Leibniz présente les règles de différentiation quil avait obtenues en 1677, soit : La différentiation dune somme : d(u + v) = du + dv; Il nutilise pas le terme fonction mais, il introduit lappellation calcul différentiel et présente des applications géométriques comme la recherche des tangentes, des minima et maxima et des points dinflexion. Il donne la condition dv = 0 pour un maximum et un minimum et la condition ddv = 0 pour un point dinflexion. La différentiation dun produit : d(uv) = udv + vdu; La différentiation dun quotient : La différentiation dune puissance : d(x n ) = nx n–1 dx

23 Ces méthodes ont été sévèrement critiquées par lévêque anglican Berkeley en partie pour cette raison. Il faudra cependant attendre les travaux dAugustin Cauchy ( ) et le développement des notions de limite et de continuité pour donner des fondements solides au calcul différentiel. Les méthodes algébriques développées au XVII e siècle pour déterminer la tangente à une courbe avaient en commun une même faiblesse. Elles comportaient toutes une division des deux membres de léquation par une quantité à laquelle on donne par la suite la valeur 0, or la division par 0 nest pas définie. Conclusion

24 Fin Bibliographie Ball, W. W. R. A Short Account of History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc., 1960, 522 p. Bernal, J.D. A History of Classical Physics, From Antiquity to the Quantum, New York, Barnes & Nobles Books, 1997, 317 p. Boyer, Carl B. A History of Mathematics, New York, John Wiley & Sons, 1968, 717 p. Collette, Jean-Paul. Histoire des mathématiques, Montréal, Éditions du Renouveau Pédagogique Inc., vol., 587 p. Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics, New-York, Holt Rinehart and Winston, 1976, 588 p. Gribbin, John, A Brief History of Science, New York, Barnes & Nobles Books, 1998, 224 p. Silver, Brian L. The Ascent of Science, New York, Oxford University Press, 1998, 534 p. Smith, David Eugene. History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc. 1958, 2 vol p. Struik, David. A Concise History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc. 1967, 195 p.


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