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Réussir une séquence de calcul mental Des outils pour la classe.

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1 Réussir une séquence de calcul mental Des outils pour la classe

2 Réussir une séquence de calcul mental – Des outils pour la classe Travail réalisé par Christelle Coin PE, Fabienne Jaffory- Glandier PE spécialisé, Christophe Carval PE, Dominique Dagiste Directeur, Eddy Thimon PEMF, Liliane Laguerre CPC Circonscription Fort-de-France 1 – Mars 2013

3 Sommaire - Cliquez sur le lien voulu NB : sur chaque diapositive, cliquez sur le bouton en bas à droite pour revenir au sommaire principal Importance du calcul mental Les progressions Le Lexique Calcul mental Faits numériques Procédures numériques Différencier faits numériques et procédures Calcul posé Calcul instrumenté Calcul réfléchi Institutionnalisation souple Systématisation Zoom sur la trace écrite - le tableau - les affichages didactiques - lardoise - le cahier La séquence type Phase de découverte Phase 2 : Institutionnalisation souple Phase 3 : Systématisation Phase 4 : Evaluation Exemples de séquence Ajouter 9 Multiplier par 11 Comment évaluer le calcul mental ? Plusieurs évaluations Les grilles de référence palier 1 Les grilles de référence palier 2 La table de Pythagore, un outil à exploiter Bibliographie

4 Importance du calcul mental, ce que disent les textes… Au cycle 2 : Lapprentissage des mathématiques développe limagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement. …une pratique régulière du calcul mental est indispensable. De premiers automatismes sinstallent. Lacquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. Les élèves mémorisent et utilisent les tables daddition et de multiplication (par 2, 3, 4 et 5) Lentraînement quotidien au calcul mental permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés. Selon le socle commun, palier 1 lélève est capable de calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions, et des multiplications simples.

5 Importance du calcul mental, ce que disent les textes… Au cycle 3 Lélève renforce ses compétences en calcul mental. Il acquiert de nouveaux automatismes. Lacquisition de mécanismes en mathématiques est toujours associée çà une intelligence de leur signification. La maîtrise des principaux éléments mathématiques aide à agir dans la vie quotidienne et prépare la poursuite détudes au collège. Selon le socle commun, palier 2, lélève est capable de calculer mentalement en utilisant les quatre opérations et destimer lordre de grandeur dun résultat.

6 Importance du calcul mental, un enseignement fondamental François Boule « … Le calcul mental vise à établir et renforcer des représentations numériques et la structuration de lensemble des nombres. Cest en cela quil contribue à une meilleure compréhension des opérations numériques et de leurs propriétés principales, toutes connaissances nécessaires en particulier à lamélioration du calcul écrit ou instrumenté. » Le calcul mental au quotidien-scéren CRDP Bourgogne

7 Importance du calcul mental, un enseignement fondamental Autrement dit, une pratique quotidienne du calcul mental facilite : la connaissance des nombres (construction, décomposition, numération décimale,…) la maîtrise des techniques opératoires la résolution des problèmes lévaluation de la pertinence de lutilisation de la calculatrice

8 Importance du calcul mental, un enseignement fondamental Développe les compétences 6 et 7 du socle, notamment en communication Les élèves apprennent à argumenter, justifier leurs réponses

9 LES PROGRESSIONS

10 Les progressions au cycle 2 Cours préparatoire Cours élémentaire première année - Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 (table daddition). - Comparer, ranger, encadrer ces nombres. - Écrire une suite de nombres dans lordre croissant ou décroissant. - Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à Connaître la table de multiplication par 2. - Calculer mentalement des sommes et des différences. - Calculer en ligne des sommes, des différences, des opérations à trous. - Connaître et utiliser les techniques opératoires de laddition et commencer à utiliser celles de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 100). - Résoudre des problèmes simples à une opération. - Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à Repérer et placer ces nombres sur une droite graduée, les comparer, les ranger, les encadrer. - Écrire ou dire des suites de nombres de 10 en 10, de 100 en 100, etc. - Connaître les doubles et moitiés de nombres dusage courant. - Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5. - Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences et des produits. - Calculer en ligne des suites dopérations. - Connaître et utiliser les techniques opératoires de laddition et de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 1 000). - Connaître une technique opératoire de la multiplication et lutiliser pour effectuer des multiplications par un nombre à un chiffre. - Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier). - Résoudre des problèmes relevant de laddition, de la soustraction et de la multiplication. - Approcher la division de deux nombres entiers à partir dun problème de partage ou de groupements. - Utiliser les fonctions de base de la calculatrice.

11 Les progressions au cycle 3 Cours élémentaire deuxième année Cours moyen première année Cours moyen deuxième année Les nombres entiers jusquau million - Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusquau million. - Comparer, ranger, encadrer ces nombres. - Connaître et utiliser des expressions telles que : double, moitié ou demi, triple, quart dun nombre entier. - Connaître et utiliser certaines relations entre des nombres dusage courant : entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30 et 60. Les nombres entiers jusquau milliard - Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusquau milliard. - Comparer, ranger, encadrer ces nombres. - La notion de multiple : reconnaître les multiples des nombres dusage courant : 5, 10, 15, 20, 25, 50. Les nombres entiers Calcul sur des nombres entiers Calculer mentalement - Mémoriser et mobiliser les résultats des tables daddition et de multiplication. - Calculer mentalement des sommes, des différences, des produits. Effectuer un calcul posé - Addition, soustraction et multiplication. - Connaître une technique opératoire de la division et la mettre en œuvre avec un diviseur à un chiffre. - Organiser ses calculs pour trouver un résultat par calcul mental, posé, où à laide de la calculatrice. - Utiliser les touches des opérations de la calculatrice. Problèmes - Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations. Calcul Calculer mentalement - Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. - Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat. Effectuer un calcul posé - Addition et soustraction de deux nombres décimaux. - Multiplication dun nombre décimal par un nombre entier. - Division euclidienne de deux entiers. - Division décimale de deux entiers. - Connaître quelques fonctionnalités de la calculatrice utiles pour effectuer une suite de calculs. Problèmes - Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. Calcul Calculer mentalement - Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux. - Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, Effectuer un calcul posé - Addition, soustraction, multiplication de deux nombres entiers ou décimaux. - Division dun nombre décimal par un nombre entier. - Utiliser sa calculatrice à bon escient. Problèmes - Résoudre des problèmes de plus en plus complexes.

12 LE LEXIQUE

13 Le lexique : être au clair avec quelques expressions Cliquez sur le lien Calcul mental Faits numériques Procédures Différencier faits numériques et procédures Calcul posé Calcul instrumenté Calcul réfléchi Institutionnalisation souple Systématisation

14 Le lexique - Le calcul mental Le calcul mental cest lensemble constitué des faits numériques et des procédures. des faits numériques et des procédures. Enseigner le calcul mental, cest donc enseigner les faits numériques et les procédures. Cest un préalable au calcul posé !

15 Le lexique – les faits numériques Les faits numériques font appel à la mémoire, on les mémorise Mémorisation à construire en classe – Apprendre les tables daddition et de multiplication – Les compléments à 10, à la dizaine supérieure, à 100 – doubles, moitié, tiers,… – multiples et diviseurs

16 Le lexique – les procédures Les procédures constituent un répertoire de techniques mobilisables issues dun enseignement structuré qui ne se termine pas à lécole élémentaire Les procédures doivent être automatisées Reconnaître les situations Les maîtriser Un exemple : ajouter 9, multiplier par 11 Nécessiter de connaître les faits numériques

17 Différencier faits numériques et procédures Faits ou procédures numériques, à vous de jouer ? 5 x 2 12 x – 5 56 – :

18 Différencier faits numériques et procédures Faits ou procédures numériques?

19 Attention !

20 Lexique - Le calcul posé Le prérequis : connaître les tables daddition et les compléments à 10, avoir compris la numération de position Apprentissage dun algorithme, dune technique opératoire Les quatre opérations : addition, soustraction, multiplication, division

21 Lexique – Le calcul instrumenté Cest lutilisation de la calculatrice Un outil de vérification Doit faire lobjet dun apprentissage (vraisemblance du résultat)

22 Lexique – le calcul réfléchi Napparaît plus dans les programmes 2008 !

23 Lexique – Institutionnalisation souple

24 Lexique - systématisation Entraînement avec application de la procédure privilégiée lors de linstitutionnalisation souple (15 minutes) – de 1 à 3 séances Lardoise = outil privilégié Lardoise Les jeux de confrontation

25 La séquence type Enseigner une procédure

26 La séquence type 4 grands moments : Cliquez sur le lien voulu Phase de découverte Phase 2 : Institutionnalisation souple Phase 3 : Systématisation Phase 4 : Evaluation

27 La séquence type – Phase de découverte Séance 1, de 30 à 45 minutes, séance la plus longue de la séquence Objectif : trouver une procédure de calcul La situation de départ : Un problème, un calcul, une question, avec des contraintes Recherche : individuelle ou en groupe selon la difficulté des procédures à acquérir, sur des affiches A3 qui seront utilisées comme affichage affichage Mise en commun : recensement des différentes procédures qui doivent être toutes explicitées par les élèves. Les procédures erronées sont écartées après explication. Les affiches comportant les procédures justes sont collées dans la classe. Trace écriteTrace écrite : Les procédures sont notées sur le cahier de calcul mental, ou de mathématiques.

28 La séquence type – Institutionnalisation souple Phase 2 – Sélectionner les procédures les plus efficaces en fonction de lobjectif de lenseignant (15 à 20 minutes) Hiérarchiser la ou les procédures à privilégier Outils : lardoise, le cahier Trace écriteTrace écrite : Mise en relief des procédures retenues Activités en temps limité, contraintes plus fortes pour amener à se rendre compte quil y a des procédures plus rapides

29 La séquence type - Systématisation Phase 3 – Entraînement avec application de la procédure privilégiée (15 minutes) – de 1 à 3 séances Outils : cahier, ardoisecahierardoise Lardoise permet une évaluation formative. Les élèves en difficulté sont sollicités. NB : lutilisation de lardoise nécessite une bonne maîtrise du procédé de La Martinière Introduction des cas particuliers pour lesquels la procédure nest pas appropriée.

30 La séquence type – Lévaluation Phase 4 : Vérification des acquis des élèves Cest le moment de lévaluation sommative Une seule séance Outil : cahier de devoir, dévaluation cf. Comment évaluer le calcul mental ?Comment évaluer le calcul mental ?

31 Zoom sur la trace écrite

32 Plusieurs types de traces écrites Les écrits collectifs - le tableau - les affichages didactiques Les écrits individuels - lardoise - le cahier

33 Les écrits collectifs – Le tableau Le tableau Aide à la mise en forme, à la recherche, et à la correction Collecte des informations (support de lexplication, du dialogue entre maître et classe)

34 Les écrits collectifs – le tableau Lélève explique sa démarche au reste de la classe Permet de montrer à lensemble de la classe plusieurs solutions au problème posé

35 Les écrits collectifs – les affichages didactiques Les affichages didactiques Fonction didactique de référence, mémoire des solutions proposées par les élèves. Les élèves pourront sy référer lors des séances suivantes. Valorisation des productions des élèves

36 On liste toutes les procédures proposées par les élèves. On hiérarchisera lors de la phase dinstitutionnalisation souple.

37 Les écrits individuels – lardoise Lardoise Outil précieux pour lenseignant : contrôle rapide des connaissances des tous les élèves lors de la phase de systématisation Ciblage rapide des difficultés récurrentes Correction plus immédiate Peut être également utilisé lors de la phase de découverte en précisant aux élèves de noter la totalité de leur démarche

38 Les écrits individuels – lardoise Contrôle instantané des réponses, vision à la fois collective et individuelle

39 Les écrits individuels – lardoise Permet une comparaison des diverses solutions : les différentes propositions seront explicitées. On écartera les solutions erronées après justification.

40 Les écrits individuels – les cahiers Les cahiers Cahier de calcul mental – Sera utilisé pour noter toutes les procédures justes proposées par les élèves, lors de la phase de découverte – Lors de linstitutionnalisation souple pour mettre en évidence la ou les procédure(s) privilégiée(s) – Lors de la systématisation pour les exercices dentraînement Cahier de devoirs ou dévaluation – Lors de lévaluation sommative, phase 4 de la démarche

41 Les écrits individuels – les cahiers Un exemple de cahier de calcul mental Exercices dentraînement Phase de systématisation Les procédures

42 EXEMPLES DE SEQUENCE

43 Exemples de séquences Ajouter 9 Multiplier par 11

44 Un exemple de séquence – Ajouter 9 Phase de découverte Situation de départ : Notre classe compte 25 élèves. 9 élèves dune autre classe viennent chanter avec nous. Combien délèves y aura-t-il en tout ? Contraintes : trouve le résultat sans poser le calcul, sans calculatrice, et le plus rapidement possible. Les procédures possibles : = 34 par sur comptage = = (décomposition du 9) = (décomposition du nombre initial) = = = – =25 – Toutes ces solutions seront notées sur la feuille A3 et affichées dans la classe. Elles seront également copiées dans le cahier de calcul mental.

45 Les différentes procédures sont notées dans le cahier de calcul mental

46 Ajouter 9 Phase 2 : Institutionnalisation souple

47 Ajouter 9 Phase 3 – Systématisation : Entraînement avec application de la procédure privilégiée (15 minutes) – de 1 à 3 séances (selon le niveau des élèves) Outils : cahier, ardoise Séance 1 de la phase de systématisation La séance commence par un rappel de la ou les procédures privilégiées puis les élèves travaillent sur lardoise ; ; ; 93 +9, …. Introduction des cas particuliers pour lesquels la procédure nest pas appropriée ; ; Faire les élèves oraliser sur le fait que la procédure peut ne plus être pertinente, notamment, dans le cas de la dizaine ronde, des petits calculs additifs

48 Ajouter 9

49 Phase 3 (suite) : Séances 2, 3 de la phase de systématisation Introduction des problèmes, des jeux, des nombres plus grands Exemples de petits problèmes Lors d'une épreuve de saut, Un participant classé 12ème a sauté à 102 m, soit 9 m de moins que le premier. Quelle distance a réalisée le gagnant? Un téléphone portable qui valait 158 euros a subi une augmentation de 9 euros. Quel est son nouveau prix? Lors d'une course, un homme a passé 336 heures en mer avant de franchir la ligne d'arrivée en tête; le deuxième avait 9 heures de retard sur lui. Combien de temps le second est-il resté en mer?

50 Un exemple de séquence – Multiplier par 11 Séquence à venir

51 Evaluer le calcul mental

52 Evaluation… Diagnostique, avant de commencer lapprentissage Formative, dès la deuxième phase Sommative à la fin de la séquence Evaluation formative sur lardoise ou sur le cahier de calcul mental, à laide de jeux Evaluation sommative, sur le cahier de devoirs Importance de la variable didactique, temps Utiliser les grilles de référence

53 Evaluer le calcul mental – Les grilles de référence – palier 1 ItemsExplicitation des itemsIndications pour lévaluation Diviser par 2 et par 5 dans le cas où le quotient exact est entier Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier). Lévaluation est réalisée à loral ou à lécrit : - par de courts exercices dédiés ; - dans le cadre de la résolution dun problème de partage ou de groupement ; - dans le cadre du calcul ou de la recherche de la moitié dun nombre donné (cas de la division par 2). Le signe de la division est « : ». La technique opératoire (potence) nest pas exigible mais son usage pour calculer une division, même simple, est accepté. Restituer et utiliser les tables daddition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5 - Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 (tables daddition). - Connaître les doubles et moitiés de nombres dusage courant. - Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5. Lévaluation est réalisée à loral ou à lécrit (dans ce cas, le temps de réponse est limité). Elle ne se réduit pas à une récitation des tables. Cet item peut aussi être évalué à loccasion dopérations posées. Proposer des opérations du type : =… ; 17 = 8 + … ; 14 – 6 =… ; - de 6 à 10 ? de 43 à la dizaine supérieure ? - le double de 8, de 20, de 300 ; - la moitié de 400, de 50, de 18 ; - 4 fois 8 ? 8 fois 4 ? 3 multiplié par 7 ? 7 multiplié par 3 ? - en 36 combien de fois 4 ? en 36 combien de fois 9 ? - 24 cest..? Calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences et des produits. Lévaluation est réalisée à loral ou à lécrit (dans ce cas lélève ne doit ni poser lopération, ni écrire de calculs intermédiaires). Le temps de réponse est limité. Lénoncé peut être écrit au tableau ou donné oralement. Proposer : - des tâches du type « calcule mentalement le résultat de … » ; - des problèmes à données numériques très simples.

54 Evaluer le calcul mental – Les grilles de référence – palier 2 Item Explicitation des items Indications pour lévaluation Restituer les tables daddition et de multiplication de 2 à 9 Mémoriser et mobiliser les résultats des tables daddition et de multiplication. Lévaluation est réalisée à loral ou à lécrit (dans ce cas, le temps de réponse est limité). Elle ne se réduit pas à une récitation des tables. Cet item peut aussi être évalué à loccasion dopérations posées. Proposer des opérations du type : =… ; 17 = 8 + … ; = … ; - quel est lécart entre 6 et 10 ? quel est lécart entre 43 et la dizaine supérieure ? - quel est le double de 8, de 20, de 300 ? quelle est la moitié de 400, de 50, de 18 ? - combien font 4 fois 8, 8 fois 4, combien font 3 multiplié par 7, 7 multiplié par 3 ? - en 36 combien y a-t-il de fois 4 ? en 36 combien y a-t-il de fois 9 ? - 24 cest … Calculer mentalement en utilisant les quatre opérations - - Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux. - Connaître et utiliser des expressions telles que : double, moitié ou demi, triple et tiers, quadruple et quart dun nombre entier. - Notion de multiple : reconnaître les multiples des nombres dusage courant : 5, 10, 15, 20, 25, Calculer mentalement des sommes, des différences et des produits. - Multiplier et diviser mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, Lévaluation est réalisée à loral ou à lécrit : dans ce cas lélève ne doit pas poser lopération ni écrire de calculs intermédiaires. Le temps est limité. Lénoncé peut être écrit au tableau ou donné oralement. Proposer des situations dévaluation variées, qui amènent à mobiliser : - la connaissance des nombres et les principes de la numération décimale de position ; - les tables daddition et de multiplication. Les situations dévaluation mobilisent aussi les principales propriétés des opérations : - la commutativité ; - lassociativité ; - la distributivité de la multiplication sur laddition. Ces termes nont pas à être connus des élèves. Lévaluation peut consister en : - des tâches du type « calcule mentalement …» ; - des problèmes à données numériques très simples.

55 La table de Pythagore – un outil à exploiter

56 BIBLIOGRAPHIE

57 Bibliographie Tout pour la calcul mental, CE2, CM1, CM2 Magnard Le calcul mental au quotidien, cycle 2, cycle 3, CRDP de bourgogne CLR 1000 exercices de calcul mental CE2/CM - Livre de l'élève - Ed.2011 Hachette éducation

58

59 Pour finir… A retenir : le calcul mental doit faire lobjet dune pratique quotidienne, selon un apprentissage structuré ! Ce diaporama est en cours délaboration. Il sera complété prochainement. Nhésitez à la consulter régulièrement !


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