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Les connaissances mathématiques ne devraient-elles pas être rêvées avant dêtre enseignées ? Le merveilleux du rêve ouvre à des expressions émotionnelles.

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Présentation au sujet: "Les connaissances mathématiques ne devraient-elles pas être rêvées avant dêtre enseignées ? Le merveilleux du rêve ouvre à des expressions émotionnelles."— Transcription de la présentation:

1 Les connaissances mathématiques ne devraient-elles pas être rêvées avant dêtre enseignées ? Le merveilleux du rêve ouvre à des expressions émotionnelles dun dynamisme affectif inhérent au désir, à la motivation. Rêver pour aborder plus aisément les productions plus objectives, plus rigoureuses propres à cette discipline.

2 P Agostini - CPC ASH Sommaire A propos des mathématiques Une éducation au problème. l' ACIM cherche à entraîner à.... Dimension cachée et l'implicite Aspects théoriques Les 5 EX.

3 3 « écorché des écrits de WITTGENSTEIN par R PLANCHON » 1 - les mathématiques sont une activité. autonome qui a sa dynamique propre, ses contraintes intrinsèques et sa cohérence interne. qui fait des expériences qui sont dun autre ordre que les expériences empiriques elle consiste en particulier à manipuler des symboles

4 P Agostini - CPC ASH le sens. Le sens dun objet mathématique nexiste pas en soi mais dans le cadre dun réseau conceptuel Et dans la dynamique de son usage 4 – vers les modélisations. Nous avons besoin dune autre forme de représentation Les mots ne suffisent pas à exprimer les mathématiques, ni à les faire comprendre. 2 - les objets mathématiques. Les objets mathématiques constituent des formes générales et conceptuelles Ces formes fonctionnent comme des normes, instruments de mesure à appliquer à la réalité pour structurer ce quon peut en dire

5 P Agostini - CPC ASH Une éducation au problème. Un entraînement à vivre la tension : entre le sentiment dimpuissance, dincapacité face à cette situation et le désir de comprendre pour mieux expliquer, entre le désordre, limbroglio, le nœud que lon ne peut défaire et la recherche dun ordre, dune organisation qui donne sens entre ce vide qui nous attire pour nous faire disparaître et ce besoin dexister, de trouver du sens entre la crainte des jugements de notre entourage et la nécessité de rester soi- même.

6 6 La démarche ACIM donne la possibilité de préparer et dentraîner à la confrontation au problème. La modélisation systémique en est le support central. Par son désordre apparent et sa complexité, elle provoque et pose problème. Un problème à la présentation débarrassée de la langue et de sa grammaire, une situation uniquement formulée au moyen de traces écrites, des signes et des symboles mis en relation. Lutilisation des modélisations permet de se familiariser avec labstraction, de sautoriser à prendre en compte ses intuitions, de développer son imagination. Ainsi la situation de départ se trouve-t-elle enrichie au travers de la production dhypothèses et lélaboration de nouveaux contextes. La modélisation encourage lindividu à libérer sa spontanéité, son imagination, afin que sopère une production intensive dhypothèses. Ces hypothèses sont indispensables à lélaboration du contexte propre au problème. Hypothèses et intuitions sont essentielles à la découverte de la solution. Lintuition est le support premier de toutes les hypothèses, lesquelles, une fois réorganisées, vont pouvoir faire apparaître de nouveaux concepts, de nouvelles connaissances. Toute connaissance est le résultat de la résolution dun problème.

7 7 ACIM cherche à donner du sens aux mathématiques, à leur redonner une dimension éthique et émotionnelle. Il sagit de proposer dautres formes dapproche des connaissances, des concepts, des définitions, des règles, notamment lorsquon sadresse aux populations en délicatesse avec les mathématiques ou avec les activités scolaires en général. La démarche ACIM met en avant lexercice de la pensée mathématique, ce qui implique lentraînement à labstraction et à la manipulation de signes non figuratifs, lesquels assurent une représentation de la réalité facilitant la réflexion et la résolution de problèmes. En effet, la pensée mathématique suppose un effort dabstraction pour traduire le réel au moyen de signes arbitraires, mais aussi pour rendre compte de ce qui nexiste pas toujours matériellement, de ce qui pourrait exister. Exercice 1

8 8 Qui se souvient du Programme dEnrichissement Instrumental de Feurstein, des ARL, la dimension cachée et l'implicite ? »

9 9 Petit conte : la découverte du ciel par une nuit dété : Cest une soirée dété. Un adulte et un enfant se promènent. La nuit tombe. Le ciel étoilé se découvre peu à peu. Regarde ce ciel. Regarde, cest magnifique ! Oui, cest beau, toutes ces étoiles dans le ciel. On ny comprend rien. Il y en a vraiment beaucoup. Est-ce quon peut les compter ? Cest très difficile de les compter. Regarde, il y en a qui sont plus brillantes que dautres, certaines sont à peine visibles, il y en a même quon ne peut pas voir. On dira quil y en a un très grand nombre. Mais combien ? Plus de mille ? A lœil nu, on peut compter jusquà 5 à étoiles, avec des jumelles on peut aller jusquà , avec des outils plus performants on arriverait à des millions et pour les astronomes ce seraient des milliards détoiles. Alors on peut dire quil y a une infinité détoiles dans le ciel. Et que je vois linfini ! Si tu veux, oui. Parmi toutes ces étoiles, il y en a une qui est particulière et que je voudrais te montrer, cest lEtoile Polaire, létoile qui indique le Nord. Elle est là, regarde... Ladulte tend son bras dans la direction de lEtoile Polaire. Cest laquelle ? Celle-là ou celle-là ?

10 10 Lenfant fait le même geste que ladulte. Lequel prend alors conscience que lindication quil donne est bien insuffisante pour repérer létoile désignée. Pour trouver cette étoile, nous allons dabord nous mettre à la lumière avec un papier et un crayon. Quest-ce que tu fais ? Cest quoi ce dessin ? Je fais un dessin. Cest là la forme de la constellation que lon appelle la Petite Ourse ou Ursa Minor. Là, les gros points sont les représentations des étoiles. Ce dessin, il est dans le ciel. Le dessin lui-même nest pas tracé, cest lemplacement des étoiles qui va permettre de retrouver le dessin de la constellation dessinée. Il faut que je retrouve ton dessin dans le ciel. Cest pas facile, il faudrait effacer des étoiles. Cest ce que jai fait sur le papier. Regarde bien le dessin et essaie de le replacer avec les étoiles pour faire correspondre lemplacement des étoiles avec le dessin ; les traits ne figurant évidemment pas dans le ciel, il faut les imaginer. On pourrait dire que cette constellation est composée dune partie que lon peut appeler le char, qui serait tiré par trois chevaux, trois étoiles. Sur le dessin, regarde, là le char, là les trois étoiles et elles se terminent par lÉtoile Polaire. Lenfant regarde le papier attentivement, mémorise le dessin. Se perd dans limmensité étoilée. Laide de ladulte savère alors utile. La direction quil indique permet à lenfant de mieux se repérer.

11 Ca y est ! Jai trouvé ! Je vois ton dessin ! Je vois la constellation ! Alors cest ça lEtoile Polaire, elle est toute petite, elle est difficile à trouver et elle ne brille pas beaucoup. Pour la reconnaître, on se sert de la constellation de la Petite Ourse. Et pour aider encore à trouver la Petite Ourse on peut se repérer avec des étoiles plus brillantes qui forment la constellation de la Grande Ourse. Tu me fais le dessin de la Grande Ourse ? Voilà le dessin de la constellation de la Grande Ourse. Tu pourras la repérer plus facilement parce quelle est formée par des étoiles plus brillantes. Regarde comment elle se situe par rapport à la Petite Ourse. Ce sera un moyen de vérifier que tu as bien situé la Petite Ourse. Et donc de retrouver plus facilement létoile Polaire.

12 12 La multiplicité des objets que lon peut voir et imaginer dans ce ciel nocturne a donné lieu à des constructions arbitraires, les constellations. De même, en mathématiques se sont élaborés différents domaines, différentes structures, organisées de façon cohérente, fermées comme des constellations mais aussi en liaison les unes avec les autres. Ces différentes structures, ces différentes constellations, forment un ensemble : le ciel, les mathématiques. Ce dialogue peut être un exemple illustrant des stratégies possibles pour léducation de la pensée mathématique. Au départ, il y a une réalité intouchable, un monde extérieur complexe, difficile à appréhender, un monde que je dois investir, ici : le système stellaire. Il sagit de ramener ces faits vers un monde plus proche par la médiation de traces écrites. Ceci peut seffectuer par une projection de ce qui est perçu et sa traduction dans un langage artificiel et conventionnel, dans notre cas : lorganisation arbitraire de quelques étoiles entre elles. Le dessin de la constellation, observé et mémorisé, facilite la reconnaissance des étoiles ainsi que leur distinction au sein de la multitude et du désordre quelles constituent.

13 Ici, il faut distinguer le problème de ladulte et celui de lenfant : - Pour ladulte : comment donner les informations nécessaires pour que la connaissance soit accessible à lenfant ? Comment aider celui-ci à élaborer limage qui peut conduire à la connaissance ? Cette image, lenfant aura besoin de la comprendre, de lenrichir par extension, de linterpréter pour en trouver différentes représentations possibles, avant de la mémoriser et de pouvoir lappliquer dans des domaines variés. Les étoiles qui forment ici une constellation pourraient être des mots amenant à produire une proposition, image de la réalité dune pensée. - Pour lenfant : écouter les propositions, les règles, les comprendre, les mémoriser, imaginer des représentations. Observer et retrouver la place du dessin dans la réalité afin de vérifier sa validité au travers de son application.

14 P Agostini - CPC ASH Exercice 2

15 15 La situation du ciel étoilé nous fait retrouver les caractéristiques de la démarche ACIM. Il sagit de : Partir dune réalité impossible à manipuler directement pour aboutir à un système de signes, de traces, par un exercice dabstraction qui permet de travailler sur la construction dune représentation de la réalité. Travailler sur cette représentation pour chercher, inventer de nouvelles relations, de nouvelles organisations entre les signes afin de leur donner des significations nouvelles proches de connaissances déjà acquises. Porter un autre regard sur la réalité pour produire du sens qui conduit à reconnaître du connu. En effet, avant de se perdre dans les étoiles, il faut trouver une sécurité, une représentation familière, une référence assurée. Ici : reconnaître un char formé de quatre étoiles et son attelage de trois chevaux. Chercher à appliquer la règle pour résoudre le problème. Découvrir lobjet recherché, la réponse, la définition, le concept, et même la règle, à la suite de cheminements personnels dans la résolution de la situation problème. Situation balisée par les traces écrites du système : la "modélisation systémique".

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20 LE PROBLEME Ex ploration Expérimentation Explicitation Exploitation Extension

21 21 "les 5 ex- " Exploration : Il sagit daffronter (collectivement et individuellement) une situation complexe, de commencer à se repérer dans lespace de la planche, puis de lexplorer et analyser activement. On y découvre des éléments connus, on projette des images personnelles, on propose des mots pour en rendre compte. Cest un temps dexpression orale et de mobilisation intellectuelle où lon pourra expérimenter des premières hypothèses, prendre conscience de lexistence de différentes interprétations possibles, mais aussi convenir dun vocabulaire commun. Parallèlement, on sentraîne à se confronter à un problème, à se familiariser avec un certain chaos. Lenseignant, durant ce temps, peut évaluer quelque chose du niveau actuel du groupe et orienter ainsi la suite du travail. Expérimentation : Cest le temps de la recherche proprement dite. À partir du problème posé par la modélisation, il sagit dentrer dans les activités proposées par lenseignant, mais aussi prendre en compte les idées de consigne qui ont pu émerger du groupe lui-même. Intervient lélaboration de démarches cognitives et de raisonnements au travers de la mise en activité graphique de lélève sur la planche (colorier, tracer, repasser, compléter, écrire,...) ; Il sagit dune expérimentation active, faite de recherche, dinvestigation, de mise à lépreuve dhypothèses,... Le travail est individuel au début, suivi par un temps de discussion, confrontation et validation collectives. Explicitation : Cest le moment consacré à la mise en forme des résultats, à lénonciation des lois, à la verbalisation, organisation et institutionnalisation des connaissances. Durant ce troisième temps, on reprend ce qui a été produit spontanément et intuitivement pendant lexpérimentation dans le but dunifier, reformuler, organiser et normaliser les nouvelles connaissances, de découvrir la cohérence dun champ conceptuel ou la vision globale dun algorithme. Exploitation : Il sagit de lapplication directe du contenu de lexplicitation à des situations apparentées. Cest un moment dentraînement (et non dévaluation) et darticulation avec la réalité concrète. Cest aussi le temps des réalisations pratiques sappuyant sur les nouvelles connaissances qui ont été dégagées. Celles-ci sont introduites dans des situations et problèmes aussi variés que possible afin de valider et éprouver leur utilité, de délimiter leur champ dutilisation. Extension : Sont proposés différents prolongements et approfondissements facultatifs, mais aussi des liens avec dautres connaissances, des ouvertures où trouvera à sexercer la créativité individuelle de chacun.

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25 25 à rêver le désordre, le complexe à poser les problèmes dans leur contexte à dominer les émotions qui leurs sont attachées, à en donner des représentations écrites symboliques à produire des hypothèses, à résoudre les problèmes mathématiques à se préparer à supporter et traiter les problèmes de la vie.

26 26 ASPECT THEORIQUES Lapproche A.C.I.M. (Activité Cognitive et Images Modélisées) articule les mathématiques et le cognitif. A cet effet, la notion de problème est mise en avant comme concept charnière associant la dimension mathématique du cognitif et la dimension cognitive des mathématiques. Le problème se révèle également un outil méthodologique privilégié pour la construction et lorganisation de connaissances, ainsi que pour la pédagogie de disciplines à composantes abstraites et symboliques. La pratique A.C.I.M. conjugue lapprentissage de contenus notionnels précis avec lélaboration de contenants de pensée généralisables. Cela au travers dactivités de recherche et de production incluant communication et échanges inter-individuels. Laccent mis sur les interactions entre contenants et contenus, entre cognition et métacognition vise à faire progresser simultanément : lacquisition de connaissances mathématiques et symboliques utilisables dans des champs dapplication variés (scolaires, professionnels, personnels), la mise en place de comportements, compétences et attitudes favorisant le traitement des problèmes au sens large. Ces deux dimensions se trouvent associées à lexploitation doutils de médiation appelés « Modélisations Systémiques ». Visualisant lorganisation de systèmes complexes, les Modélisations soutiennent la construction, lorganisation et la mémorisation des connaissances. Elles constituent également des supports pour lélaboration de stratégies de communication et daction.

27 P Agostini - CPC ASH Il sagit de mettre en oeuvre un dispositif de médiation/remédiation permettant à des enfants, des jeunes ou des adultes de réinvestir certains apprentissages, de construire de nouvelles connaissances, de communiquer à propos de leurs savoirs. Dans tous les cas, on travaille sur des champs conceptuels pluri-notionnels mettant en évidence les interactions qui donnent forme aux notions ainsi que les inter- relations qui leur donnent sens. Il devient alors possible à lapprenant dintérioriser des connaissances organisées perçues dans leur globalité, des connaissances ayant le statut doutils conceptuels susceptibles de recevoir différentes contextualisations. A cela sassocie lentraînement à se confronter à un problème, cest-à-dire à affronter la complexité, à se familiariser avec le désordre (intérieur et extérieur), à aborder la nouveauté, à développer des démarches cognitives pertinentes et efficientes. En somme, lutilisation des modélisations A.C.I.M. vise à créer un environnement autorisant la personne à retrouver confiance dans sa capacité à penser et à comprendre. Au travers de lacquisition de connaissances - sources de reconnaissance pour lindividu - se trouve favorisé le développement dune dynamique réflexive dans la relation que celui-ci entretient avec son environnement, son savoir et ses propres processus de pensée.


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