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Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 20051 Université de Rennes 1 Licence Sciences Technologie Santé L2-PCGI Electromagnétisme Philippe.

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1 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Université de Rennes 1 Licence Sciences Technologie Santé L2-PCGI Electromagnétisme Philippe Rabiller 2005

2 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Bibliographie BERKLEY - Cours de Physique - 2. électricité et magnétisme, E.M. Purcell (éditions Dunod 1998). Champs et ondes électromagnétiques, P.Lorrain et D.R.Corson (éditions Armand Colin_collection U 1979). Comprendre et Appliquer lélectrostatique, J.P. Longchamp (éditions MASSON 1991) Comprendre et Appliquer lélectromagnétisme, J.P. Longchamp (éditions MASSON 1990) Le cours de physique de Feynman: mécanique 1 & 2 (éditions DUNOD 1999)...

3 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Plan du cours ch.1 Introduction ch.2 Vecteurs et champs ch.3 Champ et Potentiel électrostatiques intro au ch. 4: relativité restreinte ch.4 Champ Magnétique ch.5 Induction électromagnétique ch.6 Propagation des ondes électromagnétiques ch.7 Rayonnement électromagnétique

4 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Chapitre 3: Champ et Potentiel électrostatiques 3.1Additivité de la loi de Coulomb 3.2 Energie électrostatique dun système de charges 3.3 Champ Electrique 3.4 Potentiel Electrostatique 3.5 Théorème de Gauss / Equation de Lapalce 3.6 Distributions de charges / symétrie 3.7 Dipôle électrique 3.8 Densité dénergie dans un champ électrique 3.9 Cas des conducteurs parfaits 3.10 Cas des milieux isolants (diélectriques)

5 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes F1F1 F 31 F Additivité de la loi de Coulomb La force exercée sur une charge q 1 par deux autres charges q 2 et q 3 est la somme (vectorielle!) des forces exercées respectivement par q 2 sur q 1 et q 3 sur q 1 : q1q1 q2q2 q3q3 Plus généralement la force exercée sur une charge test q par un ensemble de charges {Q i } est la somme vectorielle des forces exercées respectivement par toutes les charges Q i prises individuellement sur la charge test q: F q = F Q i q = 1 4 o QiqQiq rQiq2rQiq2 uQiquQiq ii F 1 = 1 4 o q1q2q1q2 r 21 2 u o q1q3q1q3 r 31 2 u 31 r 21 r 31

6 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Q 3.2 Energie électrostatique dun système de charges Soit une charge test q. Calculons le travail fourni pour amener cette charge depuis linfini jusquà une distance r dune autre charge Q fixe: qr F Qq dr u W r = dW = F ·dr = dr = [ ] r2r2 r r qQ 4 o 1 r Qq 4 o r Si les deux charges restent à une distance fixe lune de lautre cest quune autre force empêche les charges de séloigner si q et Q ont même signe, ou de se rapprocher si q et Q sont de signes opposés. Nous ne cherchons pas à préciser la nature de cette force ce cours. qQ 4 o r W électrostatique = dW = F·dr = u·dr = - |dr| qQ 4 o r 2 qQ 4 o r 2 Rapprocher deux charges de même signe coûte de lénergie, tandis que rapprocher deux charges de signe opposés fournit de lénergie.

7 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Q 3.2 Energie électrostatique dun système de charges qr F Qq dr u u F Quand |r | passe de à r, alors r passe également de à r. Le travail fourni pour faire passer une charge test q dune distance à une distance r dune autre charge source Q ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement de la distance !!! On parle alors de force centrale dr dW = F·dr = u·dr = - |dr|cos(q) = - |dr| qQ 4 o r 2 qQ 4 o r 2 qQ 4 o r 2

8 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes r 31 r Energie électrostatique dun système de charges Si on considère à présent un système de trois charges q 1, q 2 et q 3, alors il faut ajouter à lénergie électrostatique du système de charge {q 1,q 2 } lénergie correspondant au travail amenant la charge q 3 en présence des deux autres: q1q2q1q2 4 o r 12 W {1,2} = q1q1 q2q2 q3q3 dW 3 = F 3 ·dr = F 13 ·dr + F 23 ·dr = dW {1,3} + dW {2,3} W {1,2,3} = + + q1q2q1q2 4 o r 12 q1q3q1q3 4 o r 13 q2q3q2q3 4 o r 23 Pour un système de N charges: {q i }, i=1,N W N = = qiqjqiqj 4 o r ij i,j i 1 2 qiqjqiqj 4 o r ij i,j>i

9 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes bassin atomique C q C = C n(r) d 3 r densité électronique Nb e - / unité de volume 3.2 Energie électrostatique dun système de charges exemple: Molécule de formaldéhyde: HCHO ~120° CO H H Å 1.31Å W HCHO = 2 W HC + W CO + 2 W HO W HCHO kJ/mol NEGATIF COHESION !!! W HCHO = ( ) 2 4 o

10 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Champ Electrique Reprenons le cas dun ensemble de charges {Q i } agissant sur une charge « test » q à la position r. F q (r) = F Q i q = 1 4 o QiqQiq rQiq2rQiq2 uQiquQiq ii La force est proportionnelle à la charge test q : F q ( r ) = q = q E( r ) 1 4 o QiQi rQiq2rQiq2 uQiquQiq i 1 QiQi rQiq2rQiq2 uQiquQiq i E ( r ) = Champ Electrique Les charges Q i sont la source du champ électrique. Le champ électrique est une propriété locale. Il suffit de connaître le champ électrique en tout point de lespace pour savoir quelle est la force agissant sur une charge test en ce point !

11 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Champ Electrique La visualisation du champ électrique nécessite de représenter aux différents points de lespace considérés des vecteurs (une direction, un sens et un module). Ce qui peut très vite devenir surchargé et donc peu explicite... On préfère parfois utiliser une représentation en « lignes de champ » ou « lignes de force » qui est un faisceau de courbes dont la tangente en tout point est donnée par la direction du champ électrique.

12 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Potentiel Electrique Différence de potentiel: Nous avons vu que le travail de la force électrique exercée sur une charge par un ensemble dautres charges est indépendant du chemin suivi. Nous pouvons reprendre ce développement en introduisant le champ électrique et ainsi écrire: W 12 = F q ·dr = q E( r ) ·dr r1r1 r2r2 r1r1 r2r2 V 21 = - E( r ) ·dr r1r1 r2r2 V 21 est une grandeur scalaire, encore appelée différence de potentiel, qui représente le travail par unité de charge nécessaire pour amener une charge positive, dans le champ le E, de la position r 1 à la position r 2. Dans le système international elle est mesurée en Volts (V). La dimension du champ électrique est donc V.m -1.

13 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Potentiel Electrique Fonction potentiel électrostatique: Nous pouvons écrire la différence de potentiel V 21 comme la différence des valeurs prises par une fonction scalaire V(r) aux positions r 1 et r 2. En différenciant (dérivant) chaque membre de léquation ci-dessus, nous pouvons alors écrire (cf. chapitre 2) : - ( V 2 - V 1 ) = E( r ) ·dr r1r1 r2r2 - V( r ) = E( r ) V ( r + dr ) = V ( r ) + V dr Par identification nous voyons donc que le champ électrique (vectoriel) dérive dun potentiel (champ scalaire) :

14 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Potentiel Electrique Surfaces équipotentielles / lignes de champ: puisque le champ électrique dérive dun potentiel, cest à dire que le champ est donné par le gradient dune fonction scalaire, alors le champ électrique E( r ) est perpendiculaire à la surface V ( r )=cste encore appelée surface équipotentielle. Le potentiel électrostatique est défini à une constante près! En effet, le gradient de V( r ) ne change pas si on lui ajoute une constante. En général, on prend V( r ) = 0 à linfini (par rapport à toute charge).

15 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Théorème de Gauss / Equation de Laplace approche intégrale - théorème de Gauss: Le flux du champ électrique à travers une surface fermée est égal à la charge totale, comprise à lintérieur de la surface, divisée par la permittivité du vide o. Pour calculer le flux, nous utilisons les coordonnées sphériques. Un élément de surface dS vaut R 2 sin( )d d. Lélément de flux E·dS ne dépend donc plus de R et lintégration sur toute la surface conduit donc à: = E·dS = sin( )d d 0 0 q 4 o q o exemple: Prenons une charge ponctuelle q située au centre dune sphère de rayon R. En tout point de la surface de la sphère, le champ électrique est perpendiculaire à la surface (dirigé suivant le rayon). Son module est constant et vaut q/4 o R 2.

16 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Théorème de Gauss / Equation de Laplace r Comment généraliser au cas dune distribution de charges ponctuelles ? dS ds R q1q1 q2q2 d s = E(r)ds d S = E(R) dS cos( ) d = dS cos( ) /R 2 = sin( )d d = ds/r 2 d S = E(R) dS cos( ) = = = E(r) ds = d s q 4 o R 2 ds R 2 r2r2 q ds 4 o r 2 Pour la charge q 1, le flux est le même à travers les deux surfaces !!!

17 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Théorème de Gauss / Equation de Laplace Comment généraliser au cas dune distribution de charges ponctuelles ? q1q1 q2q2 Pour la charge q 2, nous pouvons faire le même raisonnement à partir dune deuxième sphère à lintérieur de la surface et centrée sur q 2. dS Le champ électrique étant additif comme la force de Coulomb, nous pouvons écrire le flux total dû aux charges q 1 et q 2 comme la somme des flux « partiels » individuels 1 et 2. Ceux là même se déduisant du flux à travers des sphères centrées sur les charges, on en déduit donc la généralisation du théorème de Gauss: = E·dS = = q i o Q total o

18 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Théorème de Gauss / Equation de Laplace approche locale - équation de Poisson: Le théorème de la divergence (cf. chapitre 2) peut sappliquer au cas du champ électrique: Légalité des intégrales doit être vraie, quelque soit la forme de la surface et du volume délimité. Ceci implique donc que légalité est vérifiée si les intégrands sont toujours égaux. Ceci donne léquation de Poisson qui est une version locale du théorème de Gauss: Si le nombre de charges par unité de volume est grand dans le volume considéré, alors on peut passer à la limite et définir une densité locale de charge : ( r ) = Q total = ( r ) d 3 r dq ( r ) d3rd3r S dSE VSVS E = d = = d 3 r Q total o = · E( r ) = = - 2 V( r ) o PoissonLaplace

19 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Distribution de charges / Symétrie Dans la nature, nous navons que très rarement affaire à un système de « quelques » charges ponctuelles, mais plus souvent à des systèmes contenant un très grand nombre de charges. Calculer « analytiquement » la force de Coulomb, le champ électrique ou le potentiel électrostatique devient chose peu évidente. On préfère alors utiliser une représentation continue de la charge en introduisant la notion de densité de charge et utiliser les propriétés de symétrie des systèmes (invariances) pour simplifier au maximum les calculs. Néanmoins, pour essayer de visualiser les choses simplement et limiter le nombre de paramètres pertinents servant à décrire un système, on cherche souvent un système équivalent de charges ponctuelles approchant aux mieux le champ électrique ou le potentiel électrostatique.

20 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Distribution de charges / Symétrie Densité de charge: Appliquons le théorème de Gauss, pour une surface sphérique, à un petit système borné, à distribution uniforme et sphérique de charge : Par symétrie, on montre quen tout point à l extérieur de la surface, le champ électrique est radial, cest à dire que son module est constant quels que soient les angles polaires et. Le théorème de Gauss donne 4 r 2 E(r) = Q tot / o ou de façon équivalente, E(r) = Q tot /4 r 2 o. Tout se passe donc comme si toutes les charges étaient concentrées en une seule charge ponctuelle Q tot au centre de la sphère ! On peut donc considérer tout volume « infinitésimal » d 3 r contenant une charge dq, comme une charge ponctuelle centrée à la position r. On appelle densité de charge volumique le quotient = dq/ d 3 r.

21 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Distribution de charges / Symétrie Distribution surfacique de charge: Soit un système chargé avec une densité volumique de charge. Supposons que ce système présente une dimension dépaisseur faible par rapport aux deux autres dimensions (plaque, disque, couche sphérique, etc.). Alors dans la direction correspondant à lépaisseur dz=, on peut considérer que la densité ne varie pas, de sorte quil est suffisant de repérer un élément de surface dS = dxdy ou rdrd par ses coordonnées (x,y) ou (r, ) pour connaître le nombre de charge dans cet élément: dn = d 3 r = dxdydz = dxdy = dS La quantité sappelle la densité surfacique de charge:

22 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Distribution de charges / Symétrie Distribution linéique de charge: De même pour un objet dont la section dans deux dimensions est très petite devant la troisième dimension, on peut se ramener à une distribution linéique de charge. A = A

23 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Distribution de charges / Symétrie Utilisation de la symétrie et du théorème de Gauss pour calculer le champ électrique. Lorsquun système possède une certaine symétrie (sphérique, axiale, cubique, hexagonale, etc.) ses propriétés doivent refléter cette symétrie (Pierre Curie). Il est alors assez facile de calculer le champ électrique à laide du théorème de Gauss en choisissant une surface « de Gauss » adaptée à la symétrie. Distribution sphérique: (R) = 4 R 2 E(R) = (r)r 2 sin( )d d dr 1 o E(R) = Q(R) o R 2 ~ Q(R) = (r)r 2 dr ~ R 0 Fonction de distribution radiale

24 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Distribution de charges / Symétrie Distribution sphérique: E(R) = R o Q(R) = r 2 dr = R 3 /3 ~ R 0 R < R o Q(R) = r 2 dr = R o 3 /3 ~ RoRo 0 R > R o – homogène (r) = =cste si r < R o : RoRo E(R) = R o o RoRo R 2 RoRo E(R) ~1/R 2

25 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Distribution de charges / Symétrie On peut retrouver le même résultat à partir de léquation locale: ·E= / o En coordonnées sphériques seule la composante radiale de la divergence du champ électrique (qui a la symétrie sphérique) est non nulle : E(r) + = r o E(r) r 2 r R < R o r On cherche E(R) de la forme R (2+ ) R = o Pour que se soit vrai R il faut et donc = 3 o On retrouve E(R) = R 3 o R > R o r 0 On doit alors avoir (2+ ) R = 0 Comme E(R o ) = R o 3 o alors = R o 3 3 o On retrouve E(R) = R o 3 3R 2 o

26 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Distribution de charges / Symétrie R < R o E(R) ~ ( /3 o ) R V(R) = - ( /3 o ) R 2 /2 +V(0) R > R o E(R) ~ ( R o 3 /3 o ) / R 2 V(R) = ( R o 3 /3 o ) / R + cste R V( ) = 0 cste = 0 ~ -R 2 ~1/R V(R o ) = R o 2 /3 o V(0) = R o 2 /2 o pour le calcul du potentiel, nous utilisons le fait que V aussi doit avoir la symétrie sphérique: E = - V( r ) E(r) = - V(r)/ r.

27 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Distribution sphérique: 3.6 Distribution de charges / Symétrie E(R) = R 2 o Q(R) = r 3 dr = R 4 /4 ~ R 0 R < R o E(R) = R o 2 o RoRo R 2 Q(R) = r 3 dr = R o 4 /4 ~ RoRo 0 R > R o – linéaire (r) = r si r < R o RoRo E RoRo

28 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Distribution sphérique: 3.6 Distribution de charges / Symétrie E(R) = 0 Q(R) = 0 ~ R < R o E(R) u o Q(R) = r 2 dr uR o 2 ~ R o +u RoRo R o < R=R o +u < R o + E RoRo E(R) o Q(R) = r 2 dr R o 2 ~ R o + RoRo R > R o + RoRo R 2 – couche homogène (r) = si R o < r < R o + RoRo Si tend vers zéro: saut de champ électrique !!!

29 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Il suffit de prendre une surface adaptée à cette symétrie, i.e. un cylindre au plan Distribution plane: 3.6 Distribution de charges / Symétrie – plan homogène infini de densité de charge surfacique r SaSa Pour la face axiale, le flux est nul (E S a ). La charge totale vaut S l Le champ électrique vaut donc E(r) = /2 o Le champ électrique créé par un plan infini est indépendant de la distance au plan ! Tout axe perpendiculaire au plan infini est un axe de symétrie axiale, donc le champ électrique est perpendiculaire au plan. E SlSl Pour les faces latérales, le flux vaut 2 E(r)S l.

30 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes R Distribution plane: 3.6 Distribution de charges / Symétrie – disque homogène Dans ce cas seul le calcul du champ le long de laxe de révolution du disque est aisé. z dE dE z dE z = cos( ) 1 4 o d d 2 +z 2 dE z = d z 4 o d 2 +z 2 ) 3/2 E z = z 2 o R 0 d 2 +z 2 ) 3/2 E z = 1 - +R 2 /z 2 2 o z |z| Ici on a cherché une fonction f=g n et g= +c =2 et n=-1/2 f = n g g n-1 2 +c

31 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Distribution plane: 3.6 Distribution de charges / Symétrie – disque homogène E z = 1 - +R 2 /z 2 2 o z |z| R z EzEz E Lorsque R tend vers linfini ou z tend vers zéro, on retrouve le résultat du plan infini obtenu par le théorème de Gauss: E= /2 o.

32 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes approche intégrale du théorème de Gauss pour le potentiel: Pour une charge ponctuelle q, la symétrie est sphérique et on peut utiliser le gradient en coordonnées sphériques pour obtenir: E(r) = - V(r)/ r 3.6 Distribution de charges / Symétrie Comme pour une charge ponctuelle on a E(r) = q / (4 o r 2 ) On obtient donc pour le potentiel V(r) avec la référence V( )=0: V(r) = q 4 o r ici « r » représente la distance entre le point où on calcule le potentiel et la charge source ! Si on a deux charges q 1 et q 2, pour calculer le potentiel en r o on utilise le fait que le champ électrique (comme la force) est une grandeur additive et donc le potentiel électrostatique est aussi additif : V( r o ) = + q1q1 4 o r 1o q2q2 4 o r 2o

33 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes approche intégrale du théorème de Gauss pour le potentiel: Pour une distribution quelconque de charge on peut généraliser lexpression pour aboutir à : 3.6 Distribution de charges / Symétrie V( r ) = 1 4 o ( r )d 3 r | r - r | ici r représente la position où on calcule le potentiel (position dune charge test) et r couvre tout lespace où la densité de charge (source) est non nulle ! On peut donc calculer le potentiel électrostatique par cette formule et calculer ensuite le champ électrique lorsque cest préférable dun point de vue calcul...

34 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Dipôle électrique Lorsque les distributions de charge sont compliquées, on essaie parfois de trouver un modèle équivalent, simple, constitué de quelques charges à partir desquelles on pourra établir des raisonnements ou calculs analytiquement. Parmi les modèles les plus simples, ceux du dipôle et quadrupôle sont les plus employés (interaction rayonnement/matière, phénomènes de résonance électrique ou magnétique, etc.). Repartons de lexpression générale du potentiel électrostatique: V( r ) = 1 4 o ( r )d 3 r | r - r | et plaçons nous dans le cas dune distribution quelconque de charge: r r | r - r | = R

35 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Dipôle électrique r r | r - r | = R R = [ r 2 + r' rr' cos( ) ] 1/2 Ce qui nous intéresse en général, cest le calcul du potentiel LOIN de la distribution de charge. On peut donc faire un développement limité en puissances de r/r puisque dans ce cas r << r,R: (1+ ) -1/ /2 + 3/ Dans lexpression du potentiel, r (ou r n ) est une constante qui peut être sortie de lintégrale:

36 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Dipôle électrique On a donc un développement du potentiel électrostatique en puissances de la distance du point « test » à un point référence de la distribution de charge: V( r ) = o ( r )d 3 r | r - r | 1 4 o MoMo r M1M1 r2r2 M2M2 r3r3 Les quantités M o, M 1, M 2, M 3, M 4 etc. sappellent les moments multipolaires de la distribution de charge : monopôle, dipôle, quadrupôle, octupôle, hexadecapôle, etc. Le terme correspondant au monopole correspond à lexpression pour une charge ponctuelle ou pour une distribution à symétrie sphérique. Le deuxième terme (dipôle) est équivalent à un système de deux charges opposées. Il est nul pour toute distribution de charge possédant un centre de symétrie dinversion

37 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Dipôle électrique Dipôle: intéressons nous plus en détail au moment dipolaire. Le terme rcos( ) peut aussi sécrire comme le produit scalaire du vecteur r avec un vecteur normé parallèle au vecteur r. Le potentiel électrostatique « dipolaire » sécrit alors: Soit en introduisant le vecteur dipôle électrique : (p x = x d 3 r ; p y = y d 3 r ; p z = z d 3 r ) r r | r - r | = R

38 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Dipôle électrique Plaçons lorigine au « centre de charge » de la distribution (barycentre) et calculons le potentiel pour un dipôle pointant suivant la direction « z » dun système cartésien. Alors en coordonnées polaires cos( ) = z / [ 2 +z 2 ] 1/2. Le potentiel ne dépend pas de, car la symétrie est axiale. On en déduit alors les composantes du champ électrique dont lintensité décroît en 1/r 3 : z

39 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Dipôle électrique Montrons à présent que lon retrouve le même résultat pour un système de deux charges ponctuelles opposées Q et -Q séparées dune distance a. a/2 -Q Q r+r+ r-r- r V( r ) = o 1 r+r+ 1 r-r- En effectuant le même genre de développement limité au 1 er ordre en r + /r et r - /r on obtient: V( r ) = Qa cos( ) 4 o r 2 Soit en introduisant le vecteur dipôle p = Qa u z :V p ( r ) = p·rp·r 4 o r 3

40 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Dipôle électrique Force agissant sur un dipôle: = +a/2 u z +QE - = -a/2 u z -QE = + - = p E | | = | p | | E | sin( ) est minimum quand = 0 alignement ! Energie pour renverser un dipôle: W = d = 2pE 0 Si un dipôle est plongé dans un champ électrique uniforme, la force s'appliquant sur une des charge est exactement lopposé de la force agissant sur la deuxième charge. Dans ce cas la force totale est nulle et seul un couple peut sexercer si la force et le rayon dapplication de la force sont non colinéaires ( = r F). -Q Q +a/2 u z -a/2 u z E F+F+ F-F-

41 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Dipôle électrique Force dans un champ inhomogène: Si le champ nest pas homogène, les deux charges ne voient pas le même champ localement, le bilan des force nest pas nul et le dipôle peut être mis en mouvement (antennes, émetteurs). -Q Q F+F+ E + dE/2= +Q F-F- E - dE/2= -Q dE x = E x ·dx au z · E x = (1/Q) p · E x F x = p · E x F y = p · E y F z = p · E z Chacune des composantes de la force peut être calculée à laide du gradient de champ:

42 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Densité dénergie dans un champ électrique Prenons le cas dune sphère de rayon R et chargée en surface avec une densité de charge. Le théorème de Gauss pour le champ à la surface donne: 4 R 2 E = Q/ o = 4 R 2 / o E = / o Tandis quà l intérieur de la sphère, le champ est nul puisque la charge est nulle. Si on considère que la charge de surface est une charge volumique répartie sur une fine épaisseur R telle = R, alors la force moyenne exercée sur un petit élément de surface est simplement: dF moy = 1/2 (dF int + dF ext )= 1/2 dS (0 + / o ) (F=qE) Cest à dire que le force moyenne exercée sur toute la sphère est: F moy = 4 R 2 (1/2 o ) dS 2 R 2 / o Cette force tend à dilater la sphère. Si tel était le cas, avec un accroissement de rayon dR, alors le travail fourni serait: dW = (2 R 2 / o ) dR

43 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Densité dénergie dans un champ électrique Cest à dire que le fait de maintenir les charges uniformément réparties sur la fine couche dépaisseur R - au seul endroit où le champ électrique est non nul - coûte une énergie: dW = dR = E 2 d 3 r o 4 2 R 2 o Cela revient pour calculer lénergie potentielle dune distribution de charge à attribuer à chaque région, où il règne un champ électrique non nul, une densité locale dénergie: dU( r ) = = E( r )·E( r ) = | V( r ) | 2 d3rd3r dW o o W N = = q i V i ( r ) V( r )d 3 r qiqjqiqj 4 o r ij i,j i On peut également donner une expression intégrale:

44 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Cas des conducteurs parfaits Champ électrique dans un conducteur parfait: Dans un conducteur supposé parfait (homogène et isotrope), des charges sont libres de se mouvoir sous laction dun champ extérieur, mais en tout point du milieu conducteur, ces charges sont compensées - sauf peut-être en surface ainsi quà léchelle atomique ou sub-atomique - par dautres charges fixes ou libres elles aussi. Il sen suit quen tout point du conducteur la densité de charge (moyenne locale) est nulle et donc le champ électrique est nul aussi. Le potentiel électrostatique est constant dans le conducteur. EnEn E i =0 0 + E n dS = dS/ o = E n o ainsi quune charge totale: Q = dS = o E n· dS SS A lextérieur, le champ électrique nest pas forcément nul et la surface du conducteur est une surface équipotentielle pour ce champ électrique (E S). Le théorème de Gauss indique alors quil doit exister une charge de surface:

45 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Il faut bien noter ici que la charge de surface nest pas la cause du champ électrique. Le champ est dû à lensemble de toutes les charges et la charge à la surface du conducteur se réajuste de sorte à annuler le champ électrique à lintérieur du conducteur. 3.9 Cas des conducteurs parfaits Le problème consistant à calculer les charges accumulées à la surface de conducteurs plongés dans un champ électrique (ou soumis à un potentiel donné) nest une chose aisée que dans le cas de systèmes à un ou deux conducteurs à géométrie simple.

46 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes V( r ) = 1 4 o ( r )d 3 r | r - r | V(r

47 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Conducteur plan infini en présence dune charge ponctuelle: 3.9 Cas des conducteurs parfaits E = / o Q au voisinage de la charge ponctuelle Q, on doit avoir des lignes de champ sapprochant de celles crées par une charge ponctuelle proche du plan conducteur (surface équipotentielle) les lignes de champ doivent être perpendiculaires au plan et lamplitude du champ vaut / o. Comment trouver la répartition de charge surfacique donnant le bon champ électrique en présence de la charge Q.

48 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Conducteur plan infini en présence dune charge ponctuelle: 3.9 Cas des conducteurs parfaits Pour trouver la répartition de charge surfacique adéquate, nous allons chercher une configuration de charges ponctuelles qui donnerait les mêmes lignes de champ. Nous calculerons alors la densité de charge = o E. Q -Q Nous voulons conserver la direction perpendiculaire à la traversée de la surface conductrice et conserver le sens de lignes de champ. Il suffit pour cela de placer un charge opposée de façon symétrique au plan (charge image). La disposition symétrique permet de conserver les directions de ligne de champ et le signe opposé de conserver le sens des lignes de champ.

49 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Conducteur plan infini en présence dune charge ponctuelle: 3.9 Cas des conducteurs parfaits Q-Q z E z ( ) = cos( ) -2Q 4 o ( 2 +z 2 ) E z ( ) = -Qz 2 o ( 2 +z 2 ) 3/2 ( ) = o E z ( ) = -Qz 2 ( 2 +z 2 ) 3/2 Calculons le champ en coordonnées cylindriques. Compte tenu de la symétrie axiale, le champ ne dépend que du rayon et de la distance au plan z. On peut vérifier que la charge totale de surface ainsi obtenue donne bien par intégration la charge « image » -Q. 2 d = -Q = -Q = -Q z d ( 2 +z 2 ) 3/2 0 0 ( +u 2 ) 1/2 0

50 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Condensateur plan / capacité 3.9 Cas des conducteurs parfaits Intéressons nous maintenant au cas de deux plaques parallèles séparées par une distance e très inférieure aux dimensions des plaques. Les plaques sont portées aux potentiels V 1 et V 2. e +Q -Q V1V1 V2V2 Le champ est donc perpendiculaire aux plans et si lune des plaques porte une charge +Q, lautre porte forcément une charge -Q (cf. charge image). La distance entre plaques étant très inférieure aux dimensions des plaques, nous pouvons considérer le système comme deux plans parallèles infinis. Le champ est donc nul à lextérieur des plaques et constant et uniforme à lintérieur E= / o =(V 1 -V 2 )/e (seulement aux extrémités des lignes de champ non uniformes existent à lintérieur comme à lextérieur). Si S est la surface des plaques, la charge Q sécrit Q = S = C (V 1 -V 2 ) La quantité C = sappelle la capacité du condensateur. Elle se mesure en farads. On utilise souvent des unités plus petites (µF, pF). o S e

51 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Condensateur plan / capacité 3.9 Cas des conducteurs parfaits Lénergie électrostatique W emmagasinée dans un condensateur est le produit de la densité dénergie électrostatique o E 2 /2 multipliée par le volume Se. En introduisant la capacité C et la différence de potentiel V 1 -V 2 = V 12 cela conduit à : W = C V remarque: La densité dénergie électrostatique dW/d 3 r = o E 2 /2 a les mêmes dimensions quune force par unité de surface, cest à dire dune pression: [dW/d 3 r] = [Fdr/d 3 r] = [F/ d 2 r] La quantité o E 2 /2 représente donc la pression électrostatique exercée à la surface dun conducteur plongé dans un champ électrique valant E à sa surface.

52 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Systèmes à plus de deux conducteurs: coefficients de capacité 3.9 Cas des conducteurs parfaits Lorsquil y a plus de deux conducteurs, on utilise le principe de superposition (des forces, du champ électrique et du potentiel). Supposons quil y ait trois conducteurs portés respectivement aux potentiels V 1, V 2 et V 3. Alors tour à tour nous calculons les charges portées par les trois conducteurs lorsque deux des conducteurs sont portés à un potentiel nul: si V 2 = V 3 = 0: Q 1 = C 11 V 1 Q 2 = C 21 V 1 Q 3 = C 31 V 1 si V 3 = V 1 = 0: Q 1 = C 12 V 2 Q 2 = C 22 V 2 Q 3 = C 32 V 2 si V 1 = V 2 = 0: Q 1 = C 13 V 3 Q 2 = C 23 V 3 Q 3 = C 33 V 3 Lorsque les trois potentiels sont non nuls, les charges sont les sommes des charges précédemment calculées et lon obtient un système à trois équations: Les coefficient C ij sont appelés coefficients de capacité. Q 1 = C 11 V 1 + C 12 V 2 + C 13 V 3 Q 2 = C 21 V 1 + C 22 V 2 + C 23 V 3 Q 3 = C 31 V 1 + C 32 V 2 + C 33 V 3

53 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Cas des conducteurs parfaits Courants stationnaires: relation entre densité de charge et densité de courant Des charges libres en mouvement dans un conducteur engendrent des courants. Supposons quun courant I traverse une surface S. Ce courant est le flux total de charges qui traverse la surface. Il peut donc être écrit comme lintégrale du flux dune densité de courant. Supposons que la surface S soit fermée. Le courant représente la quantité de charge qui quitte le volume V délimité pas la surface S. On a donc la double égalité: S j·dS = - ·d 3 r V t On peut également inverser lintégration spatiale et la dérivation par rapport au temps dans la deuxième intégrale. Enfin cette équation doit être vraie quelque que soit la surface S et le volume V. Donc léquation doit être vraie pour les intégrands eux même quelque soit la position. On obtient finalement léquation de conservation de charge: ·j = - t On peut utiliser le théorème de la divergence pour ramener la première intégrale à une intégrale en volume de la divergence de j.

54 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Cas des milieux isolants (diélectriques) Dans les milieux isolants, les charges ne sont pas libres de se déplacer « indéfiniment » lorsquelles sont soumises à un champ électrique. Elles sont liées à des « centres attracteurs » et ne peuvent sécarter plus dune certaine distance de ces attracteurs, entraînant cependant localement la formation de petits dipôles électriques. Supposons un matériaux homogène de volume donné où ces dipôles de moment dipolaire p sont en concentration n. Le moment dipolaire total P ou Polarisation Electrique de léchantillon « par unité de volume » vaut: P = np Le potentiel électrostatique créé par unité de volume est alors donné par : dV( r ) = d 3 r P·(r - r) 4 o |r - r| 3 valable « loin » du diélectrique !!! P d3rd3r V( r ) rr -

55 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes dV( r ) = d 3 r P· (1/r) 4 o 3.9 Cas des milieux isolants (diélectriques) On peut transformer cette expression en introduisant le gradient de la fonction 1/r où r ( r) = |r - r| : Par intégration sur tout le volume de diélectrique on obtient : r 1 V( r ) = P· d 3 r 1 4 o Expression que lon peut transformer en tenant compte de lidentité : ( fA ) = ( f ) A + f A P d3rd3r V( r ) rr -

56 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Cas des milieux isolants (diélectriques) En posant f= 1/r on obtient : V( r ) = · d 3 r - d 3 r 1 4 o r P1 ·P r intégrale de volume intégrale de surface V( r ) = - d 3 r 1 4 o 1 ·P r P·dS r Or on a déjà vu que le potentiel est de la forme V(r) = (1/ 4 o ) dq/r Donc si N est le vecteur normal à la surface: P·N représente une densité de charge surfacique de charges liées, tandis que - ·P représente une densité de charge volumique. Si la polarisation est constante dans lespace, alors seule la densité de charge surfacique existe. Un diélectrique parallèlépipédique où la polarisation serait perpendiculaire à deux faces se comporte comme un condensateur plan !

57 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Cas des milieux isolants (diélectriques) La conservation de charge, implique que si la distribution de charge volumique (de charges liées) est non nulle, il existe un courant de polarisation associé: ·j pol = - = liée t ·P t Lorsquon applique léquation de Poisson reliant champ électrique et charge, il faut prendre la charge totale, cest à dire la somme des charges libres et liées. j pol = P t ·D = libres D = o E + P On introduit alors une nouvelle grandeur, appelée Déplacement Electrique que lon note D et qui est définie par: On peut également dire quà lintérieur dun diélectrique le champ électrique est la somme de deux contributions: une contribution associées aux charges libres D/ o et une contribution associée aux charges liées -P/ o.

58 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Cas des milieux isolants (diélectriques) Sans rentrer dans le détail de lorigine microscopique des dipôles, on peut traiter la polarisation électrique dun diélectrique dans le cadre de la Réponse Linéaire, cest à dire quon écrit que la réponse « Polarisation » est proportionnelle à lexcitation « champ électrique »: P = E D = o (1+ )E = o r E = E est la susceptibilité électrique r est la permittivité électrique relative du milieu est la permittivité électrique ou constante diélectrique du matériau Dans le vide =0 et r =1. La plupart des matériaux ont une permittivité relative comprise entre 2 et 5. Cependant on peut trouver des matériaux où cette permittivité relative peut dépasser 10 5 !

59 Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes Résumé diagrammes extraits du livre de P.Lorrain et D.R.Corson


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