La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Comparaison daires Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul intégral.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Comparaison daires Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul intégral."— Transcription de la présentation:

1 Comparaison daires Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul intégral

2 Le calcul daires et de volumes, qui est une application importante du calcul intégral, a eu très tôt un intérêt pratique dans les sociétés agraires. Le calcul de la superficie dun terrain pour partager un héritage ou le calcul du volume dun contenant de denrées en vrac comme le blé ou le vin revêtent un intérêt commercial indiscutable. Introduction Les savants grecs se sont intéressés aux aires et aux volumes dun point de vue plus désintéressé. Ils voulaient connaître les propriétés des figures géométriques pour le plaisir de connaître. Dans cette présentation, nous verrons les tentatives pour déterminer laire délimité par une courbe avant lavènement de la géométrie analytique.

3 Les géomètres grecs ont posé les premiers problèmes de calcul daires, ou plus précisément de comparaison daires, de figures délimités par des courbes. Ne disposant pas dun système de numération aussi sophistiqué que le nôtre, ils cherchaient plutôt à déterminer le rapport des aires de figures. Il est simple de comparer les aires de figures semblables. Les aires de deux figures semblables sont dans le rapport des carrés des lignes homologues. Calcul daires Mais, peut-on comparer laire dun cercle et laire dun carré?

4 Dans le Ménon de Platon, on trouve un premier problème relié au calcul daires. Ce problème est le suivant : Ménon de Platon Construire un carré dont laire est le double de celle dun carré donné. Dans son dialogue, Platon met en scène Socrate et un esclave et, pour faciliter la réflexion, il considère un carré de deux unités de côté. La première solution envisagée est celle de reproduire le carré sur ses côtés. Par ses questions, Socrate amène lesclave à rejeter cette solution. Socrate encourage lesclave à proposer des solutions et à les critiquer.

5 Lesclave propose alors de construire un carré dont le côté est une fois et demie celle du carré donné. Ménon de Platon Les questions de Socrate amènent le rejet de cette solution et une troisième est proposée qui se révèle être la bonne. Cependant, lexemple choisi par Platon illustre lintérêt que lon portait à la construction de figures dont on peut comparer les aires par des rapports. Le but de Platon dans ce dialogue est de nous convaincre de sa théorie de la Réminiscence. Pour lui, lÂme a contemplé le monde des Idées entre deux réincarnations et cest ce souvenir du monde des Idées que lesclave retrouve en découvrant la solution.

6 Le premier à déterminer laire dune surface délimité par des courbes est Hippocrate de Chio (vers 450 av. J.-C.). Il cherchait en fait à réaliser la quadrature du cercle, cest-à-dire à construire un carré dont laire soit la même que celle dun cercle donné. Hippocrate et les lunules Hippocrate a déterminé que la somme des aires des lunules construites sur les côtés dun triangle rectangle est égale à laire du triangle. Cependant, il ne savait toujours pas comment trouver laire du cercle.

7 Antiphon le sophiste Le premier à envisager une approche intéressante pour trouver laire dun cercle est Antiphon (vers 430 av. J.-C.), contemporain de Socrate. Le postulat quil a énoncé est le suivant : Postulat dAntiphon En doublant le nombre de côtés dun polygone régulier inscrit dans un cercle et en répétant successivement lopération, on peut rendre nulle la différence entre laire du cercle et laire du polygone. Ce postulat a suscité des critiques de même nature que celles que Zénon avait formulées dans le paradoxe dAchille.

8 Eudoxe et la méthode dexhaustion Le postulat dAntiphon reconnaît implicitement lexistence dune limite. Cette notion nétait pas suffisamment bien définie pour quil soit possible de lutiliser. Eudoxe de Cnide (~406 à ~355) va modifier le postulat de la façon suivante : Postulat dEudoxe Si on soustrait dune grandeur donnée une partie supérieure ou égale à sa moitié, et que du reste, on soustrait une partie supérieure ou égale à sa moitié et ainsi de suite, à la longue, la grandeur restante peut être rendue plus petite que nimporte quelle grandeur prédéfinie de même nature.

9 Rapport des aires de deux cercles Eudoxe modifie donc le postulat en évitant de dire que la somme infinie donne un nombre fini ou que la différence peut être rendue nulle. Il indique plutôt quelle peut être rendue aussi petite que lon veut en doublant le nombre de côtés du polygone. En utilisant ce postulat, Eudoxe démontre, par une double réduction à labsurde, que le rapport des aires de deux cercles est égal au rapport des carrés de leurs diamètres. Cela donne que le rapport de laire dun cercle au carré de son diamètre est constant.

10 Archimède et la méthode dexhaustion Le flambeau est repris par Archimède ( av. J.-C.). À partir de son étude des conditions déquilibre des leviers, il développe une méthode pour comparer les aires de figures planes et les volumes de solides en considérant quils sont constitués de bandes ou de tranches parallèles et en déterminant à quelle distance du pivot dun levier ces bandes ou ces tranches seront en équilibre.

11 Archimède et laire du cercle Archimède utilise la méthode dexhaustion pour montrer que laire dun cercle est égale à laire du triangle dont la longueur de la base est égale à la circonférence du cercle et dont la hauteur est le rayon du cercle. En combinant ce résultat avec celui dEudoxe, Archimède obtient : Il développe alors une procédure pour déterminer une valeur approchée de ce rapport.

12 Archimède et le segment de parabole Archimède utilise la méthode du levier pour comparer laire dun segment de parabole à celle du triangle inscrit. Il utilise ensuite la méthode dexhaustion pour démontrer la validité de cette conjecture. Laire du segment parabolique est égale à 4/3 de laire du triangle inscrit. Il obtient alors :

13 Aire de la spirale Archimède, dans son étude de la spirale, compare : Il obtient alors : Laire comprise entre la spirale et la demi-droite replacée dans la position doù elle est partie vaut le tiers de laire du cercle décrit de lextrémité fixe com- me centre et dont le rayon est le segment que le point a parcouru pendant une révolution de la demi-droite. laire du cercle; et laire comprise entre la spirale et le segment de droite après une révolution;

14 Volume de la sphère Archimède utilise aussi la méthode du levier pour comparer le volume dune sphère à ceux du cylindre et du cône de même rayon r et de hauteur h = 2r. Il obtient alors : Il utilise à nouveau la méthode dexhaustion pour démontrer la validité de cette conjecture. Lorsquun cylindre est circonscrit à une sphère avec un diamètre égal à celui de la sphère, le volume et la surface du cylindre sont une fois et demie le volume et la surface de la sphère.

15 Nicole Oresme Au quatorzième siècle, Nicole Oresme ( ) sinté- resse au mouvement unifor- mément accéléré quil appelle mouvement uniformément dif- forme. Il considère le mou- vement comme une qualité des objets au sens aristotélicien du terme et veut en faire une étude quantitative.

16 Règle de Merton Nicole Oresme adopte la règle de Merton, postulat des philosophes scolastiques dOxford. Ceux-ci avaient déjà entrepris létude de la quantification des qualités ou étude des formes variables au quatorzième siècle. La règle de Merton sénonce comme suit : Toute qualité mesurable peut être imaginée comme une quantité continue.

17 Aire et mouvement Dans les travaux dOresme, le mouvement uniformément difforme est représenté par un triangle lorsque la vitesse initiale est nulle. Grâce à cette repré- sentation graphique et à la règle de Merton, Oresme acquit la conviction que la distance parcourue était représentée par laire sous la courbe puisque cest la somme de tous les ac- croissements de distance correspondant aux vitesses instantanées.

18 Aire et mouvement Les travaux dOresme vont éventuellement poser des questions importantes. Si la vitesse initiale nest pas nulle et que le mouvement est difformément difforme (accélé- ration variable) : Peut-on déterminer la distance parcourue? Peut-on déterminer la vitesse moyenne? Pour répondre adéquatement à ces questions, il faudra développer des moyens pour calculer laire délimitée par une courbe.

19 Galilée et létude du mouvement Aux XVI e et XVII e siècles, certains travaux scientifiques vont contribuer à stimuler les recherches sur le calcul daires. Cest le cas notamment de létude du mouvement de Galilée et des lois de Kepler. Dans son étude du mouvement, Galilée ( ) montre que les trajectoires des projectiles sont des paraboles et que la chute des corps ne se fait pas à vitesse constante mais que le mouvement est uniformément accéléré. Galilée navait à sa disposition, comme outil mathématique, que la théorie des proportions dEuclide. Ses travaux ont clairement montré quil fallait développer de nouveaux outils mathématiques.

20 Les lois de Kepler La deuxième loi de Kepler (Johannes ) sénonce comme suit : La trajectoire dune planète étant elliptique, il faut, pour vérifier cette loi, calculer laire dune surface délimitée par une courbe. Kepler a fait plusieurs recherches sur le calcul daires et de volumes. La droite joignant la planète au Soleil balaie des aires égales en des temps égaux.

21 Kepler et laire du cercle Kepler considère quun cercle est un polygone régulier ayant un nombre infini de côtés. Si le nombre de côtés est infini, lapothème est égal au rayon et le produit du côté du polygone par le nombre de côtés est égal à la circonférence. Laire du cercle est donc égale au demi-produit de la circonférence et du rayon. Le polygone régulier à n côtés est formé de n triangles égaux. Laire de chacun des triangles est le demi-produit de la base b et de lapothème a. Laire du polygone est donc égale au demi-produit du périmètre (nb) et de lapothème(a). Il procède de façon analogue pour trouver laire dun secteur elliptique en le décomposant en triangles.

22 Kepler et le volume de la sphère Kepler considère que la sphère est constituée dune infinité de minces cônes ayant tous pour sommet le centre de la sphère. Kepler obtient des résultats corrects, même si sa méthode nest pas très rigoureuse. Le volume dun cône étant le tiers du produit de sa hauteur par laire de sa base, il déduit que le volume de la sphère est le tiers du produit de son rayon par laire de sa surface. En écriture moderne :

23 Marin Mersenne Au XVII e siècle, plusieurs savants de différentes nationalités ont travaillé à chercher des méthodes pour calculer laire sous une courbe. Chaque nouvelle courbe était un défi intéressant. Par sa cor- respondance avec les savants de son époque, Marin Mersenne ( ) a permis léchange de procédés et a fait que les problèmes auxquels les uns sattaquaient étaient connus des autres. Ces recherches ont donné des méthodes intéressantes pour déterminer laire sous plusieurs familles de courbes mais les résultats étaient souvent obtenus par des démarches qui nétaient pas généralisables à dautres familles de courbes ou dont les fondements mathématiques nétaient pas assez solides.

24 Méthode des indivisibles La méthode des indivisibles est due à Bonaventura Cavalieri ( ). Cette méthode, qui nest pas sans rappeler la méthode du levier dArchimède, était utilisée pour comparer des aires et pour comparer des volumes. Plusieurs savants de lépoque, alimentés par la correspondance de Mersenne, ont utilisé des variantes de la méthode des indivisibles en cherchant à donner des fondements plus solides à cette méthode. Cette méthode est basée sur la conviction que la matière est constituée de parties insécables (les indivisibles) dont les propriétés sont différentes de celles de la matière.

25 Comparaison des aires La comparaison des aires par la méthode des indivisibles est basée sur le postulat suivant : Si deux figures planes ont même hauteur et si des sections qui sont obtenues par des lignes parallèles aux bases et à égale distance de celles-ci sont toujours dans un même rapport, alors les aires des deux figures sont aussi dans le même rapport.

26 Comparaison des volumes La comparaison des volumes est basée sur le postulat suivant : Si deux solides sont compris entre deux plans parallèles, et si les aires des intersections de ces solides avec un plan parallèle aux deux premiers sont toujours dans un même rapport, alors les volumes des deux solides sont dans le même rapport

27 Volume de la sphère Cavalieri considère une demi-sphère de rayon r et un cylindre de rayon et de hauteur r dont lintérieur est creusé en forme de cône inversé. Il compare alors les tranches de ces solides. Laire de lanneau obtenu en tranchant le cylindre creux à la même hauteur est : Laire de la tranche de la demi-sphère à une hauteur h est : A s = π(r 2 – h 2 ) car A s = πr 2 – πh 2 car cest la différence des aires des cercles.

28 Volume de la sphère Dans la méthode des indivisibles, le volume du solide est la somme des tranches indivisibles de ce solide. Il en conclut que le volume de la demi-sphère est égal à la différence des volumes du cylindre et du cône, soit : Par conséquent : Galilée a fait remarquer que cette méthode était paradoxale car, à la limite, le point et le cercle de rayon r ont même aire.

29 La cycloïde La cycloïde est lune des courbes étudiées à lépoque. Cest la courbe décrite par un point sur la circonférence dune roue qui roule sur une surface plane. Marin Mersenne avait essayé de trouver laire sous la cycloïde. Ny parvenant pas, il a proposé le problème aux savants avec qui il correspondait. Roberval va relever le défi.

30 Aire sous la cycloïde Il construit dabord la compagne de la cycloïde en glissant les segments in- divisibles du demi-cercle pour les aligner sur la cycloïde. La compagne divise laire du rectangle (2πr 2 ) en deux parties égales. Laire sous la demi-cycloïde est alors la moitié de laire du rectangle à laquelle on ajoute laire entre la compagne et la demi-cycloïde qui est égale à la moitié de laire du cercle générateur. Laire sous la demi- cycloïde est donc 3πr 2 /2 et laire sous la cycloïde est 3πr 2. Roberval a utilisé une approche inspirée de la méthode des indivisibles pour déterminer laire sous la demi-cycloïde.

31 Fin Conclusion Pour calculer une aire délimitée par une courbe, il faut être en mesure de décrire cette courbe. Cela peut être fait géométriquement comme pour le cercle ou la lunule ou méca- niquement comme pour la spirale dArchimède et la cycloïde. Léventail des courbes que lon peut définir géométriquement ou mécaniquement est cependant assez limité. Lavènement de la géométrie analytique va permettre de définir les courbes algébriquement et de développer des méthodes algébriques de calcul daires qui auront cette généralité. Les premières méthodes de calcul daires reposaient beaucoup sur les propriétés géométriques ou mécaniques de la courbe et chaque nouvelle courbe exigeait beaucoup dingéniosité. Les méthodes de calcul navaient pas la généralité nécessaire pour être facilement utilisables avec des courbes nouvelles.

32 Fin Bibliographie Ball, W. W. R. A Short Account of History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc., 1960, 522 p. Bernal, J.D. A History of Classical Physics, From Antiquity to the Quantum, New York, Barnes & Nobles Books, 1997, 317 p. Boyer, Carl B. A History of Mathematics, New York, John Wiley & Sons, 1968, 717 p. Collette, Jean-Paul. Histoire des mathématiques, Montréal, Éditions du Renouveau Pédagogique Inc., vol., 587 p. Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics, New-York, Holt Rinehart and Winston, 1976, 588 p. Gribbin, John, A Brief History of Science, New York, Barnes & Nobles Books, 1998, 224 p. Silver, Brian L. The Ascent of Science, New York, Oxford University Press, 1998, 534 p. Smith, David Eugene. History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc. 1958, 2 vol p. Struik, David. A Concise History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc. 1967, 195 p.


Télécharger ppt "Comparaison daires Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon ? Calcul intégral."

Présentations similaires


Annonces Google