Michèle Artigue Equipe DIDIREM & IREM Université Paris 7

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1 Michèle Artigue Equipe DIDIREM & IREM Université Paris 7
L’intégration des technologies informatiques à l’enseignement des mathématiques Michèle Artigue Equipe DIDIREM & IREM Université Paris 7

2 Plan de l’exposé Introduction
L’intégration des technologies informatiques à l’enseignement des mathématiques : des contrastes troublants Le développement de l’approche instrumentale : un nouveau regard sur les questions d’intégration La situation actuelle : des questions profondément renouvelées par l’évolution technologique, un champ de recherche didactique encore très peu défriché

3 Introduction Une histoire personnelle qui globalement reflète l’évolution des perspectives de recherche et des technologies, avec : L’exploitation du logiciel Euclide dérivé de Logo en géométrie au collège (programmation) L’exploitation de logiciels de tracé graphique pour l’enseignement des équations différentielles (visualisation, expérimentation) L’exploitation de logiciels de calcul formel pour l’enseignement de l’analyse (connections entre cadres et registres sémiotiques) L’exploitation de ressources en ligne pour l’accompagnement scolaire, le développement d’outils de diagnostic en algèbre Mais aussi, sur le plan théorique : Le développement de l’approche instrumentale La recherche de perspectives intégratives (Méta-analyse, projets TELMA et ReMath) pour dépasser l’atomisation théorique du champ

4 L’intégration technologique : des décalages troublants
Une intégration spectaculaire de l’informatique dans le monde professionnel et dans la société tout entière Une politique institutionnelle claire et constante, depuis plus de 20 ans dans de nombreux pays, prônant l’intégration des technologies informatiques à l’enseignement des mathématiques Le développement d’une multitude de recherches et innovations susceptibles a priori de soutenir cette intégration La multiplication des ressources logicielles et documentaires pour l’enseignement

5 Mais, contrastant avec cela
Une intégration à l’enseignement qui reste problématique, même pour les technologies les plus anciennes (calculatrices et logiciels de géométrie dynamique par exemple), alors qu’Internet renouvelle aujourd’hui profondément la donne technologique Des valeurs et normes de l’enseignement mathématique qui peinent à prendre en compte l’évolution technologique, la façon dont elle influence l’apprentissage et les pratiques mathématiques, les potentialités mais aussi les besoins qui en résultent en terme d’enseignement et de formation des enseignants

6 Comment expliquer un tel décalage ?
Difficultés matérielles Qualité des outils technologiques Inertie du corps enseignant Ce ne sont pas forcément les obstacles majeurs aujourd’hui… Une vision de l’intégration technologique qui reste souvent trop naïve, piégée par des attentes irréalistes Des formations qui outillent insuffisamment les professeurs pour permettre le passage à l’acte Une attention insuffisante portée aux questions d’ordre institutionnel et écologique, aux contraintes d’implémentation, aux changements d’échelle Une capitalisation des connaissances rendue difficile par l’éclatement des cadres théoriques et concepts utilisés

7 Qu’attend-t-on de la technologie dans l’enseignement des maths ?
Elle doit aider les élèves à s’adapter à l’univers technologique Elle doit aider à motiver les élèves en mathématiques Elle doit aider à renouveler les pratiques pédagogiques, fournir de nouveaux outils d’enseignement : outils de visualisation, de calcul, de communication Elle doit aider à comprendre les concepts mathématiques, accroître le pouvoir mathématique des étudiants Elle doit économiser du temps d’enseignement et d’apprentissage Elle doit rendre à la fois l’enseignement et l’apprentissage plus faciles et meilleurs

8 Un exemple : le quadrilatère qui tourne
Un problème classique en seconde (grade 10) en France pour les élèves qui : rentrent plus systématiquement dans le monde fonctionnel, commencent à rencontrer et traiter des problèmes de variation et d’optimisation, mais sans les outils du calcul différentiel.

9 Le parallélogramme qui tourne

10 Une résolution algébrique soutenue par une calculatrice symbolique

11 Du particulier au général
Le minimum de l’aire est obtenu pour une valeur de x qui est le quart du périmètre Est-ce un cas particulier où est-ce un phénomène plus général ?

12 Du particulier au général

13 Du particulier au général

14 Dans cette situation La technologie a un potentiel réel :
pour explorer un problème de variation, formuler des conjectures et les tester pour aider le calcul algébrique pour soutenir la production des preuves mathématiques et la généralisation pour faciliter l’exploitation de cadres et registres sémiotiques distincts dans la résolution Mais quelle écologie possible pour une telle situation ? Que suppose sa viabilité côté élèves, enseignant ?

15 Les origines de l’approche instrumentale
Deux projets nationaux successifs concernant l’utilisation de logiciels de calcul formel et : des décalages importants entre les discours et la réalité des classes observées, l’apparition de phénomènes didactiques spécifiques que nous avions envie de comprendre. Une sensibilité croissante : à la difficulté pour les CAS à se constituer en instruments mathématiques pour les élèves, aux besoins mathématiques de cette évolution, aux problèmes posés aux enseignants par la gestion de ces questions, à la faible sensibilité des recherches et formations à ces question.

16 L’approche instrumentale
La conjonction de deux perspectives : Approche anthropologique (Chevallard) Approche ergonomique (Rabardel & Vérillon)

17 Les éléments principaux de l’approche ergonomique
L’artefact L’instrument La genèse instrumentale Instrumentalisation Instrumentation Schèmes Contraintes Potentialités

18 Un cas particulier : les schèmes de cadrage
f(x)=x(x+7)+9/x

19 Les éléments principaux de l’approche anthropologique
Une vision de la connaissance comme un émergent de pratiques institutionnellement situées et conditionnées par des normes institutionnelles Des outils d’analyse de ces pratiques via les notions de praxéologies mathématiques et didactiques Un modèle de structuration des praxéologies didactiques en termes de moments de l’étude La reconnaissance que l’avancée de la connaissance passe par la routinisation de tâches et de techniques et la naturalisation des technologies associées, ceci induisant une dé-mathématisation des gestes associés Praxéologie = (Tâche, Technique, Technologie, Théorie)

20 Pourquoi faire interagir ces deux cadres ?
Le fait que la recherche didactique a construit ses cadres théoriques en référence à des environnements technologiques pauvres, à l’inverse de l’ergonomie cognitive. Le fait qu’il existe des différences essentielles entre l’apprentissage instrumenté en situation de travail auquel s’intéresse l’ergonomie cognitive et l’apprentissage instrumenté scolaire, en termes de légitimité et valeurs.

21 Un exemple : L’étude des variations (thèse de Badr Defouad)
Une tâche emblématique dont les techniques d’étude évoluent au cours du lycée Des praxéologies stabilisées dans l’environnement papier-crayon, enrichi par les calculatrices graphiques Un observatoire intéressant pour étudier les questions posées par l’intégration d’un nouvel outil (ici la TI92)

22 La méthodologie de l’étude
Le suivi d’élèves choisis suivant leur sexe, leur niveau mathématique, leur rapport à la technologie, deux années successives via: des questionnaires, des entretiens, des observations de classe régulières, le recueil systématique des productions écrites.

23 Les entretiens Recueil d’informations sur l’usage hors de la classe, pendant les contrôles, sur la structuration personnelle de la calculatrice. Etude des variations d’une fonction particulière en deux temps : Représenter graphiquement et conjecturer, Tester les conjectures et essayer ensuite de les prouver si le test est positif, sinon de les rectifier. La fonction est choisie hors du champ de familiarité des élèves au moment de l’entretien.

24 Quels résultats ? La complexité inattendue de la genèse instrumentale
Premier entretien : comprendre les variations de f(x)=x(x+7)+9/x

25 La seconde étape : le calcul symbolique
A priori tout semble réglé sauf que…

26 Le retour à l’application graphique

27 Des sur-vérifications utilisant l’application Table et des Zooms

28 Le troisième entretien : étude d’une fonction trigonométrique

29 Des déstabilisations multiples
L’apparition d’un nouveau type de phénomène lié à la discrétisation sous-jacente aux tracés, au-delà des problèmes d’asymptotes alors maîtrisés. La complexité ostensive de la dérivée. D’où : Le temps passé à obtenir un tracé qui touche l’axe horizontal L’impossibilité d’un travail instrumenté autonome efficace sur la dérivée La fragilité révélée de l’articulation graphique – symbolique (doutes sur la parité, la périodicité…)

30 Le travail assisté par l’interviewer

31 La genèse instrumentale de la variation
La résistance de la culture pré-analyse Le statut des différentes applications (Home, Graph, Table) comme un indicateur de l’évolution La dépendance forte de la genèse instrumentale de l’évolution des connaissances mathématiques. L’identification de phénomènes spécifiques : zapping, sur-vérification, éclatement / réduction Comment expliquer ces résultats ?

32 Pourquoi ? Des difficultés spécifiques…
La diversité des commandes et des techniques possibles et les réactions dominantes face à cette diversité. Le mélange de connaissances mathématiques (certaines nouvelles) et «machine » engagé nécessairement dans un discours explicatif et justificatif. L’accessibilité problématique de certaines de ces connaissances. La distance existante avec les normes et valeurs usuelles de l’enseignement des mathématiques qui rend la gestion difficile.

33 La seconde année d’expérimentation une évolution sensible de la gestion
Introduction d’une sélection. Un travail officiel d’institutionnalisation et de routinisation. Une gestion du contrat didactique prenant en compte son évolution nécessaire au fil de l’avancée des connaissances. Des effets évidents…

34 Un retour réflexif sur la dialectique technique / conceptuel
La double valence des techniques Valence pragmatique Valence épistémique Deux valences qui fondent la légitimité des techniques

35 Un retour réflexif sur la dialectique technique/ conceptuel
Environnement standard Résolution pas à pas Résultats immédiats Multiplicité des résultats accessibles EIAH De nouveaux besoins mathématiques Résultats surprenants

36 Des conséquences immédiates
Une vision renouvelée des résistances des enseignants. La nécessité de trouver les moyens d’accroître la valeur épistémique des techniques instrumentées, par l’élaboration de situations adaptées et une gestion adéquate de ces situations. La nécessité de prendre en compte ces besoins ainsi que ceux des genèses instrumentales dans la formation des enseignants et dans la constitution de ressources pour les enseignants.

37 Comprendre les processus de discrétisation et leurs effets graphiques : f(x)=sin(x)/x

38 Comprendre les transformations et simplifications algébriques et apprendre à les piloter efficacement Une opportunité pour travailler sur l’équivalence, les relations entre « sens et dénotation », pour aborder des questions syntaxiques

39 Des calculs avec des radicaux
75 3 18 -  32 ( 3 - 6)2, ( 3 - 5)2 3/(3 - 5) + 2/(2 + 5) (5 - 3)/(3 – 5) + 2/(3 + 5) (5 - 3)/(3 – 5) + 2/(3 + 5)

40 Comprendre les différences induites par le choix des modes de calcul

41 Ceci amène à différencier deux catégories de situations
Celles issues de l’usage de la technologie elle-même et en particulier exploitant les nouveaux besoins de connaissance résultant de la transposition informatique. Celles exploitant le potentiel pragmatique des TICE pour susciter des questions et développer des activités de mathématisation, pour motiver des généralisations, pour attaquer des problèmes plus complexes. Une littérature qui favorise trop exclusivement les secondes et n’exploite pas toutes les potentialités épistémiques des techniques instrumentées

42 Les retombées et prolongements
La relecture des ingénieries didactiques réalisées et une vision plus claire des problèmes délicats d’écologie des CAS dans l’enseignement secondaire. La construction de situations prenant en charge les besoins épistémiques. Le développement de logiciels plus spécifiques à la résolution de certains types de tâches, s’appuyant sur des noyaux de CAS existants (Casyopée, l’Algebrista). L’extension de ce type d’approches à d’autres technologies : les travaux de Brigitte Grugeon sur Géoplan et Cabri-géomètre. la thèse de Mariam Haspekian sur le tableur,

43 Des technologies classiques à la situation actuelle
Une évolution des métaphores dominantes : des métaphores associées aux micro-mondes aux métaphores associées à la notion de réseaux de connaissances, de cognition distribuée, de communautés de pratiques Des produits qui essaient de gérer de plus en plus la scénarisation et l’interaction didactique Des produits qui font de plus en plus éclater la structure scolaire classique de la classe Un foisonnement de ressources et d’informations impossible à maîtriser L’émergence de dynamiques nouvelles Tout ceci crée une masse de questions nouvelles ou partiellement renouvelées auxquelles le travail mené jusqu’ici n’apporte pas de réponses directes

44 Un exemple illustratif: Sesamath
Au départ, un petit groupe d’enseignants qui créent un site web Ensuite, une association plus structurée: une croissance exponentielle des ressources produites, une croissance exponentielle des échanges entre enseignants via Internet Des chercheurs peu intéressés, une institution éducative méfiante : rien de réellement innovatif, des ressources de qualité diverse, contenant des erreurs Une attitude très différente des enseignants qui plébiscitent ces ressources

45 Un exemple illustratif: Sesamath
Les premiers contacts avec les IREMs: Sesamath veut bénéficier de leur réflexion et expérience pour : obtenir un feedback sur les ressources développées, Obtenir des suggestions pour inclure des tâches plus riches. Une certaine résistance puis la constitution of groupes mixtes dans plusieurs IREMs et le début d’un travail collaboratif. Des premiers résultats intéressants.

46 Un example, rien d’idéal mais…
Une dynamique qui défie notre vision habituelle des rapports entre recherche didactique et pratique La confirmation que nous devons : Être plus sensibles à la distance entre pratiques ordinaires et pratiques instrumentées, Être plus confiants dans les capacités de créativité et de travail collaboratif des enseignants à l’heure d’Internet, Reflechir sérieusement à ce que nous pouvons faire via nos recherches et actions pour soutenir cette créativité et énergie et faire en sorte qu’elle bénéficie réellement à l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques. C’est la raison d’être d’un certain nombre de recherches en cours au sein de l’équipe DIDIREM : projet Lingot, projet Ile-de-France, projet GUPTEN, thèses de Laurent Souchard et Jean-Philippe Georget qui feront l’objet de présentations à EMF2006 dans le thème 5