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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Propriétés.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Propriétés des Déterminants Propriétés des Déterminants

2 Introduction Nous présentons dans ce diaporama les propriétés des déterminants. Dans chaque cas, l’idée de la preuve est illustrée à l’aide de déterminants d’ordre 3, mais il est facile de voir comment on peut généraliser ces illustrations pour en faire une démonstration. Nous utiliserons ces propriétés pour simplifier le calcul d’un déterminant en faisant apparaître des zéros sur une ligne ou une colonne. Elles nous serviront également pour démontrer la méthode de Cramer pour un système de trois équations à trois inconnues. Cette démonstration est facilement généralisable sous la forme que nous présenterons. Ces propriétés nous permettront également de comprendre pourquoi le produit d’une matrice carrée A et de son adjointe donne une matrice scalaire dont le scalaire est det A.

3 Propriétés du déterminant Propriété 1 a 11 a 21 a Si tous les éléments d’une ligne (ou d’une colonne) d’une matrice carrée A sont nuls, alors : det A = 0 C C C 32 = 0, par le développement de Laplace. a 13 a 23 a 33 Soit A = En développant le déterminant selon la colonne de zéros, on obtient : On constate facilement qu’il suffit de procéder de la même façon, quelle que soit la dimension de la matrice carrée, pour montrer que le déterminant d’une matrice ayant une ligne (ou une colonne de zéros) est nul.. det A = 0 Idée de la preuve S

4 Propriétés du déterminant Propriété 2 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 Soit A, une matrice carrée et B obtenue en multipliant les éléments d’une ligne ou d’une colonne de A par un nombre réel k. Alors : det B = k det A det B = ka 13 C 13 + ka 23 C 23 + ka 33 C 33 a 13 a 23 a 33 Soit A = En développant le déterminant selon la colonne qui a été multipliée par k, on obtient : a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 ka 13 ka 23 ka 33 et B =. Idée de la preuve S = k (a 13 C 13 + a 23 C 23 + a 33 C 33 ), par le développement de Laplace = k det A., par mise en évidence

5 Exemple Tous les éléments de la première ligne ont 1/5 comme facteur, ceux de la deuxième ligne ont tous 4 comme facteur et ceux de la troisième ligne ont 1/2 comme facteur. On a donc : Le déterminant de cette matrice est –2/5. Calculer le déterminant de la matrice A =. 1/5 4 7/2 1/5 8 3/2 2/5 16 5/2 S 1/5 4 7/2 1/5 8 3/2 2/5 16 5/2 det A = = 1515   = – = 2525 [1(10 – 12) – 1(5 – 28) + 2(3 – 14)] = 2525 [– – 22] = –2 5

6 Propriétés du déterminant Propriété 3 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 Soit A, une matrice carrée d’ordre n, et k, un nombre réel. Alors : det (kA) = k n det A a 13 a 23 a 33 Soit A = ka 11 ka 21 ka 31 ka 12 ka 22 ka 32 ka 13 ka 23 ka 33, alors kA = Idée de la preuve. S det kA = ka 11 ka 21 ka 31 ka 12 ka 22 ka 32 ka 13 ka 23 ka 33 = k2k2 = k3k3 a 11 a 21 a 31 ka 12 ka 22 ka 32 ka 13 ka 23 ka 33 = k = k3 k3 det A De la même façon, on montre que pour un déterminant d’ordre n, on a : det (kA) = kn kn det A a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33

7 Propriétés du déterminant Propriété 4 Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si une matrice B est obtenue en permutant deux colonnes (ou deux lignes) consécutives de la matrice A, alors : adgadg behbeh cficfi Soit A = adgadg cficfi det B = = –c(dh – ge) + f(ah – gb) – i(ae – db) et B = adgadg cficfi behbeh behbeh det B = – det A Idée de la preuve. = –[c(dh – ge) – f(ah – gb) + i(ae – db)] adgadg cficfi behbeh = –= – det A S S S

8 Propriétés du déterminant Propriété 5 Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si une matrice B est obtenue en permutant deux colonnes (ou deux lignes) quelconques de la matrice A, alors : Supposons que l’on veut permuter la première et la quatrième colonne du déterminant suivant : Idée de la preuve S det B = – det A = –1= (–1) 2 = (–1) 3 = (–1) 4 = (–1) 5 Chaque fois que l’on veut changer deux colonnes (ou deux lignes) de position, le nombre de permutations est 2k + 1, où k est le nombre de colonnes (ou de lignes) entre celles que l’on veut permuter. On multiplie donc le déterminant par (–1) 2k+1 = –1, ce qui revient à changer le signe du déterminant et det B = – det A. En permutant deux colonnes (ou deux lignes) consécutives, on multiplie le déterminant par –1. On a donc : SS

9 Propriétés du déterminant Propriété 6 Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si deux colonnes ou deux lignes de A sont identiques, alors : Développons le déterminant selon la première colonne. Dans une matrice de dimension n, en choisissant judicieusement la colonne ou la ligne du développement, on parvient toujours à des déterminants d’ordre plus petit ayant deux colonnes (ou deux lignes) identiques. adgadg behbeh behbeh det A = = a(eh – he) – d(bh – hb) + g(be – eb) = 0 Idée de la preuve det (A) = 0 S S On peut, de façon plus simple, tenir le raisonnement suivant : adgadg behbeh behbeh Soit A =. Soit A une matrice carrée ayant deux colonnes (ou deux lignes) identiques. La permutation de ces deux colonnes (ou de ces deux lignes) a pour effet de changer le signe du déterminant. Par ailleurs, cette permutation donne le même déterminant. On doit donc avoir : det A = – det A, d’où 2 det A = 0 et det A = 0

10 Propriétés du déterminant Propriété 7 Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si deux colonnes ou deux lignes de A sont proportionnelles, alors : adgadg behbeh kb ke kh Soit A = adgadg behbeh kb ke kh det A =. Par les propriétés 2 et 6, on a : adgadg behbeh behbeh = k = k  0 = 0 Idée de la preuve det (A) = 0 S

11 Propriétés du déterminant Propriété 8 Si chaque élément d’une colonne où d’une ligne d’une matrice carrée A est la somme de deux termes, alors le déterminant de A peut être écrit comme une somme de deux déterminants. adgadg behbeh c + r f + s i + u det A = dgdg eheh Idée de la preuve = (c (c + r)r) – (f + s)s) + (i (i + u)u) agag bhbh adad bebe dgdg eheh = c– f+ i agag bhbh adad bebe dgdg eheh + r– s+ u agag bhbh adad bebe adgadg behbeh cficfi = adgadg behbeh rsursu + En distribuant : Le déterminant de A peut donc être écrit comme une somme de deux déterminants. S S

12 Propriétés du déterminant Propriété 9 Si B est une matrice carrée d’ordre n formée de tous les éléments d’une matrice A, à l’exception d’une colonne (ou d’une ligne) à laquelle on a ajouté un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne), alors det B = det A. adgadg behbeh cficfi Soit A = adgadg b + ka e + kd h + kg cficfi det B = adgadg behbeh cficfi = adgadg ka kd kg behbeh + et B = adgadg b + ka e + kd h + kg cficfi adgadg behbeh cficfi = + 0 = det A. Idée de la preuve S S S

13 Propriétés du déterminant Propriété 10 Si A est une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure) d’ordre n. Alors, le déterminant de A est le produit des éléments de sa diagonale principale. On écrit symboliquement : det A = a 11 a 22 a 33 … a nn a 11 0 a 12 a 22 0 a 13 a 23 a 33 Soit A = a 11 0 a 12 a 22 0 a 13 a 23 a 33 det A = a 22 0 a 23 a 33 = a 11 = (a 22 a 33 – 0) = a 11 a 22 a 33 En développant le déterminant selon la première colonne, on obtient :. Idée de la preuve S

14 Calcul et propriétés Procédure pour calculer un déterminant à l’aide des propriétés 1.Repérer la colonne (ou la ligne) où il est plus simple de faire apparaître des zéros. 2. Faire apparaître les zéros en ajoutant à une colonne (ou à une ligne) un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne). Répéter le procédé au plus grand nombre de colonnes (ou de lignes) : 3.Développer le déterminant selon la colonne (ou la ligne) contenant les zéros. 4.Si nécessaire, refaire les opérations dans le déterminant d’ordre n – 1. C i  C i + kC j, où k  R ou L i  L i + kL j, où k  R

15 Exemple Soit A = Par des opérations de colonnes, faisons apparaître des zéros sur la deuxième ligne en considérant l’élément a 22 comme pivot. det A = Utiliser les propriétés pour calculer det A –2 –5 5. –5 3 6 – –2 – –4 0 – – –11 0 –3 2 = C1 C1 – 4C 2 C2C2 C3 C3 + 2C 2 C4 C4 – 3C 2 –4 –7 10 –11 –3 2 = 1  = L1 L1 – 2L 2 L2L2 L3 L3 – L2L2 100–5 = 1  S S S Développons le déterminant selon la deuxième ligne. Par des opérations de lignes, faisons apparaître des zéros sur la deuxième colonne en considérant le nouvel élément a 22 comme pivot – –71–3 1705

16 Remarque Lorsqu’on fait apparaître des zéros dans un déterminant, il faut appliquer correctement la propriété 9. C i  1C i + kC j, où k  R ou L i  1L i + kL j, où k  R Dans cette écriture symbolique, le coefficient de la colonne ou de la ligne modifiée est 1. On doit faire apparaître les zéros en ajoutant à une colonne (ou à une ligne) un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne). Ainsi, on ne peut faire une opération du genre L 2  2L 2 – 3L 1, comme on faisait sur les matrices car cela a pour effet de multiplier la ligne, donc le déterminant, par 2. Il ne faut pas multiplier une colonne (ou une ligne) par une constante avant de lui additionner un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne) car alors on multiplie la valeur du déterminant par cette constante.

17 Exercice Soit A = Par des opérations de lignes, faisons apparaître des zéros sur la troisième colonne en considérant l’élément a 33 comme pivot. det A = Utiliser les propriétés pour calculer det A –3 – – –3 – – –205 = L1 L1 + L3L3 L2 L2 – 2L 3 L3L3 L4 L4 – L3L3 5 –3 2 – –7 1 = 2  = C1 C1 – 2C 2 C 2 – C3C3 C3C3 – – –7 1 = 2 (– ) = 14 S S S Développons le déterminant selon la troisième colonne.Par des opérations de colonnes, faisons apparaître des zéros sur la troisième ligne en considérant le nouvel élément a 33 comme pivot. 2  –370–7 2–

18 Méthode de Cramer Théorème Soit un système de trois équations à trois inconnues : a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 Ce système admet une solution unique (x 1 ; x 2 ; x 3 ) = (k 1 ; k 2 ; k 3 ) si et seulement si le déterminant de la matrice des coefficients, det A, est différent de 0 et cette solution est : b1b2b3b1b2b3 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 k 1 = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 a 11 a 21 a 31 b1b2b3b1b2b3 a 13 a 23 a 33, k 2 = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 b1b2b3b1b2b3 et k 3 = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33

19 Méthode de Cramer Démonstration Supposons qu’il y a une solution (k 1 ; k 2 ; k 3 ) au système; cela signifie que les trois énoncés suivants sont vrais : a 11 k 1 + a 12 k 2 + a 13 k 3 = b 1 a 21 k 1 + a 22 k 2 + a 23 k 3 = b 2 a 31 k 1 + a 32 k 2 + a 33 k 3 = b 3 Considérons cette hypothèse. a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 det A = a 11 k 1 a 21 k 1 a 31 k 1 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 k 1 det A = Par la propriété 2 on a : Par la propriété 9, on peut effectuer l’opération : C 1  C 1 + k 2 C 2 : De plus, on peut effectuer l’opération : C 1  C 1 + k 3 C 3 : L’hypothèse permet alors d’écrire : a 11 k 1 + a 12 k 2 a 21 k 1 + a 22 k 2 a 31 k 1 + a 32 k 2 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 a 11 k 1 + a 12 k 2 + a 13 k 3 a 21 k 1 + a 22 k 2 + a 23 k 3 a 31 k 1 + a 32 k 2 + a 33 k 3 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 b1b2b3b1b2b3 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33. Si det A ≠ 0, on a : b1b2b3b1b2b3 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 k 1 = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 On procède de façon analogue pour k 2 et k 3. S S S S

20 Méthode de Cramer Procédure pour résoudre un système de n équations linéaires à n inconnues par la méthode de Cramer 1.Calculer le déterminant de la matrice des coefficients pour s’assurer que le système a une solution unique : det A ≠ 0. 2.Construire et calculer le déterminant associé à la i e inconnue en substituant la colonne des constantes à la colonne des coefficients de cette inconnue : det A i, où i est la colonne associée à la i e inconnue (i = 1,..., n). 3.Calculer le quotient du déterminant associé à l’inconnue sur le déterminant de la matrice des coefficients : x i = (det A i )/(det A). 4.Répéter les étapes 2 et 3 pour chacune des inconnues du système.

21 Exemple det A = Résoudre le système d’équations : –3 – –1 = L1 L1 – 2L 3 L2 L2 – 4L 3 L3L3 0–137 S S S Calculons d’abord le déterminant de la matrice des coefficients. 2x 1 – 3x 2 + 5x 3 = –8 4x 1 – 2x 2 + x 3 = 12 x 1 + 5x 2 – x 3 = –3 = 1 (– ) = 89 x 1 =, x 2 =et x 3 = –8 12 –3 – – – –3 –2 5 –8 12 –3 –8 12 –3 89 Le déterminant est non nul, la solution est unique et la méthode de Cramer est utilisable = 3 – = –2 – = –4 La solution est (3; –2; –4). 0–225 15–1

22 Exercice det A = Résoudre le système d’équations : – = L1 L1 – 3L 2 L2L2 L3 L3 – 2L 2 011–2 S S S Calculons d’abord le déterminant de la matrice des coefficients. 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 31 x 1 – 3x 2 + 2x 3 = 37 2x 1 + 6x 2 + 3x 3 = –5 = –1 (– ) = –13 x 1 =, x 2 =et x 3 = –5 2 – – –2 – – –5 –13 Le déterminant est non nul, la solution est unique et la méthode de Cramer est utilisable. –65 –13 = 5 78 –13 = –6 –91 –13 = 7 La solution est (5; –6; 7). 1–32 012–1

23 d g f i d g e h a g b h Matrice adjointe Soit la matrice A = S e h f i b h c i a g c i b e c f a d c f a d b e – – – – Déterminer cof A.A. S Déterminer adj A.A. dgdg eheh bebe cfcf dgdg fifi – bhbh cici – adad cfcf – agag bhbh – Calculer A • adj A. S adgadg behbeh cficfi • c 11 =a eheh fifi dgdg fifi – b+ c dgdg eheh = adgadg behbeh cficfi = det A = c 11 c 21 c 31 c 12 c 22 c 32 c 13 c 23 c 33. adgadg behbeh cficfi det A00 0 S = 0 c 12 =– a bhbh cici agag cici + b– c– c agag bhbh = aagaag bbhbbh ccicci S det A0 00 A c 13 = a bebe cfcf adad cfcf – b+ c adad bebe = 0 = adaada bebbeb cfccfc S c 21 = d eheh fifi dgdg fifi – e+ f dgdg eheh = 0 = ddgddg eeheeh ffiffi S c 22 = –d bhbh cici agag cici + e– f agag bhbh = det A = adgadg behbeh cficfi S c 23 = d bebe cfcf adad cfcf – e+ f adad bebe = 0 = addadd beebee cffcff S c 31 = g eheh fifi dgdg fifi – h+ i dgdg eheh = 0 = gdggdg hehheh ifiifi S c 32 =–g bhbh cici agag cici + h– i agag bhbh = 0 = aggagg bhhbhh ciicii S c 33 = g bebe cfcf adad cfcf – h+ i adad bebe = det A = adgadg behbeh cficfi S Le produit A • adj A est une matrice scalaire et ce scalaire est le déterminant de A. Les éléments de la diagonale sont la somme des produits des éléments de la ligne correspondante par leurs cofacteurs respectifs et les éléments hors diagonale sont la somme des éléments d’une ligne par les cofacteurs d’une autre ligne. S Le produit (adj A) • A donne la même matrice. Dans ce cas, les éléments de la diagonale sont la somme des produits des éléments de la colonne correspondante par leurs cofacteurs respectifs et les éléments hors diagonale sont la somme des éléments d’une colonne par les cofacteurs d’une autre colonne.

24 Conclusion Les propriétés du déterminant permettent d’en simplifier le calcul en faisant apparaître des zéros sur une ligne ou une colonne et en ramenant le calcul à celui d’un déterminant d’ordre moins élevé. En utilisant ces propriétés, on peut facilement généraliser la méthode de Cramer à des systèmes de n équations linéaires à n inconnues. Un tel système a une solution unique si et seulement si le déterminant de la matrice des coefficients est non nul. Ces propriétés permettent également de comprendre pourquoi le produit d’une matrice carrée A et de son adjointe donne une matrice scalaire dont le scalaire est det A. Cela donne une des méthodes pour trouver l’inverse d’une matrice que nous présenterons au prochain chapitre.

25 Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 3.4, p. 77 et 78. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines, section 3.4, p. 77 et 78. Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 3.3, p. 69 à 76. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines, section 3.3, p. 69 à 76.


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