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Chapitre 10 Technologie. Technologies La technologie dune entreprise est le nom donné à lensemble des procédés permettant à lentreprise de convertir certains.

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1 Chapitre 10 Technologie

2 Technologies La technologie dune entreprise est le nom donné à lensemble des procédés permettant à lentreprise de convertir certains biens – des inputs – en dautres biens - des outputs. Par exemple, du travail, un ordinateur, un projecteur, de lélectricité, un amphi et un logiciel sont combinés pour produire cette leçon. Dans ce cours, on supposera toujours quun seul output est produit

3 Technologies Il y a en général plusieurs moyens différents de produire le même bien (par exemple, on peut également produire une leçon de microéconomie en remplaçant lordinateur, le logiciel et le projecteur par un tableau et des craies). Y a t-il des procédés « meilleurs » que dautres? Comment comparer différents procédés? Comment décrire lensemble des procédés disponibles à la firme ?

4 Combinaisons dinputs x i désigne la quantité utilisée de linput i. Une combinaison dinputs est une liste de quantités dinputs; (x 1, x 2, …, x n ). E.g. (x 1, x 2, x 3 ) = (6, 0, 9).

5 Fonctions de production y désigne le niveau doutput. La fonction de production associe à chaque combinaison dinputs la quantité maximale doutput quil est techniquement possible de produire à partir de la dite combinaison.

6 Fonctions de production y = f(x) décrit la Fonction de de production. xx Niveau dInput Niveau doutput y y = f(x) représente le niveau maximal doutput que l on peut produire à partir de x unités dinput. un input, un output

7 Ensembles de production Une activité productive est une combinaison dinputs et un niveau doutput; (x 1, …, x n, y). Une activité productive est réalisable si Lensemble de toutes les activités productives réalisables est appelé ensemble de production.

8 Ensembles de production y = f(x) décrit la fonction de production. xx Niveau dinput Niveau doutput y y y = f(x) : niveau maximal doutput qui peut être produit de x unités dinput. Un input, un output y < f(x) : niveau doutput réalisable avec x unités dinput.

9 Ensembles de production Lensemble de production:

10 Ensembles de production xx Niveau dinput Niveau dOutput y Un input, un output y Lensemble de production

11 Ensembles de production xx Niveau dinput Niveau doutput y Un input, un output y Ensemble de production Activités productives techniquement inefficaces Activités productives efficaces

12 Technologies avec plusieurs inputs Comment décrire la technologie lorsquil y a plusieurs inputs? Considérons le cas où il ny a que deux inputs, dont les quantités sont notées x 1 et x 2. La quantité doutput est notée y. Supposons que la fonction de production soit

13 Technologies avec plusieurs inputs E.g. le niveau maximal doutput possible à partir de la combinaison d input (x 1, x 2 ) = (1, 8) est Alors que le niveau maximal doutput possible à partir de (x 1,x 2 ) = (8,8) est

14 Technologies avec plusieurs inputs Output, y x1x1 x2x2 (8,1) (8,8)

15 Technologies avec plusieurs inputs On appelle isoquante associée au niveau de production y lensemble de toutes les combinaisons dinputs permettant de produire exactement y comme niveau maximal doutput.

16 Isoquantes avec deux inputs y y x1x1 x2x2

17 Les isoquantes peuvent être représentées graphiquement en ajoutant un axe pour les niveaux doutput level et en « découpant » chaque isoquante à la hauteur du niveau doutput associée à la dite isoquante.

18 Isoquantes avec deux inputs Output, y x1x1 x2x2 y y

19 Isoquantes avec deux inputs Lajout disoquantes supplémentaires fournit une information de plus en plus précise sur la technologie de la firme.

20 Isoquantes avec deux inputs y y x1x1 x2x2 y y

21 Output, y x1x1 x2x2 y y y y

22 Technologies à plusieurs inputs La collection complète des isoquantes est parfois appelée la carte disoquantes. La carte disoquantes est équivalente à la fonction de production. E.g.

23 Technologies à plusieurs inputs x1x1 x2x2 y

24 x1x1 x2x2 y

25 x1x1 x2x2 y

26 x1x1 x2x2 y

27 x1x1 x2x2 y

28 x1x1 x2x2 y

29 x1x1 y

30 x1x1 y

31 x1x1 y

32 x1x1 y

33 x1x1 y

34 x1x1 y

35 x1x1 y

36 x1x1 y

37 x1x1 y

38 x1x1 y

39 Ensemble dinputs requis On appelle lensemble des inputs requis à la production de y unités doutput (noté V(y)) lensemble de toutes les combinaisons dinputs permettant au moins de produire y Formellement: V(y) = {(x 1,…,x n ) R n + : f(x 1,…,x n ) y}

40 Ensemble dinputs requis y y x1x1 x2x2 x2x2 x1x1 I(y)

41 Ensemble dinputs requis V(y) y x1x1 x2x2 x2x2 x1x1 I(y)

42 Analogie avec la théorie du consommateur Dun point de vue mathématique, la fonction de production ressemble à la fonction dutilité du consommateur La carte disoquantes ressemble à la carte dindifférence Les ensembles dinputs requis ressemblent aux ensembles des paniers faiblements préférés

43 Analogie avec la théorie du consommateur Il y a toutefois une différence essentielle: Les nombres associés par la fonction dutilité aux courbes dindifférence nont pas dautre signification que dordonner ces courbes de manière conforme aux préférences du consommateur Par contre les nombres associés aux isoquantes par la fonction de production ont une signification plus précise (cardinale) : ce sont des niveaux physiques doutput.

44 Technologies Cobb-Douglas Comme pour le consommateur, la fonction de production Cobb- Douglas sécrit Par ex: avec

45 x2x2 x1x1 Les isoquantes sont hyperboliques, asymptotiques aux axes sans jamais les toucher. Technologies Cobb-Douglas

46 x2x2 x1x1 Les isoquantes sont hyperboliques, asymptotiques aux axes sans jamais les toucher. Technologies Cobb-Douglas

47 x2x2 x1x1 Les isoquantes sont hyperboliques, asymptotiques aux axes sans jamais les toucher. Technologies Cobb-Douglas

48 x2x2 x1x1 Les isoquantes sont hyperboliques, asymptotiques aux axes sans jamais les toucher. Technologies Cobb-Douglas >

49 Technologies à coefficients de production fixes (Léontieff) Une fonction de production Léontieff est de forme E.g. avec

50 Technologies Léontieff x2x2 x1x1 min{x 1,2x 2 } = min{x 1,2x 2 } = 8 min{x 1,2x 2 } = 4 x 1 = 2x 2

51 Technologie Léontieff Décrit des situations de parfaite complémentarité entre facteurs de production Ex: il faut une pelle et un travailleur pour creuser un trou. Deux pelles et deux travailleurs pour creuser deux trous, etc. Augmenter le nombre de travailleurs sans augmenter le nombre de pelles naugmentera pas le nombre de trous

52 Technologies à parfaite substituabilité Comme pour les préférences du consommateur, une fonction de production à parfaite substituabilité est de forme E.g. avec

53 Technologies à parfaite substituabilité x1x1 x2x2 x 1 + 3x 2 = 18 x 1 + 3x 2 = 36 x 1 + 3x 2 = 48 Isoquantes linéaires et parallèles

54 Technologie à parfaite substituabilité Décrit des situations de parfaite substituabilité entre facteurs de production Ex: On a besoin de 1000 heures de travail efficace pour produire des bigoudis sur une chaîne de montage Les femmes (facteur 2) sont plus efficaces que les hommes (facteur 1) au sens ou une heure de travail féminin donne deux heures de travail efficace alors que le taux de conversion du travail masculin en travail efficace est de 1 pour 1

55 Produit Marginal Physique dun input Le produit marginal de linput mesure la variation de loutput quentraîne une variation infinitésimale dinput i,toutes choses égales par ailleurs. Mathématiquement:

56 Produit marginal physique E.g. si alors le produit marginal de linput 1 est

57 Produit marginal physique E.g. si alors le produit marginal de linput 1 est

58 Produit marginal physique E.g. si alors le produit marginal de linput 1 est et le produit marginal de linput 2 est

59 Produit marginal physique E.g. si alors le produit marginal de linput 1 est et le produit marginal de linput 2 est

60 Produit marginal physique En général, le produit marginal physique dun input dépend de la quantité utilisée des autres inputs. E.g. si alors Et si x 2 = 27 alors si x 2 = 8,

61 Produit marginal physique On suppose souvent que le produit marginal physique de linput i est décroissant par rapport à lemploi de cet input, toutes choses égales par ailleurs. Formellement:

62 Produit marginal physique On justifie usuellement cette décroissance du produit marginal par la loi dite « des rendements décroissants ». On obtient moins de la quarantième heure de travail que de la trente neuvième!

63 Produit marginal physique et E.g. sialors

64 Produit marginal physique et E.g. sialors Et donc

65 Produit marginal physique et E.g. sialors Et donc et

66 Produit marginal physique et E.g. sialors Et donc et Les deux produits marginaux sont décroissants.

67 Rendements déchelle La notion de produit marginal physique décrit le changement de niveau doutput qui résulte dun changement (marginal) dans lemploi dun seul input. La notion de rendements déchelle décrit la manière avec laquelle le niveau d output est affecté lorsque toutes les quantités dinput sont modifiées dans une même proportion (e.g. les niveaux dinput doublés, ou divisés par deux). Très importante notion pour comprendre lémergence de grandes firmes

68 Rendements déchelle Si, pour chaque combinaison dinputs (x 1,…,x n ), Pour tout tout nombre k supérieur à 1, alors la technologie décrite par la fonction de production f est lobjet de rendements déchelle constants. E.g. (k = 2) doubler tous les niveaux dinput Double la quantité maximal doutput Que lon peut produire.

69 Rendements déchelle y = f(x) xx Niveau dinput Niveau doutput y un input, un output 2x 2y Rendements déchelle constants

70 Rendements déchelle Si, pour toute combinaison dinputs (x 1,…,x n ), Pour tout nombre k supérieur à 1, alors la technologie fait lobjet de rendements déchelle décroissants. E.g. (k = 2) doubler le niveau demploi de tous les inputs fait moins que doubler la quantité maximale doutput possible.

71 Rendements déchelle y = f(x) xx Niveau dinput Niveau doutput f(x) Un input, un output 2x f(2x) 2f(x) Rendements déchelle décroissants

72 Rendements déchelle Si, pour toute combinaison dinputs (x 1,…,x n ), pour tout nombre k supérieur à 1, alors la technologie fait lobjet de rendements déchelle croissants. E.g. (k = 2) doubler le niveau de tous les input fait plus que doubler la quantité maximale doutput.

73 Rendements déchelle y = f(x) xx Niveau dInput Niveau doutput f(x) Un input, un output 2x f(2x) 2f(x) Rendements d échelle croissants

74 Rendements déchelle Une technologie peut localement faire montre de différents types de rendements déchelle. La notion de rendements déchelle est, de fait, une notion locale

75 Rendements déchelle y = f(x) x Input Output Un input, un output Rendements déchelle décroissants Rendements déchelle croissants

76 Exemples de Rendements déchelle La fonction de production avec parfaite substituabilité est Si on augmente proportionellement tous les niveaux dinput par k, on obtiendra la Quantité doutput:

77 Exemples de Rendements déchelle La fonction de production avec parfaite substituabilité est Si on augmente proportionellement tous les niveaux dinput par k, on obtiendra la Quantité doutput:

78 Exemples de Rendements déchelle La fonction de production avec parfaite substituabilité est Si on augmente proportionellement tous les niveaux dinput par k, on obtiendra la quantité doutput: Cette technologie fait donc lobjet de rendements déchelle constants.

79 Exemples de rendements déchelle La fonction de production Léontieff: Laugmentation proportionnelle de tous les niveaux dinput par k permet au mieux la production du niveau doutput:

80 Exemples de rendements déchelle La fonction de production Léontieff: Laugmentation proportionnelle de tous les niveaux dinput par k permet au mieux la production du niveau doutput:

81 Exemples de rendements déchelle La fonction de production Léontieff: Laugmentation proportionnelle de tous les niveaux dinput par k permet au mieux la production du niveau doutput: La technologie Léontieff fait donc lobjet de rendements déchelle constants.

82 Exemples de Rendements déchelle La fonction de production Cobb-Douglas: Laugmentation proportionnelle des niveaux dinput par k va conduire au niveau doutput:

83 Exemples de Rendements déchelle La fonction de production Cobb-Douglas: Laugmentation proportionnelle des niveaux dinput par k va conduire au niveau doutput:

84 Exemples de Rendements déchelle La fonction de production Cobb-Douglas: Laugmentation proportionnelle des niveaux dinput par k va conduire au niveau doutput:

85 Exemples de Rendements déchelle La fonction de production Cobb-Douglas: Laugmentation proportionnelle des niveaux dinput par k va conduire au niveau doutput:

86 Exemples de Rendements déchelle La fonction de production Cobb-Douglas: Laugmentation proportionnelle des niveaux dinput par k va conduire au niveau doutput: La technologie Cobb-Douglas fait donc lobjet de rendements déchelle: constants si a 1 + … + a n = 1

87 Exemples de Rendements déchelle La fonction de production Cobb-Douglas: Laugmentation proportionnelle des niveaux dinput par k va conduire au niveau doutput: La technologie Cobb-Douglas fait donc lobjet de rendements déchelle: constants si a 1 + … + a n = 1 croissants si a 1 + … + a n > 1

88 Exemples de Rendements déchelle La fonction de production Cobb-Douglas: Laugmentation proportionnelle des niveaux dinput par k va conduire au niveau doutput: La technologie Cobb-Douglas fait donc lobjet de rendements déchelle: constants si a 1 + … + a n = 1 croissants si a 1 + … + a n > 1 décroissants si a 1 + … + a n < 1.

89 Exemples de Rendements déchelle La fonction de production Cobb-Douglas: Laugmentation proportionnelle des niveaux dinput par k va conduire au niveau doutput: La technologie Cobb-Douglas fait donc lobjet de rendements déchelle: constants si a 1 + … + a n = 1 croissants si a 1 + … + a n > 1 décroissants si a 1 + … + a n < 1.

90 Mesure locale de rendements déchelle Pour une technologie donnée, comment connaître les rendements déchelle dont elle fait lobjet ? La notion délasticité déchelle fournit une réponse à cette question Lélasticité déchelle donne le taux daugmentation du niveau doutput quentraîne une augmentation proportionnelle dun pour cent du niveau demploi des inputs

91 Mesure locale de rendements déchelle Soit une fonction de production f(x 1,…,x n ) A tout niveau demploi des inputs (x 1,…,x n ) on considère une augmentation proportionnelle de ce niveau demploi dun montant k (proche de 1). Cela définit une fonction g(k) de la manière suivante: g(k)= f(kx 1,…,kx n ) Dérivons cette fonction g par rapport à k (possible si f est dérivable)

92 Mesure locale de rendements déchelle Cette dérivée sécrit: Si on lévalue à k = 1, elle sinterprète comme le taux de variation du niveau doutput par rapport à une augmentation infinitésimale proportionnelle du niveau demploi des inputs

93 Mesure locale de rendements déchelle Une mesure locale délasticité déchelle E serait donc: E > 1 Rendements déchelle croissants E = 1 Rendements déchelle constants E < 1 Rendements déchelle décroissants

94 Mesure locale de rendements déchelle Exemple: trouver lélasticité léchelle associée à la fonction de production f(x 1,x 2 ) = (1+x 1 ) 1/2 (1+x 2 ) 1/2 Les dérivées partielles de f sont: f 1 (x 1,x 2 ) = ½( (1+x 1 ) -1/2 (1+x 2 ) 1/2 et f 2 (x 1,x 2 ) = ½( (1+x 1 ) 1/2 (1+x 2 ) -1/2 On a donc:

95 Rendements déchelle Q: Une technologie peut elle faire lobjet de rendements déchelle croissants tout en étant soumise à la loi des rendements décroissants ?

96 Rendements déchelle Q: Une technologie peut-elle faire lobjet de rendements déchelle croissants tout en étant soumise à la loi des rendements décroissants ? R: Oui. E.g.

97 Rendements déchelle donc, cette technologie fait lobjet de rendements déchelle croissants.

98 Rendements déchelle donc, cette technologie fait lobjet de rendements déchelle croissants. mais est décroissant en x 1

99 Rendements déchelle donc, cette technologie fait lobjet de rendements déchelle croissants. mais est décroissant en x 1 et est décroissant en x 2

100 Rendements déchelle Donc, une technologie peut faire lobjet de rendements déchelle croissants tout en étant soumise à la loi des rendements décroissants. Pourquoi?

101 Rendements déchelle Le produit marginal décrit le taux de variation de loutput par rapport à la variation dun niveau dinput (toutes choses égales par ailleurs). Le produit marginal décroît parce que les autres inputs restent fixés de sorte que les unités additionnelles de linput ont de moins dautres input avec lesquels elles peuvent être combinées.

102 Rendements déchelle Lorsque tous les niveaux dinput sont augmentés de manière proportionnelle, il peut ne pas y avoir de réduction des produits marginaux les unités additionnelles de chaque input vont pouvoir être combinées avec des unités additionnelles des autres inputs. Il est donc possible que les rendements déchelle soient constants ou croissants alors même que la productivité marginale de chaque facteur soit décroissante

103 Taux marginal de Substitution technique A quel taux la firme peut-elle substituer un input à un autre sans modifier son niveau de production ?

104 Taux marginal de substitution technique x2x2 x1x1 y

105 x2x2 x1x1 y Pente = taux maximal auquel le niveau dinput 2 peut être réduit lorsque linput 1 est augmenté et que la firme désire garder constant son niveau de production. La pente de l isoquante est donc ce taux marginal de substitution technique

106 Taux marginal de Substitution technique Comment calculer le Taux Marginal de substitution technique ?

107 Taux marginal de Substitution technique Comment calculer le Taux Marginal de Substitution Technique TMST ? On utilise, comme pour le TMS de la théorie du consommateur, le théorème des fonctions implicites

108 Rappel le théorème des fonctions implicites Dans un monde à deux inputs, la courbe de lisoquante associée à un niveau de production y, qui définit une relation entre le niveau dinput 1, x 1, et le niveau dinput 2, x 2 y (x 1 ), est définie par lidentité:

109 Calcul du TMST par le théorème des fonctions implicites Si les produits marginaux sont toujours positifs et si la fonction de production est continue, la relation est fonctionnelle (elle associe à toute quantité dinput 1 lunique quantité dinput 2 qui permet à lentreprise de produire y)

110 Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites (cas dérivable)

111

112 Taux marginal de substitution technique: Un exemple Cobb-Douglas donc et Le TMST est donc

113 x2x2 x1x1 Taux marginal de substitution technique; Un exemple Cobb-Douglas

114 x2x2 x1x1 4 8

115 x2x2 x1x1 6 12

116 Hypothèses sur les Technologies On suppose souvent dune technologie quelle est monotone, et convexe.

117 Monotonie Monotonie: Augmenter le niveau demploi de nimporte quel input ne réduit jamais l output. y x y x monotone non monotone

118 Convexité Convexité: Si les combinaisons d inputs x et x permettent chacune de produire au moins y unités doutput, le mélange tx + (1-t)x des deux combinaisons doit également permettre de produire au moins y unités doutput et, quelque soit 0 < t < 1.

119 Convexité x2x2 x1x1 y

120 x2x2 x1x1 y

121 x2x2 x1x1 y y

122 x2x2 x1x1 La convexité implique que le TMST augmente (devienne moins négatif) au fur et à mesure que x 1 augmente.

123 Technologies monotones x2x2 x1x1 y y y Plus grande quantité doutput

124 Une distinction importante: Le long terme vs le court terme Le long terme décrit lhorizon temporel sur lequel lentreprise nest pas du tout restreinte en terme de ses choix de combinaisons dinput. Le court terme est un horizon temporel dans lequel lentreprise est restreinte dune manière ou dun autre dans ses choix de combinaisons dinput. Il y a plusieurs horizons de court terme.

125 Long terme vs court terme Exemples de restrictions qui peuvent limiter les choix dactivité productive dans le court terme: Incapacité temporaire dinstaller ou de détruire un équipement lourd ou une chaîne de montage Obligation légale de satisfaire certaines normes environnementales Obligation légale de satisfaire des exigences en termes de contenu national.

126 Long terme vs court terme Quelle type de restrictions lhorizon de court terme impose t-il à la technologie de la firme ? De manière spécifique, supposons que la restriction de court terme fixe le niveau disponible dinput 2. Linput 2 sera donc linput fixe dans le court terme. Linput 1 restera variable.

127 Long terme et court terme x2x2 x1x1 y

128 x2x2 x1x1 y

129 x2x2 x1x1 y

130 x2x2 x1x1 y

131 x2x2 x1x1 y

132 x2x2 x1x1 y

133 x2x2 x1x1 y

134 x2x2 x1x1 y

135 x2x2 x1x1 y

136 x2x2 x1x1 y

137 x1x1 y

138 x1x1 y

139 x1x1 y Quatre fonctions de production de court terme.

140 Long terme et court terme est la fonction de production de long terme (x 1 and x 2 sont tous les deux variables). La fonction de production de court terme pour x 2 1 est La fonction de production de court terme pour x 2 8 est


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