la dimension expérimentale des mathématiques

Présentation au sujet: "la dimension expérimentale des mathématiques"— Transcription de la présentation:

1 la dimension expérimentale des mathématiques
IUFM - Université Claude Bernard Lyon 1 Laboratoire LEPS EA4148 / LIRDHIST – Université Lyon 1 Laboratoire d'étude du phénomène scientifique Laboratoire Interdisciplinaire de Recherches en Didactique et en Histoire des Sciences et Techniques la dimension expérimentale des mathématiques un levier pour les apprentissages et l'enseignement étude exploratoire dans des situations d'enseignement et de formation au sein de l'enseignement spécialisé

2 problématique du LIRDHIST :
une thèse au sein d'un laboratoire  LEPS EA4148 équipe LIRDHIST problématique du LIRDHIST : étude des phénomènes d'enseignement et d'apprentissage relatifs aux disciplines scientifiques sur la base d'une approche épistémologique des contenus disciplinaires L'étude présentée s'inscrit dans un cadre : celui d'un laboratoire de recherche de l'université Lyon 1 ayant une problématique définie. Il fait suite à un travail de DEA/Master

3 Le questionnement trouve son origine :
introduction Le questionnement trouve son origine : 1. d'une expérience professionnelle d'enseignant en ZEP : de la difficulté de comprendre les mathématiques du côté des élèves 2. d'une expérience de formateur en IUFM : de la difficulté d'enseigner les mathématiques du côté des enseignants 3. d'un travail de recherche en DEA sur la dimension expérimentale des mathématiques Sont fortement interrogés : le statut des objets mathématiques, les liens qu'ils tissent avec la réalité, le rôle des actions des individus dans la construction de la connaissance. L'étude proposée dans cette thèse a pour origine un questionnement professionnel d'enseignant relatif à la relation dialectique entre enseignement et apprentissage. Sa source se situe dans une expérience professionnelle en zone d'éducation prioritaire ; un contexte dans lequel l'enseignement est régulièrement confronté à la difficulté de comprendre les mathématiques du côté des élèves, une difficulté à la fois récurrente et surprenante du fait de sa relative résistance malgré la diversification des démarches d'enseignement. La deuxième source renvoie à une expérience de formation en IUFM auprès de futurs enseignants de mathématiques du premier degré et de l'enseignement spécialisé premier et second degré ; et de la rencontre de la difficulté d'enseigner les mathématiques témoignée par les enseignants quel que soit leur contexte professionnel, leur cursus de formation personnel et leur propre rapport à la discipline. la potentialité de la dimension expérimentale s'exprime dans le rapport problématique qu'entretiennent les objets mathématiques avec la réalité au sein de situation didactiques (Brousseau)

4 éthique dans notre recherche
introduction éthique dans notre recherche Dans un contexte d'enseignement/apprentissage, les terrains d'expérimentation permettent une confrontation à la contingence qui doit simultanément : nourrir la recherche, contribuer au développement professionnel des enseignants, et renforcer les apprentissages des élèves. utiliser les éléments didactiques permettant de ne pas exposer des élèves déjà fragilisés par leur cursus particulier, à de nouvelles expériences déstabilisantes mais à de véritables environnements d'apprentissage

5 1 – méthodologie de la recherche
2 – étude didactique 3 – étude épistémologique 4 – investigation dans l'ASH 5 – scénario de formation

6 1 – méthodologie de la recherche
organisation générale hypothèses de travail questions de recherche

7 étude épistémologique
didactique QUOI étude épistémologique dimension expérimentale des mathématiques irrigue une recherche fonde POURQUOI COMMENT scénario de formation investigation dans l'ASH permet alimente poursuite des recherches

8 étude didactique étude épistémologique 1. La dimension expérimentale des mathématiques est fondée sur l'articulation entre forme et contenu en référence aux objets et à leur lien avec la réalité. 2. La constitution du milieu doit prendre en compte simultanément les dimensions apprentissage et enseignement. 4 hypothèses de travail scénario de formation investigation dans l'ASH structuration des hypothèses de recherche, elles correspondent à des convictions d’enseignant, de formateur et de chercheur (voire Conne) les hypothèses ne sont pas interrogées par le travail, elles sont plus de l’ordre des axiomes 4. Les liens qui unissent la recherche, la formation et l'enseignement sont au service de la diffusion et de la construction des connaissances. 3. La confrontation à la réalité de la classe doit être consistante et transférable, elle doit s'opérer dans un milieu de type expérimental.

9 questions de recherche
étude et exploration épistémologique en quoi la dimension expérimentale des mathématiques participe-t-elle de l’élaboration des objets mathématiques? étude didactique quelles sont les caractéristiques d’un milieu propice à l'expérimentation en mathématiques ? investigation contextualisée, le contexte de l'enseignement spécialisé permet-il de mener une recherche en didactique susceptible de dégager des invariants qui soient aussi transférables à l'enseignement ordinaire ? trois domaines de recherche, trois temps de recherche application sous forme de scénario de formation un modèle construit dans le champ de l'épistémologie et de la didactique permet-il d'enrichir la recherche sur la formation ?

10 2 – étude didactique

11 différents modèles de milieu BLOCH, 2002
étude didactique différents modèles de milieu BLOCH, 2002 faire des maths, faire faire des maths et regarder ce que cela donne CONNE, 1999 Nature, organisation et structuration du milieu pour une relation efficiente entre professeur, élève et savoir. Analyser, comprendre les dysfonctionnements du processus enseigner/apprendre. deux cadres référents Bloch et Conne des cadres didactiques puisque c’est bien ce dont il s’agit : l’accès aux savoirs, à la connaissance enjeu : définir les caractéristiques du milieu et la consistance d’une situation pour un fonctionnement réussit du processus enseigner / apprendre une réflexion à mener en trois dimensions !

12 une recherche en didactique… où l’on rencontre le premier tétraèdre
étude didactique une recherche en didactique… où l’on rencontre le premier tétraèdre élève ligne de communication, transmission élève : connaissances, compétences, affects espace de relation environnement surface de médiation enseignant savoir : transposition, situation didactique savoir enseignant : connaissances, expérience professionnelle, affects

13 deux objets de recherche
étude didactique deux objets de recherche en didactique les rapports dialectiques : - milieu / contexte - instruments / outils - étayage / adaptation - modéliser / expérimenter l'activité mathématique - les actions des sujets en situation - le statut de la connaissance - intuition, expérience, argumentation - dimension langagière un ancrage pour fonder l’étude enjeux pour la recherche et l’apprentissage : la confrontation à la contingence connaissances mathématiques / connaissances communes K stabilisées / K en construction vers un modèle de milieu de type expérimental

14 différents modèles de milieu, (BLOCH, 2002)
étude didactique différents modèles de milieu, (BLOCH, 2002) de la nature expérimentale du milieu : environnement didactique déterminé + valeurs des variables fixées  ce qui structure la méthodologie de la thèse "Il ne s'agit pas de partir de l'enseignement tel qu'il est mais plutôt de définir des possibles effectifs de l'enseignement, afin de pouvoir tester et falsifier ses hypothèses." (Bloch, 2002) Dans le modèle de milieu expérimental, l'environnement didactique est déterminé et les valeurs des variables sont fixées Il n'est donc ici plus question de nature empirique mais expérimentale. une situation riche : travail préalable avec prise en compte des objets, de l’épistémo des savoirs mathématiques c’est ce qui structure la méthodologie de la thèse

15 différents modèles de milieu, (BLOCH, 2002)
étude didactique différents modèles de milieu, (BLOCH, 2002) étapes pour la constitution d'un milieu expérimental : - Construire une ingénierie didactique relative à un objet de savoir dans une institution donnée; - Anticiper les comportements des élèves dans la situation (interactions significatives avec les différents éléments du milieu) ; - Préparer le recueil des observables, leur organisation et leur interprétation; - Etablir une liste de références didactiques et épistémologiques susceptibles de pouvoir analyser les situations d'enseignement; - Analyser les connaissances mises en jeu dans la situation, les jeux possibles des élèves et du professeur. En référence à Douady (Repères IREM n°15, 1994), nous utiliserons ici la définition suivante de l'ingénierie didactique : "L'élaboration d'un problème est un pas d'une ingénierie didactique. Dans ce contexte, le terme d'ingénierie didactique désigne un ensemble de séquences de classe conçues, organisées et articulées dans le temps de façon cohérente par un maître-ingénieur pour réaliser un projet d'apprentissage pour une certaine population d'élèves."

16 analyser, comprendre le processus enseigner/apprendre :
étude didactique faire des maths, faire faire des maths, regarder ce que cela donne (CONNE, 1999) analyser, comprendre le processus enseigner/apprendre : faire des mathématiques, faire faire des mathématiques, "regarder ce que cela donne" du faire au faire/faire :  Quels sont les éléments didactiques à la disposition de l'enseignant pour entretenir « un bon rapport à l'ignorance » ? du faire/faire au regarder…  Comment comprendre le jeu des signes dans les interactions sujet/milieu/objet ? des questions pour la recherche et la formation entretenir un rapport à l’ignorance c’est se donner les moyens de comprendre pourquoi les élèves ne savent pas faire ce que l’on sait faire

17 3 – étude épistémologique

18 étude épistémologique
les objets mathématiques la dimension expérimentale des mathématiques expérimenter en mathématiques : rencontrer l'incertitude construire un réel partagé interagir avec des objets Gardies (2004), Gonseth (1936), Giusti (2000), Hacking (1989), Lelong (2004)

19 étude épistémologique
notions soumise à l'étude épistémologique les objets mathématiques - leur mode d'existence (sensible, théorique), - leur lien avec la réalité (modélisations, représentations), - symbolisme et formalisme - référence culturelle. la dimension expérimentale des mathématiques - épistémologie du concept d'expérience - caractérisation d'une science expérimentale - caractérisation de la dimension expérimentale des mathématiques

20 étude épistémologique
Les objets mathématiques mathématiques et réalité dialectique : objet sensible / objet théorique Je regardai : oh, prodige, ce fut un nouveau monde que je vis ! J'avais devant moi, visible, incarnée, cette beauté Circulaire qui ne m'était accessible jadis que par le calcul, l'hypothèse ou le rêve. Ce qui semblait être le Centre de l'Étranger était exposé à mon regard ; et cependant je ne voyais ni cœur, ni poumons, ni artères, mais seulement une Chose d'une harmonieuse beauté… qui n'avait pas de nom pour moi ; vous, mes lecteurs de Spaceland, vous l'appelleriez la surface de la Sphère. FLATLAND (Edwin A. Abbott, 1884) Une représentation des solides de Platon, installation créée par Vladimir Skoda, artiste tchèque. Il est impossible de voir ces solides parfaits «eux-mêmes», impossible en pratique et impossible en principe, car ce sont des objets abstraits introduits dans le discours.

21 étude épistémologique
Les objets mathématiques les polyèdres réguliers : des objets au service de la compréhension du monde  passer de la dimension 2 à la dimension 3 "Dimensions par Jos Leys - Étienne Ghys - Aurélien Alvarez "

22 étude épistémologique
Les objets mathématiques les polyèdres réguliers : des objets pour comprendre, interpréter et modéliser Kepler voit " les solides symétriques s'insérer les uns après les autres avec tant de précision entre les orbites appropriées que si un paysan demandait à quels crochets les cieux sont fixés pour ne pas tomber, il serait facile de lui répondre ". (...) animation 3D

23 étude épistémologique
Les objets mathématiques les polyèdres réguliers au service de la modélisation La réalité telle que nous la percevons est une construction autonome de notre esprit dont les fins essentielles sont de rendre l'action possible. Gonseth (1936) une référence actuelle : la modélisation des hydrates de gaz modélisation des hydrates de gaz, Pour la science, sept. 2008

24 étude épistémologique
questions de signes, d'interprétants… graphe planaire de Cayley Icosaèdre tronqué Molécule de Fullerène Gonseth (1936, p.66) dans son ouvrage Les mathématiques et la réalité : La présentation d'un cristal peut engendrer des constructions de connaissances dans des directions bien différentes au-delà des aspects intuitifs directement observables. Du point de départ de l'objet possédant une certaine forme, on pourra s'intéresser à sa place dans la classification des polyèdres, ou plutôt à la mesure de ses angles dièdres afin d'en étudier les symétries. Ces constructions sont autant d'extensions et de déformations de l'objet immédiat. Mais si l'expérience sensible apparaît bien première ici, il ne faut pas seulement l'enfermer dans ce rôle. En effet, les expressions et opérations qui portent sur cette première expérience vont ensuite donner naissance à des besoins de contrôle ou seulement de confrontation dans l'espace sensible du fait de l'élaboration de conjectures "bâtisseuses" de la théorie. De ce fait, ce qui est appris et conçu sur la réalité permet en retour d'agir sur elle. C'est en ce sens que l'on peut considérer l'expérience mathématique capable d'intervention sur le réel. Léonard de Vinci

25 étude épistémologique
la dimension expérimentale en question - dialectique objet sensible / théorique - dialectique expérience/expérimentation Recourir à la dimension expérimentale en mathématiques, c'est permettre et surtout multiplier les allers et retours entre les objets sensibles (ou familiers) et formels par : des confrontations (adéquation, non adéquation), des vérifications (confirmer ou infirmer une hypothèse), des argumentations (prouver un raisonnement, convaincre dans un débat).

26 4 – investigation dans l'ASH

27 investigation dans l'ASH
Ingénierie/organisation didactique - une situation d'enseignement/apprentissage en géométrie - un cadre de référence : la dimension expérimentale des mathématiques - un contexte : l'enseignement spécialisé une méthodologie de type abductive : ouverture aux faits surprenants ou inexplicables pour s’engager dans la recherche d’hypothèses explicatives organisation et mise en relation de données

28 investigation dans l'ASH
intérêt du modèle dans l'enseignement spécialisé considérer l'élève en difficulté comme une conséquence d'un milieu porteur de déséquilibres et donc comme un problème didactique :  nécessite une analyse des constituants du milieu un élève en situation de handicap implique le besoin d'un renforcement d'une condition de développement (d'apprentissage) demande une réflexion sur l'étayage changement de posture professionnelle : rapport au savoir, à l'élève, à l'apprentissage, à la situation, au temps didactique J. Bruner (1983), J.M. Favre, A. Scheibler (2003), I. Bloch (2008)

29 investigation dans l'ASH
plusieurs objets d'étude : la médiation du geste : opération sur les artefacts film : extrait du corpus "cas limite des hexagones" modélisation : une mise à jour de l'interprétation antagonisme du milieu et stabilité de la situation les surprises didactiques validation retour à l'abduction prendre en considération les expériences que les élèves réalisent de manière parfois marginale ou imprévue et leur permettre de les transformer en savoir

30 5 – scénario de formation

31 scénario de formation Extension de l'utilisation des caractéristiques d'une situation du type "recherche des polyèdres" et du milieu associé à d'autres domaines de l'adaptation scolaire. - enrichir mutuellement la recherche, l’enseignement et les apprentissages - définir des ressources de formation - mettre en œuvre des dispositifs variés - créer de nouveaux environnements d'enseignement / apprentissage poursuivre la confrontation à la contingence et développement de dispositifs de valorisation de la recherche éthique : les terrains ne sont pas des cobails : la confrontation à la contingence nourrit la recherche et le développement professionnel des enseignants et les apprentissages des élèves

32 le rallye-maths ASH : une ingénierie
scenario de formation le rallye-maths ASH : une ingénierie L'ingénierie fait référence : aux méthodes (démarches, références, contenus), à la définition d'un répertoire d'actions et de leur programmation, au suivi de leur mise en œuvre par des protocoles de formation, de coordination et d'évaluation.  mise en relation les données de la recherche avec le terrain des classes par la médiation d'une formation des enseignants

33 le laboratoire un nouvel objet d'étude
scenario de formation le laboratoire un nouvel objet d'étude Le laboratoire se caractérise par : - une culture : celle du doute (hypothèses émises sur les rétroactions parfois inattendues, parfois antagonistes) et de la recherche de la validation, - une démarche : l'expérimentation comme démarche de résolution des problèmes rencontrés, la présence et l'utilisation d'instruments variés, un lieu et un temps favorisant les situations d’action des sujets une intense activité langagière et symbolique énonciative, descriptive puis peu à peu argumentative Borel (1904), Kahane (2002), Hacking (2005)

34 conclusions , résultats
étude épistémologique La richesse d'une étude exploration théorique fondée sur l'articulation épistémologie / didactique. Les caractéristiques du milieu doivent contribuer à stabiliser l'environnement didactique pour permettre le développement cognitif des élèves et professionnel des enseignants. étude didactique investigation dans l'ASH La consistance d'une investigation sur le terrain de l'enseignement spécialisé par la mise en œuvre d'une situation didactique de résolution de problème. L'épistémologie est un outil consistant pour la didactique puisqu'elle fournit des éléments de compréhension déterminants concernant la construction des connaissances scientifiques. Elle permet notamment d'interroger la spécificité de ces savoirs scientifiques dans leur rapport aux autres savoirs, mais elle est également nécessaire à la compréhension des processus qui en permettent la validation. La mise en œuvre de situations didactiques s'appuyant sur des problèmes de recherche s'avère pertinente dans le contexte de l'enseignement spécialisé grâce au milieu de type laboratoire. C'est selon nous une réponse importante aux difficultés rencontrées en règle générale par les enseignants lorsqu'ils s'appuient sur des démarches d'enseignement utilisant la résolution de problèmes. Les caractéristiques du milieu laboratoire sont de nature à stabiliser l'environnement didactique permettant ainsi le développement cognitif des élèves et professionnel des enseignants. Ces conditions nous sont apparues déterminantes dans le cadre de notre recherche puisqu'elles ont permis de tester la consistance de nos hypothèses dans le cadre de nos expérimentations. Elles nous ont également fourni les éléments didactiques permettant de ne pas exposer des élèves déjà fragilisés par leur cursus particulier, à de nouvelles expériences déstabilisantes mais à de véritables environnements d'apprentissage comme en ont témoigné les différentes analyses a posteriori de nos travaux effectués dans les classes. Nous sommes convaincu que les difficultés liées aux relations entre enseignement et apprentissage, ne sont pas seulement liées à des facteurs cognitifs ou sociaux attribués aux élèves. Ces difficultés mettent en jeu non seulement les pratiques et les démarches des enseignants, mais aussi les conceptions, représentations, habitus et postures qui les sous-tendent. En conséquence, nous faisons le pari du développement (tant quantitatif que qualitatif) de démarches différentes par la formation initiale et continue programmée au sein de plans institutionnels pérennes. scenario de formation La diffusion des résultats par la mise en œuvre de projets pour les classes et par la formation initiale et continue des professeurs.

35 perspectives de recherches
laboratoires de mathématiques comme objets d’études didactiques et comme lieu de développement professionnel des enseignants de l’ASH recherche IUFM Lyon, HEB Bruxelles, SSED (Genève), Université de Montréal (Canada) médiation instrumentale Comment les élèves s’approprient un objet pour en faire un instrument ? Quel rôle joue la médiation instrumentale dans la construction des savoirs mathématiques ? Comment caractériser cette médiation instrumentale dans l’apprentissage de mathématiques ? contribution aux recherches sur la médiation instrumentale contribution aux études sur sémiose et processus de signification sémiose et processus de signification étude du transfert à l’enseignement ordinaire

36 la thèse, son rapport d'activité et les travaux de recherche sont consultables en ligne :

37 merci de votre attention
Les feuilles du ginkgo tombaient des branches comme pluie menue, et mouchetaient de jaune le pré. Je marchais en compagnie de M. Okeda sur le sentier de pierres lisses. Je lui expliquai que j'aurais voulu isoler la perception de chaque feuille de ginkgo de la perception de toutes les autres, mais me demandais si c'était seulement possible. (Italo Calvino, Si par une nuit d'hiver un voyageur) photo : Fanny LIGNON