Philippe PRIAULET HSBC-CCF

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MODELES DE LA COURBE DES TAUX D’INTERET ENSAE - DEA MASE Université Paris IX Dauphine Séance 3 Philippe PRIAULET HSBC-CCF

Plan de la Séance Les modèles stochastiques de la courbe des taux: Présentation générale Pourquoi utiliser un modèle stochastique ? L’analyse par scénario pour la gestion obligataire L’évaluation et la couverture de produits à flux aléatoires en salles de marché Le modèle de taux idéal / quel choix en pratique ? Panorama des différents types de modélisation Les modèles stochastiques de la courbe des taux: Approche détaillée Rappels de probabilité Le modèle de Vasicek (1977) Les autres modèles basés sur le taux court

Les modèles stochastiques Pourquoi utiliser un modèle de taux ?
Les modèles stochastiques de déformation de la courbe des taux sont utilisés à deux fins essentielles: - pour l’évaluation et la couverture de produits de taux délivrant des flux aléatoires dans le futur (par exemple, options de taux d’intérêt). Le vendeur d’option doit être capable de donner un prix au produit qu’il vend, mais surtout de répliquer (ou couvrir) l’option qu’il vend car il encourt une perte illimitée. cf profil P&L d’une vente de call ou put (voir slide suivant) Ces modèles sont surtout utilisés en salle de marché dans un contexte de trading, et dans les cellules de contrôle des risques. :

Les modèles stochastiques Pourquoi utiliser un modèle de taux ? (2)
Les payoffs (ou valeur à maturité en T) des options en fonction du prix du sous-jacent ST Payoff ST K

Les modèles stochastiques Pourquoi utiliser un modèle de taux ? (3)
- pour la mise en place de l’analyse par scénario. Quand un gérant de portefeuille met en place une stratégie, il a besoin de savoir ce qu’il va gagner dans le scénario de déformation de la courbe des taux qu’il anticipe. Pour cela, il a besoin de mettre en place un outil qui lui permet d’envisager tous les scénarios possibles de déformation de la courbe des taux. Mais comme il n’est pas sûr que son scénario se réalise, il a aussi besoin de mesurer le risque qu’il prend si ce scénario ne se réalise pas dans les faits. :

Les modèles stochastiques
L’analyse par scénario pour la gestion obligataire L’analyse par scénario ou «scenario analysis» permet au gérant de calculer: - le taux de rendement le plus défavorable suite à la mise en place de la stratégie d’investissement. - le taux de rendement moyen et son écart-type en prenant en compte l’ensemble des scénarios possibles de déformation de la courbe. :

L’analyse par scénario pour la gestion obligataire (2) L’analyse par scénario est généralement implémentée en deux étapes: - le gérant de portefeuille imagine d’abord les différents scénarios possibles de déformation de la courbe jusqu’à un horizon donné (son horizon d’investissement) et calcule les taux de rendement de sa stratégie sous chacun des scénarios. - il donne ensuite des probabilités de réalisation à chacun des scénarios et calcule l’espérance et l’écart-type du taux de rendement de sa stratégie. :

Les modèles stochastiques Exemple d’analyse par scénario
Considérons à la date t = 0 la courbe des taux zéro-coupon et le portefeuille obligataire suivants: :

Les modèles stochastiques Exemple d’analyse par scénario (2)
Un gérant de portefeuille qui a un horizon d’investissement de un an imagine six scénarios différents de déformation de la courbe des taux à cet horizon :

Les modèles stochastiques Exemple d’analyse par scénario (3)
Il calcule le taux de rendement de son portefeuille à l’horizon d’un an pour chacun des scénarios En supposant que tous les scénarios ont la même probabilité d’occurrence égale à 1/6, l’espérance du taux de rendement du portefeuille et son écart-type s’établissent à :

Comment construire une analyse par scénario ? La construction d’une analyse par scénario se déroule en 3 étapes: - accumuler dans un premier temps un maximum d’informations concernant le contexte macro-économique, la politique en termes de taux d’intérêt à court terme des banques centrales, l’avis d’experts, des études économétriques sur des variables financières clef..., un travail réalisé en particulier par un service d’études économiques. - faire la synthèse de toutes ces informations et formuler des anticipations à un horizon donné. - traduire ces anticipations dans un modèle de la courbe des taux. :

Comment construire une analyse par scénario ? Utilisation du modèle de Nelson et Siegel La fonctionnelle imaginée par Nelson et Siegel s’écrit : R(0,): taux zéro-coupon de maturité  0 : facteur de niveau 1 : facteur de rotation 2 : facteur de courbure  : paramètre d’échelle destiné à rester fixe au cours du temps

Comment construire une analyse par scénario ? (2) L’idée est d ’ajouter chaque jour, semaine, mois ou année un aléa à chacun des paramètres béta qui guident l’évolution de la courbe des taux. Pour i = 0,1,2 où est la valeur de à la date = 1/365 ou 1/52 ou 1/12 ou 1 En supposant par exemple un gérant ayant un horizon de placement de 1 an, on peut considérer cette dernière quantité égale à 1.

Comment construire une analyse par scénario ? (3) suit un processus gaussien centré réduit Les corrélations entre ces processus sont supposées égales à zéro exceptée la corrélation entre X1 et X2 que nous considérons égale à 0.3 d’après les études historiques réalisées. Nous considérons une courbe des taux initiale ascendante caractérisée par le jeu de paramètres suivant:

Comment construire une analyse par scénario ? (4) Nous supposons que le gérant a un horizon de un an. La différence entre deux dates successives de la simulation est considérée égale à 1. Les écart-types annuels des paramètres béta sont égaux à:

Comment construire une analyse par scénario ? (5) Nous obtenons les résultats suivants pour les cinq premières simulations (voir aussi slide suivante): Ceci nous permet d’obtenir les taux zéro-coupon pour n’importe quelle maturité et d’en déduire à l’horizon d’un an le taux de rendement de la stratégie envisagée dans chaque scénario.

Comment construire une analyse par scénario ? (6)

Le modèle de taux idéal Le modèle de taux idéal est un modèle: 1- réaliste en ce sens qu’il permet de prendre en compte les propriétés empiriques de la courbe des taux mises en évidence précédemment. 2- bien construit en ce sens que les inputs du modèle sont observables sur le marché ou facilement estimables, et en outre fréquemment réajustables. 3- compatible avec les prix de marché de produits plain vanilla (obligations à taux fixe ou swaps standards, swaptions, caplets...). :

Les modèles stochastiques Le modèle de taux idéal (2)
Le modèle de taux idéal est un modèle (suite): 4- suffisamment simple pour permettre des calculs rapides. 5- intuitif en ce sens que les manipulateurs du modèle (traders, contrôleurs de risque...) n’ait pas la sensation d’avoir une boite noire entre les mains. 6- un modèle qui n ’oublie pas un facteur de risque. 7- cohérent d’un point de vue théorique, c’est-à-dire satisfaisant l’absence d’opportunité d’arbitrage. 8- offrant une méthode de couverture du produit de taux qui permette au vendeur de dupliquer aisément le produit, et par conséquent de sécuriser tout au long de la vie du produit la marge dégagée initialement lors de la vente. :

Quel choix en pratique ? Les critères pour juger de la qualité de calage d’un modèle 1- Capacité à reproduire fidèlement les prix d’options vanille (swaptions, caps, floors) à une date donnée et leur évolution dans le temps sans impliquer de grandes fluctuations des paramètres d’ajustement. 2-Capacité à reproduire fidèlement les propriétés empiriques constatées sur les taux (effet de retour à la moyenne, niveau de corrélation entre taux forwards). 3- Capacité à générer les prix et les grecques des dérivés exotiques de façon fiable et sans variations importantes injustifiées d’une période à une autre.

Panorama des différents types
de modélisation La modélisation stochastique des taux d ’intérêt a véritablement débuté avec le modèle de Vasicek (1977). Il a été l’un des sujets de finance les plus prolifiques au cours des vingt dernières années. Ce sujet a souvent rassemblé des mathématiciens, spécialistes des probabilités, et des habitués de la finance. Les plus grandes découvertes en matière de modélisation datent des années 1990 avec le modèle de Heath, Jarrow et Morton (1992) et les modèles de marché (BGM et Jamshidian (1997)). :

de modélisation (2) Le panorama que nous proposons s’appuie sur une première caractéristique qui permet de distinguer: - les modèles incompatibles avec la courbe de taux zéro-coupon au comptant; - et au contraire, les modèles compatibles avec la courbe de taux zéro-coupon au comptant. Les modèles utilisés actuellement pour l’évaluation et la couverture de produits dérivés appartiennent tous à la deuxième classe. :

de modélisation (3) Avant d’aborder ce panorama, une remarque importante! Les caps, floors et swaptions sont cotés sur le marché à l’aide du modèle de Black (1976) qui n’est pas un modèle de taux. L’attrait pour ce modèle tient à l’habitude que le marché a pris de traiter avec ce modèle, mais surtout à la facilité de mise en place de la couverture pour le vendeur de l’option. Il est à noter que les modèles de marché sont construits de telle façon à être compatibles avec les formules d’évaluation de Black pour les caps, floors et swaptions. Cf MP pages 203 à 210 :

Les modèles incompatibles
avec la courbe spot Nous allons distinguer les modèles à un facteur et les modèles multifactoriels. 1- Les modèles à un facteur Un seul facteur guide l’évolution de l’ensemble de la courbe des taux. Ce facteur est le taux court qui suit le processus général suivant où W(t) est un processus brownien standard: :

avec la courbe spot (2) Les différents modèles à un facteur Pour une analyse détaillée de ces modèles: cf MP pages 66 à 80 :

avec la courbe spot (3) Limites des modèles à un facteur 1- Certains modèles (Merton et Vasicek) autorisent les taux à devenir négatifs avec une probabilité non nulle. 2- Incapacité à rendre compte de l’ensemble des formes de courbes de taux constatées sur le marché. 3- Mauvais calage des ces modèles sur les données de marché (prix d’obligations). Il est fréquent d’observer des prix d’obligations reproduits par le modèle qui diffèrent d’1% ou plus des prix de marché. 4- Ces modèles sont Inadaptés pour l’évaluation et la couverture de produits de taux (cf point 3). :

avec la courbe spot (4) 5- Ils impliquent que les taux évoluent de façon parfaitement corrélés ce qui n’est pas le cas comme en atteste la matrice suivante des corrélations entre variations de taux zéro-coupon de différentes maturités (France Courbe interbancaire) :

avec la courbe spot (5) 2- Les modèles multifactoriels cf MP pages 80 à 87 La classe exponentielle affine (cf Duffie et Kan (1996)) rassemble la quasi-totalité des modèles multifactoriels. Dans cette classe, les taux zéro-coupon s’expriment linéairement par rapport aux facteurs. Les modèles les plus célèbres sont les modèles bifactoriels de Fong et Vasicek (1991), Longstaff et Schwartz (1992), et les modèles trifactoriels de Chen (1996) et Balduzzi, Das, Foresi et Sundaram (1996). :

avec la courbe spot (6) :

avec la courbe spot (7) La volatilité des taux est un déterminant essentiel du prix des produits dérivés d’où l’idée de considérer la variance du taux court comme un facteur. Le choix du taux court, de sa moyenne à court terme et de sa variance est justifié par le fait que ces variables jouent le rôle des facteur de niveau, pente et courbure, obtenus classiquement par l’ACP. Quelques modèles célèbres invalidés (Brennan et Schwartz (1979), Nelson et Schaefer (1983), Schaefer et Schwartz (1984)) qui considèrent le taux long comme facteur. Or, en AOA le taux long (de maturité infinie) ne peut jamais diminuer. cf MP pages et 212 :

avec la courbe spot (8) :

avec la courbe spot (9) Avantages / Limites des modèles multifactoriels Comparés aux modèles à un facteur, ils permettent: - de reproduire plus exactement les corrélations entre les variations de taux de différentes maturités. - et de se rapprocher plus fidèlement des prix au comptant d’obligations. Par contre, les fonctionnelles de taux zéro-coupon ne sont que rarement obtenues sous forme analytique, et impliquent de très nombreux paramètres (13 dans le modèle de Chen) dont certains sont fortement instables. L’évaluation de produits dérivés même simples fait appel à des méthodes numériques qui peuvent être très complexes. Ces modèles ne sont pas retenus dans la pratique. :

Les modèles compatibles
avec la courbe spot Un peu d’histoire Ho et Lee (1986) ont été les premiers à proposer un modèle en temps discret compatible avec la courbe des taux spot observée sur le marché. Hull et White (1990) ont proposé un modèle en temps continu connu sous l’appellation «Vasicek généralisé» car la modélisation repose sur le taux court dont le processus est celui d’un Ornstein-Uhlenbeck étendu à des coefficients dépendant du temps. Heath, Jarrow et Morton (1992) ont généralisé l’approche en proposant le modèle qui, à ce jour, est le plus général, et englobe la quasi-totalité des autres modèles compatibles avec la courbe au comptant. :

avec la courbe spot (2) Le modèle de Heath, Jarrow et Morton Il repose sur une modélisation des taux forwards instantanés ou de façon équivalente sur la modélisation des obligations zéro-coupon Nous consacrerons une séance complète à ce modèle et à ses cas particuliers. Parmi ces cas particuliers, on retrouve les modèles de Ho et Lee (1986), Hull et White (1990), Moraleda et Vorst (1996). Ils sont obtenus en faisant des hypothèses sur la fonction de volatilité des taux forwards instantanés (ou des zéro-coupon). cf MP pages 87 à 101 :

avec la courbe spot (3) L’un des modèles les plus utilisés dans les salles de marché est le modèle dit «Vasicek généralisé» à deux facteurs. Il s’agit d’un cas particulier du modèle de Heath, Jarrow et Morton. Nous aborderons l’évaluation et la couverture de produits dérivés standards (caps, floors et swaptions) dans ce modèle lors de la dernière séance. Ce modèle est particulièrement détaillé dans le support de cours. cf MP pages 120 à 141 :

avec la courbe spot (4) Les modèles de marché (BGM et Jamshidian (1997)) ont pour particularité d’être compatibles avec les formules d’évaluation de Black pour les caps, floors et swaptions. Le modèle BGM comme le modèle de Jamshidian reposent sur une modélisation des véritables variables de marché: - taux euribor forward pour le modèle BGM; - taux de swap formard pour le modèle de Jamshidian. On peut établir un lien direct entre le modèle BGM et le modèle HJM (voir séances suivantes). Cf MP pages 104 à 111 :

Les modèles stochastiques Rappels de probabilité
Le Lemme d’Itô Soient les processus continus X et Y qui satisfont En appliquant le lemme d’Itô, on obtient . :

Les modèles stochastiques Rappels de probabilité (2)
Le Théorème de Girsanov Soit W(t) un mouvement brownien sous la probabilité P et définissons L(t) comme suit Si , le processus L(t) est une P-martingale. Si Q=L(T)P, i.e. si pour toutes variables X -mesurable alors est un Q-mouvement brownien . :

Les modèles stochastiques Rappels de probabilité (3)
La transformée de Laplace Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance E(X) et de variance V(X). La transformée de Laplace de X s’écrit La notion de Martingale X est une Ft martingale ssi . :

Le modèle de Vasicek (1977) Un seul facteur est à l’origine des déformations de la courbe des taux. Cet unique facteur est le taux court qui est modélisé sous la forme d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck. où r(t): taux court en t (assimilable au taux JJ). b: moyenne sur long terme du taux court. a: vitesse de retour à la moyenne. W(t): mouvement brownien voir MP p 72 à 74

Le modèle de Vasicek (2) L’effet de retour à la moyenne des taux Cette modélisation permet de prendre en compte l’effet de retour à la moyenne constatée sur les taux d’intérêt. Des valeurs élevées des taux ont tendance à être suivies plus fréquemment par des baisses que par des hausses. L’effet inverse est également constaté pour des niveaux de taux inhabituellement bas. Le graphique suivant montrent que les taux n’ont pas de trend sur longue période. Ils évoluent au sein d’un tunnel contrairement aux actions et indices actions. :

Le modèle de Vasicek (3) :

Le modèle de Vasicek (4) Lorsque r(t) est éloigné de b, l’espérance de variation instantanée de r(t), égale à a(b-r(t)) est positive si r(t) < b. Dans ce cas, le taux court a tendance à augmenter, se rapprochant de la moyenne sur long terme d’autant plus intensément qu’il s’en est écarté et que le paramètre a est grand. A l’inverse, si r(t) > b, l’espérance de variation instantanée de r(t) est négative et r(t) diminue dans le temps pour se rapprocher de b. L’inconvénient de cette modélisation est que le taux court suit un processus gaussien, donc est négatif avec une probabilité non nulle. :

Le modèle de Vasicek (5) Nous allons chercher à exprimer le prix d’une obligation zéro-coupon dans ce modèle en utilisant deux approches différentes: - l’approche par les EDP (développée dans l’article de Vasicek) - et l’approche martingale (plus récemment introduite)

Le modèle de Vasicek (6) L’approche par les EDP Nous considérons que le prix en t d’un zéro-coupon délivrant 1 euro en T, qui est noté B(t,T) est une fonction du temps et du taux court r(t). B(t,T) = B(t,T,r(t)) En appliquant le lemme d’Itô à B(t,T,r(t)) soit :

Le modèle de Vasicek (7) Nous construisons un portefeuille sans risque P contenant deux zéro-coupon où Bi(t,T) = Bi(t,T,r(t)) pour i = 1,2 La quantité est choisie de telle façon que soit :

Le modèle de Vasicek (8) La variation de prix de P s’écrit Comme le portefeuille est sans risque, il doit rapporter le taux sans risque soit :

Le modèle de Vasicek (9) ou encore En utilisant l’équation (2) :

Le modèle de Vasicek (10) L’équation précédente met en évidence que la quantité suivante notée est à une date donnée t une constante quelle que soit la maturité du zéro-coupon. En utilisant l’équation (1), on obtient :

Le modèle de Vasicek (11) L’équation précédente montre que l’excès de rendement de l’obligation zéro-coupon au delà du taux sans risque est égal à lambda fois un facteur mesurant le risque de l’obligation, en l’occurrence sa volatilité. Le paramètre lambda peut être interprété comme le prix de marché unitaire du risque (de taux d’intérêt). Plus la volatilité de l’obligation est élevée autrement dit plus le risque pris est grand, plus l’excès de rendement au delà du taux sans risque est important. :

Le modèle de Vasicek (12) L’approche martingale Cette approche s’appuie sur un changement de probabilité. L’idée consiste à passer de la probabilité historique P à la probabilité risque-neutre Q pour exprimer le prix actualisé de l’obligation comme une martingale sous cette probabilité. Sous la probabilité P, le processus de taux court et le processus de rendement de l’obligation zéro-coupon B vont s’écrire respectivement . :

Le modèle de Vasicek (13) Nous savons qu’il existe le paramètre lambda tel que pour tout actif financier dépendant de r(t) on ait On peut donc réécrire le processus du rendement de B sous la forme où est un Q-mouvement brownien par application du théorème de Girsanov, Q étant definie par la dérivée de Radon-Nikodym par rapport à P :

Le modèle de Vasicek (14) Nous introduisons à présent la notion de prix actualisés en définissant En utilisant le lemme d’Itô, on a :

Le modèle de Vasicek (15) On en déduit que les prix actualisés sont des martingales sous Q, ce qui implique ou de façon équivalente soit qui est la formule d’évaluation générale pour l’obligation zéro-coupon B(t,T). :

Le modèle de Vasicek (16) Dans le modèle de Vasicek, le processus du taux court r(t) s’écrit sous Q de la façon suivante où La solution de cette EDS classique est donnée par Le processus r(t) est gaussien si r(0) est gaussien. Il est en particulier indépendant de W(s) pour s supérieur à 0. :

Le modèle de Vasicek (17) Ceci implique que la variable est gaussienne de moyenne m(t,T) et de variance V(t,T) Comme on obtient par application de la transformée de Laplace Il reste donc à calculer m(t,T) et V(t,T). :

Le modèle de Vasicek (18) Calcul de l’espérance m(t,T) soit finalement :

Le modèle de Vasicek (19) Calcul de la variance V(t,T) Notons d’après l’équation du taux court r(t) que V(t,T) s’écrit alors :

Le modèle de Vasicek (20) Calcul de la variance V(t,T) soit :

Le modèle de Vasicek (21) Calcul de la variance V(t,T) Finalement on obtient d’où le prix du zéro-coupon B(t,T) On en déduit le taux zéro-coupon :

Le modèle de Vasicek (22) On peut réécrire la fonctionnelle des taux zéro-coupon sous la forme suivante: en posant: cf séance 3 L’idée consiste alors à déterminer les coefficients b, a, sigma et lambda en minimisant l’écart au carré entre le prix de marché et le prix théorique pour un ensemble d’obligations. En pratique, on fixe d’abord le paramètre lambda, puis on cherche les valeurs optimales pour les 3 autres paramètres. :

Le modèle de Vasicek (23) Evaluation d’options sur obligation zéro-coupon Prix en t d’une option délivrant le Pay-off suivant à la date T option d’achat: Max [0, B(T,T1) - K] option de vente: Max [0; K - B(T,T1)] : Auteur Formule du prix de l'option d'achat C B t T h EB = - ( , ) F s Merton h B t T EB C = é ë ê ù û ú + ln ( , ) s 2 ( ) s C B T t 2 = - où: ; [ ] ( ) s n C B t T a = - , exp 1 4 idem avec et Vasicek ( ) [ ] n s , exp t T a 2 1 = - 4 La formule est à attribuer à Jamshidian [1989].

Le modèle de Vasicek (24) Ces formules de call sont obtenues en utilisant la formule suivante: Le prix des puts sont obtenus à l’aide de la formule de parité call-put. On peut en déduire le prix de caps et de floors en montrant que (cf séance 7): - un cap est équivalent à une somme de puts sur obligation zéro-coupon. - un floor est équivalent à une somme de calls sur obligation zéro-coupon. :

Le modèle de Vasicek (25) Pricing d’options sur obligations à coupons Le pay-off en T d’un call sur une obligations à coupons est le suivant: Soit , la valeur du taux court en T telle que: On a aussi: d’où: :

Le modèle de Vasicek (26) Le call initial est équivalent à un portefeuille de calls sur obligation zéro-coupon de maturité T et de strike On peut en déduire le prix d’une swaption en montrant qu’elle est équivalente à un put sur une obligation à coupons. :

Le modèle de Vasicek (27) Avantages du modèle - Modèle à un facteur simple à comprendre d’un point de vue théorique - Il fournit des expressions analytiques pour le pricing des produits de taux standards (zéro-coupon, obligation à coupons, caps, floors, swaptions...) - Un modèle qui fournit des réponses rapides d’un point de vue informatique

Le modèle de Vasicek (28) Inconvénients du modèle - Variations des taux parfaitement corrélées entre elles. - Les taux sont négatifs avec une probabilité non nulle. - La courbe des taux zéro-coupon au comptant du modèle est différente de la courbe des taux zéro-coupon observée sur le marché. En particulier, on ne peut obtenir dans le modèle des courbes inversées sur le court puis croissantes, ni des formes à un creux et une bosse. - Le pricing au comptant de produits de taux simples comme les obligations est déficient dans ce modèle, ce qui rend encore plus aléatoire le pricing d’options sur ces produits comme le pricing de caps, floors et swaptions. :

Les modèles stochastiques Les autres modèles basés sur le taux court
L’équation générale du taux court: L’approche par les EDP et l’approche martingale exposées lors de l’examen du modèle de Vasicek fonctionnent de la même façon pour ces modèles. :

Les autres modèles basés sur le taux court (2) 1- Le modèle de Merton Le taux court s’écrit: En supposant que la prime de risque est nulle, la fonctionnelle des taux zéro-coupon s’écrit: Cette fonctionnelle n’autorise qu’un nombre très limité de formes de courbes. En outre, quand la maturité du taux tend vers l’infini, le taux zéro-coupon tend vers moins l’infini. :

Les autres modèles basés sur le taux court (3) 2- Le modèle CIR Le taux court s’écrit: Ce processus bénéficie du même effet de retour à la moyenne que dans le modèle de Vasicek, et reste toujours positif. La fonctionnelle des taux zéro-coupon vérifie: :

Les autres modèles basés sur le taux court (4) où: Cette fonctionnelle ne permet pas l’obtention de courbes à un creux et une bosse. :

Les autres modèles basés sur le taux court (5) Evaluation en t d’un call de maturité T, de prix d’exercice E, sur une obligation zéro-coupon de maturité TB où: :

Les autres modèles basés sur le taux court (6) Les modèles linéaires Les modèles de Merton, Vasicek, Cox-Ingersoll-Ross, et Pearson-Sun font partie de la classe affine. La fonctionnelle des taux zéro-coupon s’écrit linéairement par rapport au taux court. Il y a équivalence entre les 2 propositions suivantes (cf Duffie et Kan) (a) Le prix d ’un zéro-coupon vérifie: :

Les autres modèles basés sur le taux court (7) et il existe deux maturités et telles que la matrice C ci-dessous soit inversible (b) Sous la probabilité risque-neutre Q, le taux court admet l'EDS suivante: où: :

Les autres modèles basés sur le taux court (8) et le système suivant est supposé avoir une solution finie: avec: A(0) = 0 et B(0) = 0 :

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