Produit scalaire dans le plan

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1 Produit scalaire dans le plan
Cours élaboré par le prof: Chouihi

2 I. Primitive d’une fonction continue
I. Préliminaire I. Primitive d’une fonction continue Cours élaboré par le prof: Chouihi

3 1. Activité N°1 Dans la figure ci-dessous, ABCD est un carré.
I et J sont les milieux respectifs des segments [CD] et [BC]. On se propose dans cette activité de démontrer que les droites (AI) et (DJ) sont perpendiculaires. Cours élaboré par le prof: Chouihi

4 I. Primitive d’une fonction continue
1ère méthode On désigne par O le centre du carré ABCD et par r le quart de tour direct de centre O. Préciser r(A) , r(D) et r(C). En déduire r(I). Conclure. I. Primitive d’une fonction continue Cours élaboré par le prof: Chouihi

5 I. Primitive d’une fonction continue
2ème méthode On pose AB = a ( a  0) et on rapporte le plan au repère orthonormé tel que: et Déterminer les coordonnées des points I, C, J, B et A. Vérifier que les vecteurs et sont orthogonaux. Conclure. I. Primitive d’une fonction continue Cours élaboré par le prof: Chouihi

6 I. Primitive d’une fonction continue
2. Commentaire Ce chapitre a pour objectif d'introduire une nouvelle notion qui va nous permettre de résoudre ce problème, ainsi que d'autres, d'une manière plus simple! I. Primitive d’une fonction continue Cours élaboré par le prof: Chouihi

7 I. Primitive d’une fonction continue
II. Produit scalaire I. Primitive d’une fonction continue Cours élaboré par le prof: Chouihi

8 Activité N°2 (l'activité N°1 page 6 du manuel scolaire)
  Dans la figure ci-dessous, ABCD est un carré de côté a, BECD est un parallélogramme et H est le projeté orthogonal de E sur la droite (DC). 1. Calculer en fonction de a les réels et 2. Calculer cosBDC et cosEDH . 3. Calculer et Cours élaboré par le prof: Chouihi

9 2. Définition Cours élaboré par le prof: Chouihi

10 a) Soit ABCD un carré de sens direct, de côté 4 et de centre I.
3. Application N°1 a) Soit ABCD un carré de sens direct, de côté 4 et de centre I. Calculer: b) Préciser le signe de dans chacun des cas suivants: Cours élaboré par le prof: Chouihi

11 I. Primitive d’une fonction continue
4. Conséquences I. Primitive d’une fonction continue Cours élaboré par le prof: Chouihi

12 I. Primitive d’une fonction continue
5. Propriétés du produit scalaire I. Primitive d’une fonction continue Cours élaboré par le prof: Chouihi

13 I. Primitive d’une fonction continue
Activité N°3 a) On suppose que les vecteurs ne sont pas colinéaires En appliquant le théorème d'El Kashi dans le triangle OAB montrer que : b) Examiner le cas où les vecteurs sont colinéaires. En remarquant que déduire de l'égalité établie en a) que: Déduire que: I. Primitive d’une fonction continue Cours élaboré par le prof: Chouihi

14 I. Primitive d’une fonction continue
Propriétés N.B: les propriétés précédentes sont connues sous le nom de règles du parallélogramme. I. Primitive d’une fonction continue Cours élaboré par le prof: Chouihi

15 I. Primitive d’une fonction continue
Application N°2 ( l'exercice N°1 page 19 du manuel scolaire) I. Primitive d’une fonction continue Cours élaboré par le prof: Chouihi

16 I. Primitive d’une fonction continue
, Propriété Pour tous vecteurs , et on a: N.B: une démonstration de cette propriété était proposée par l'application précédente. I. Primitive d’une fonction continue Cours élaboré par le prof: Chouihi

17 I. Primitive d’une fonction continue
Activité N°4 I. Primitive d’une fonction continue En remarquant que les égalités précédentes restent valables pour Cours élaboré par le prof: Chouihi

18 I. Primitive d’une fonction continue
Propriété Pour tous vecteurs et et tout réel k, on a: I. Primitive d’une fonction continue Cours élaboré par le prof: Chouihi

19 I. Primitive d’une fonction continue
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20 Propriété Pour tous vecteurs et et tout réel k on a: ,
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21 Activité N°5 page 9 Cours élaboré par le prof: Chouihi

22 Activité N°6 page 9 Cours élaboré par le prof: Chouihi

23 Activité N°7 page 9 Cours élaboré par le prof: Chouihi

24 Soit A et B deux points distincts.
Application N°4 Soit A et B deux points distincts. Déterminer chacun des ensembles suivants: Cours élaboré par le prof: Chouihi

25  et ' sont deux droites de vecteurs directeurs respectifs et .
Commentaire  et ' sont deux droites de vecteurs directeurs respectifs et [   ' ]  [ = 0 ] Cours élaboré par le prof: Chouihi

26 I. Primitive d’une fonction continue
6. Produit scalaire et projection orthogonale I. Primitive d’une fonction continue Cours élaboré par le prof: Chouihi

27 Activité N°6 On désigne par H le projeté orthogonal de B sur (OA)
a) Montrer que: b) Exprimer en fonction de OA et OH dans chacun des cas suivants: Cours élaboré par le prof: Chouihi

28 Propriété Où H est le projeté orthogonal de B sur (OA)
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29 Activité N°2 page N°11 Cours élaboré par le prof: Chouihi

30 Activité N°3 page N°11 Cours élaboré par le prof: Chouihi

31 Activité N°3 page N°12 Cours élaboré par le prof: Chouihi

32 7. Expression analytique du produit scalaire dans une base orthonormé
N.B: dans ce qui suit, l'ensemble V des vecteurs du plan muni d'une base orthonormée Cours élaboré par le prof: Chouihi

33 I. Primitive d’une fonction continue
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