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SECTIONS PLANES I PYRAMIDES et CONES de REVOLUTION 1° Pyramide Base Arête Hauteur Face latérale Dans une pyramide : La base est un polygone Les faces.

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2 SECTIONS PLANES I PYRAMIDES et CONES de REVOLUTION 1° Pyramide Base Arête Hauteur Face latérale Dans une pyramide : La base est un polygone Les faces latérales sont des triangles ayant un sommet commun appelé sommet de la pyramide La hauteur est la distance SI du sommet à la base. Une arête est un segment qui joint le sommet à un sommet du polygone de base Sommet

3 Pyramide régulière. le polygone de base est régulier: triangle équilatéral, carré …… La hauteur issue du sommet passe par le centre du polygone Les arêtes latérales ont la même longueur Dans une pyramide régulière

4 2° Cône de révolution Dans un cône de révolution : La base est un disque. La hauteur est la distance entre le sommet et la base ( SO ). Base Hauteur Génératrice

5 3° Volume dune pyramide ou dun cône Le volume V dune pyramide ou dun cône est donné par la formule Pour un cône de révolution de rayon r et hauteur h on obtient:

6 4° Voir dans lespace ABCDEFGH est un cube darête 5 cm. 1° Voir dans lespace. Construire en vraie grandeur : Le carré EFGH Les triangles AEF et AEH. Les triangles AGF et AGH. 2° Construire le patron de la pyramide AEFGH.

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9 II SECTIONS PLANES 1° Section dun cube ou dun pave droit Géospace La section dun cube ou dun pavé droit par un plan parallèle à une face ou à une arête est un rectangle.

10 2° Section dun cylindre de révolution La section dun cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe est un disque La section dun cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un rectangle a) b) Géospace

11 3° Section dune pyramide par un plan parallèle à la base. La section dune pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone de même nature que le polygone de base. On obtient un tronc de pyramide et une pyramide, qui est une réduction de la pyramide initiale. Géospace Tronc de pyramide Pyramide en réduction

12 4° Section dun cône par un plan parallèle à la base. La section dun cône par un plan parallèle à sa base est un disque. On obtient un tronc de cône et un cône, qui est une réduction du cône initial Tronc de cône Cône en réduction

13 III AGRANDISSEMENT REDUCTION 1° Définition Si on multiplie TOUTES les dimensions dun solide par un même nombre k >1 alors on obtient un agrandissement de ce solide. Si on multiplie TOUTES les dimensions dun solide par un même nombre k < 1 alors on obtient une réduction de ce solide. k < 1 k > 1 REDUCTION AGRANDISSEMENT

14 2° Effets dun agrandissement sur les aires et les volumes. CC1C1 C2C2 Arête en cm 123 Aire de base en cm 2 1 Volume en cm 3 1 les longueurs sont multipliées par : les aires sont multipliées par : les volumes sont multipliées par : De C à C 1 De C à C 2 C C1C1 C2C2 a) Aires et volumes b) Coefficient = 2 2 = 2 3 = 3 2 = 3 3

15 3° Effets dune réduction sur les aires et les volumes. C C3C3 C4C4 a) Aires et volumes CC3C3 C4C4 Arête en cm 10,80,5 Aire de base en cm 2 1 Volume en cm 3 1 b ) Coefficient les longueurs sont multipliées par : les aires sont multipliées par : les volumes sont multipliées par : De C à C 3 0,8 De C à C 2 0,5 0,640,25 0,5120,125 0,640,512 0,250,125 = 0,8 2 = 0,8 3 = 0,5 2 = 0,5 3

16 4° Règle. Si au cours dun agrandissement ou dune réduction, toutes les dimensions sont multipliées par un même nombre k Alors : les aires sont multipliées par k 2 les volumes sont multipliés par k 3

17 5° Exercice résolu On considère la pyramide de sommet S, de hauteur [SB ] et de base le triangle ABC, rectangle en B. SB = 8,1 cm AB = 5,4 cm, BC = 7,2 cm 1° Calculer laire du triangle ABC. En déduire le volume de la pyramide SABC. 2° On coupe la pyramide SABC par un plan parallèle à la base passant par le point B. Il coupe [SA] en A et [SC] en C. La pyramide SABC est une réduction de la pyramide SABC SB= 6,3 cm. Calculer le coefficient de réduction k. Dessiner la section en vrai grandeur après avoir calculé ses dimensions. 3° En utilisant le coefficient calculer : a) laire du triangle ABC b) le volume de la pyramide SABC.

18 1° a) Aire du triangle ABC A ABC= A ABC = 19,44 cm² b) Volume de la pyramide SABC V SABC = V SABC = 52,488 cm 3

19 C A 2° a) Calcul du coefficient de réduction k Pour calculer le coefficient on divise : une dimension de lobjet final par la dimension correspondante de lobjet initial. b) Dimensions de la section BC = k × BC = AB = k × AB =

20 c) dessin de la section. B C A La section ABC est donc un triangle rectangle dont les côtés de langle droit mesurent 4,2 cm et 5,6 cm 4,2 cm 5,6 cm 4° a) Aire du triangle ABC A ABC = k² × A ABC = b) Volume de la pyramide réduite SABC V SABC = k 3 × V SABC =

21 IV SPHERE et BOULE Sphère Boule ( creuse ) ( pleine )

22 1° a) Définition. La sphère de centre O et de rayon R est lensemble des points de lespace dont la distance à O est égale à R La boule de centre O et de rayon R est lensemble des points de lespace dont la distance à O est inférieure ou égale à R [AB] est un diamètre.

23 b) Aire et volume Nous admettrons les deux formules suivantes. a) Aire dune sphère de rayon R A = 4πR² b) Volume dune boule de rayon R Si la circonférence est fière D'être égale à deux Pierres, Le disque est tout heureux D'être égal à Pierre II. Le volume de toute Terre, De toute sphère Qu'elle soit de pierre ou de bois Est égal à quatre tiers de Pierre III. Petit poème

24 2° Section dune sphère ou dune boule par un plan La section dune sphère par un plan est un cercle. La section dune boule par un plan est un disque.

25 3° Exercice résolu : Page 267 n°18 1° Calcul de h Dans le triangle IZM rectangle en Z avec le théorème de Pythagore on a : IZ² + ZM² = IM ² h² + 12² = 16² IM est le rayon soit de la sphère. h² = 16² - 12² h² = 112

26 2° Calcul de r Dans le triangle IZN rectangle en Z avec le théorème de Pythagore on a : IZ² + ZN² = IN ² 5² + r² = 16² IN est le rayon soit de la sphère. r² = 16² - 5² r² = 231


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