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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Taux ponctuel, valeur limite Taux ponctuel, valeur limite.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Taux ponctuel, valeur limite Taux ponctuel, valeur limite

2 Introduction Dans cette présentation, nous développerons une approche algébrique pour évaluer le taux de variation ponctuel.

3 Taux de variation ponctuel DÉFINITION Taux de variation ponctuel Soit f une fonction et (c; f(c)) un point du graphique de cette fonction. Le taux de variation ponctuel (TVP) de la fonction f au point dabscisse a est la valeur limite des taux de variation moyens sur un intervalle [c; c+x] lorsque la largeur x de lintervalle sapproche de 0. On se souvient que le taux de variation moyen dans [c; c + x] est : Graphiquement, cest la pente de la tangente au point (c; f(c)). y x [c; c+x] f(c + x) – f(c) x (c+x; f(c+x)) (c; f(c)) x y Le taux de variation ponctuel au point dabscisse c est : dy dx c lim x 0 S = Lorsque le point Q sapproche du point P, la sécante pivote autour du point P et à la limite, lorsque x devient nul, la sécante devient la tangente au point (c; f(c)). S

4 Évaluation algébrique du taux de variation ponctuel Pour alléger lécriture dans les manipulations algébriques, on représente souvent la variation x par la lettre h. PROCÉDURE dévaluation algébrique du taux de variation ponctuel 1.Évaluer f(c). 2.Évaluer f(c+x). 3.Évaluer la variation y = f(c+x) – f(c) en effectuant les simplifi- cations pertinentes. 4.Évaluer le TVM dans lintervalle [c; c+x] et effectuer les opérations algébriques pertinentes. 5.Évaluer la limite du TVM lorsque x tend vers 0.

5 SSS Exemple Déterminer le taux de variation ponctuel en c = 2 de la fonction définie par la règle de correspondance : f (x) = 2x 2 – 3 1. f(2) = 2(2) 2 – 3 = 5 = 8 + 2h Selon cette procédure, le taux de variation ponctuel au point (2; 5) est égal à f(2 + h) = 2(2 + h) 2 – 3 = 2(4 + 4h + h 2 ) – 3 = 8 + 8h + 2h 2 – 3 = 5 + 8h + 2h 2 3. y = 5 + 8h + 2h 2 – 5 = 8h + 2h

6 SSS Exemple Trouver le taux de variation instantané de la position dune balle lancée verticalement avec une vélocité de 20 m/s. La position de la balle mesurée à partir du sol est décrite par : s = 20t – 4,9t 2 mètres 1. s(3) = 20 3 – 4,9(3) 2 = 15,9 m = –9,4 – 4,9h Selon cette procédure, le taux de variation ponctuel à t = 3 s est de – 9,4 m/s. La balle retombe à une vitesse de 9,4 m/s. 2. s(3+h)= 20(3+h) – 4,9(3+h) 2 = 20(3+h) – 4,9[9 + 6h + h 2 ] = 15,9 – 9,4h – 4,9h 2 3. s = –9,4h – 4,9h

7 SS Exemple Le chimiste anglais Robert Boyle ( ) a réalisé une expérience qui a permis de montrer que le volume occupé par un gaz à température constante est inversement proportionnel à la pression exercée sur ce gaz. Lexpérience consistait à emprisonner un gaz dans un tube de verre recourbé comme dans lillustration. Le rayon du tube étant constant, la hauteur de la colonne de gaz permet de trouver son volume. De plus, en ajoutant du mercure, la pression exercée sur le gaz augmente et la mesure de cette pression est donnée par la différence de hauteur h en pouces de mercure. En répétant lexpérience, on a obtenu : où V est le volume (po 3 ) et p est la pression (po de mercure dont le symbole est Hg).

8 SSS Exemple Trouver le taux de variation ponctuel du volume lorsque la pression est de 30 po de Hg. Interpréter selon le contexte. 1. Le volume de gaz emprisonné dans le tube de verre tend à diminuer de 1,56 pouces cubes pour une augmentation de 1 pouce de mercure de la pression lorsque la différence de hauteur est de 30 po = –1,56

9 SSS Exemple 3.3.4a Évaluer le taux de variation à t = 0 de la fréquence de rotation dune roue dinertie si cette fréquence, t minutes après la mise hors tension, est : Il ny a pas de simplification possible de cette expression et si on substitue 0 à h, on obtient 0/0, ce qui est indéterminé. 4. v = 300 e – 0,25t t/min 1. v(0) = 300 e = 300 t/min 2. v(0 + h) = 300 e –0,25h = 300 e –0,25h t/min 3. v = 300 e –0,25h – 300 = 300 (e –0,25h – 1) t/min hh –0,5–0,266290,5–0,23501 –0,1–0,253150,1–0,24690 –0,01–0,250310,01–0,24699 –0,001–0,250030,001–0,24998 Pour évaluer la limite, nous devons prendre une approche numérique. Pour simplifier le travail, on peut considérer seulement le rapport :

10 SSS Exemple 3.3.4a Évaluer le taux de variation à t = 0 de la fréquence de rotation dune roue dinertie si cette fréquence, t minutes après la mise hors tension, est : 4. v = 300 e – 0,25t t/min 1. v(0) = 300 e = 300 t/min 2. v(0 + h) = 300 e –0,25h = 300 e –0,25h t/min 3. v = 300 e –0,25h – 300 = 300 (e –0,25h – 1) t/min 5. = 300 –0,25 = –75 t/min 2 Laccélération angulaire, à linstant initial, est de –75 t/min 2, ce qui signifie quà cet instant, la fréquence de rotation de la roue tend à diminuer de 75 t/min par minute.

11 SSS Exemple 3.3.4b Évaluer le taux de variation à t = 2 de la fréquence de rotation dune roue dinertie si cette fréquence, t minutes après la mise hors tension, est : 4. v = 300 e – 0,25t t/min 1. v(2) = 300 e – t/min 2. v(2 + h) = 300 e –0,5 –0,25h = 300 e –0,5 e –0,25h t/min 3. v = 300 e –0,5 e –0,25h – 300e – = 300e – (e –0,25h – 1) t/min 5. = 300e –0,5 –0,25 = –45 t/min 2 Laccélération angulaire à la deuxième minute est de –45 t/min 2, ce qui signifie quà cet instant, la fréquence de rotation de la roue tend à diminuer de 45 t/min par minute. Certains limites particulières, une fois évaluées, vont nous servir pour développer une approche plus générale de recherche de la tangente à la courbe.

12 Conclusion Nous avons développé une approche algébrique pour calculer le taux de variation ponctuel. Cependant, cette procédure soulève une question fondamentale : Peut-on vraiment simplifier lexpression obtenue à létape 4, puisquen posant h = 0, on obtient 0 divisé par 0? Cette procédure semble vicieuse. Est-il possible de lui donner un fondement solide? Cest ce que nous saurons dans les prochains épisodes.

13 Lecture Calcul différentiel, applications en sciences de la nature, Section 3.3, p Exercices Calcul différentiel, applications en sciences de la nature, Section 3.4, p


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