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Lintégration des technologies informatiques à lenseignement des mathématiques Michèle Artigue Equipe DIDIREM & IREM Université Paris 7.

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1 Lintégration des technologies informatiques à lenseignement des mathématiques Michèle Artigue Equipe DIDIREM & IREM Université Paris 7

2 Plan de lexposé Introduction Lintégration des technologies informatiques à lenseignement des mathématiques : des contrastes troublants Le développement de lapproche instrumentale : un nouveau regard sur les questions dintégration La situation actuelle : des questions profondément renouvelées par lévolution technologique, un champ de recherche didactique encore très peu défriché

3 Introduction Une histoire personnelle qui globalement reflète lévolution des perspectives de recherche et des technologies, avec : Lexploitation du logiciel Euclide dérivé de Logo en géométrie au collège (programmation) Lexploitation de logiciels de tracé graphique pour lenseignement des équations différentielles (visualisation, expérimentation) Lexploitation de logiciels de calcul formel pour lenseignement de lanalyse (connections entre cadres et registres sémiotiques) Lexploitation de ressources en ligne pour laccompagnement scolaire, le développement doutils de diagnostic en algèbre Mais aussi, sur le plan théorique : Le développement de lapproche instrumentale La recherche de perspectives intégratives (Méta-analyse, projets TELMA et ReMath) pour dépasser latomisation théorique du champ

4 Lintégration technologique : des décalages troublants Une intégration spectaculaire de linformatique dans le monde professionnel et dans la société tout entière Une politique institutionnelle claire et constante, depuis plus de 20 ans dans de nombreux pays, prônant lintégration des technologies informatiques à lenseignement des mathématiques Le développement dune multitude de recherches et innovations susceptibles a priori de soutenir cette intégration La multiplication des ressources logicielles et documentaires pour lenseignement

5 Mais, contrastant avec cela Une intégration à lenseignement qui reste problématique, même pour les technologies les plus anciennes (calculatrices et logiciels de géométrie dynamique par exemple), alors quInternet renouvelle aujourdhui profondément la donne technologique Des valeurs et normes de lenseignement mathématique qui peinent à prendre en compte lévolution technologique, la façon dont elle influence lapprentissage et les pratiques mathématiques, les potentialités mais aussi les besoins qui en résultent en terme denseignement et de formation des enseignants

6 Comment expliquer un tel décalage ? Difficultés matérielles Qualité des outils technologiques Inertie du corps enseignant Ce ne sont pas forcément les obstacles majeurs aujourdhui… Une vision de lintégration technologique qui reste souvent trop naïve, piégée par des attentes irréalistes Des formations qui outillent insuffisamment les professeurs pour permettre le passage à lacte Une attention insuffisante portée aux questions dordre institutionnel et écologique, aux contraintes dimplémentation, aux changements déchelle Une capitalisation des connaissances rendue difficile par léclatement des cadres théoriques et concepts utilisés

7 Quattend-t-on de la technologie dans lenseignement des maths ? Elle doit aider à comprendre les concepts mathématiques, accroître le pouvoir mathématique des étudiants Elle doit aider à renouveler les pratiques pédagogiques, fournir de nouveaux outils denseignement : outils de visualisation, de calcul, de communication Elle doit aider les élèves à sadapter à lunivers technologique Elle doit économiser du temps denseignement et dapprentissage Elle doit rendre à la fois lenseignement et lapprentissage plus faciles et meilleurs Elle doit aider à motiver les élèves en mathématiques

8 Un exemple : le quadrilatère qui tourne Un problème classique en seconde (grade 10) en France pour les élèves qui : rentrent plus systématiquement dans le monde fonctionnel, commencent à rencontrer et traiter des problèmes de variation et doptimisation, mais sans les outils du calcul différentiel.

9 Le parallélogramme qui tourne

10 Une résolution algébrique soutenue par une calculatrice symbolique

11 Du particulier au général Le minimum de laire est obtenu pour une valeur de x qui est le quart du périmètre Est-ce un cas particulier où est-ce un phénomène plus général ?

12 Du particulier au général

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14 Dans cette situation La technologie a un potentiel réel : pour explorer un problème de variation, formuler des conjectures et les tester pour aider le calcul algébrique pour soutenir la production des preuves mathématiques et la généralisation pour faciliter lexploitation de cadres et registres sémiotiques distincts dans la résolution Mais quelle écologie possible pour une telle situation ? Que suppose sa viabilité côté élèves, enseignant ?

15 Les origines de lapproche instrumentale Deux projets nationaux successifs concernant lutilisation de logiciels de calcul formel et : des décalages importants entre les discours et la réalité des classes observées, lapparition de phénomènes didactiques spécifiques que nous avions envie de comprendre. Une sensibilité croissante : à la difficulté pour les CAS à se constituer en instruments mathématiques pour les élèves, aux besoins mathématiques de cette évolution, aux problèmes posés aux enseignants par la gestion de ces questions, à la faible sensibilité des recherches et formations à ces question.

16 Lapproche instrumentale La conjonction de deux perspectives : Approche ergonomique (Rabardel & Vérillon) Approche anthropologique (Chevallard)

17 Les éléments principaux de lapproche ergonomique La genèse instrumentale Lartefact InstrumentalisationInstrumentation Contraintes Potentialités Linstrument Schèmes

18 Un cas particulier : les schèmes de cadrage f(x)=x(x+7)+9/x

19 Les éléments principaux de lapproche anthropologique Une vision de la connaissance comme un émergent de pratiques institutionnellement situées et conditionnées par des normes institutionnelles Des outils danalyse de ces pratiques via les notions de praxéologies mathématiques et didactiques Un modèle de structuration des praxéologies didactiques en termes de moments de létude La reconnaissance que lavancée de la connaissance passe par la routinisation de tâches et de techniques et la naturalisation des technologies associées, ceci induisant une dé-mathématisation des gestes associés Praxéologie = (Tâche, Technique, Technologie, Théorie)

20 Pourquoi faire interagir ces deux cadres ? Le fait que la recherche didactique a construit ses cadres théoriques en référence à des environnements technologiques pauvres, à linverse de lergonomie cognitive. Le fait quil existe des différences essentielles entre lapprentissage instrumenté en situation de travail auquel sintéresse lergonomie cognitive et lapprentissage instrumenté scolaire, en termes de légitimité et valeurs.

21 Un exemple : Létude des variations (thèse de Badr Defouad) Une tâche emblématique dont les techniques détude évoluent au cours du lycée Des praxéologies stabilisées dans lenvironnement papier-crayon, enrichi par les calculatrices graphiques Un observatoire intéressant pour étudier les questions posées par lintégration dun nouvel outil (ici la TI92)

22 La méthodologie de létude Le suivi délèves choisis suivant leur sexe, leur niveau mathématique, leur rapport à la technologie, deux années successives via: des questionnaires, des entretiens, des observations de classe régulières, le recueil systématique des productions écrites.

23 Les entretiens Recueil dinformations sur lusage hors de la classe, pendant les contrôles, sur la structuration personnelle de la calculatrice. Etude des variations dune fonction particulière en deux temps : Représenter graphiquement et conjecturer, Tester les conjectures et essayer ensuite de les prouver si le test est positif, sinon de les rectifier. La fonction est choisie hors du champ de familiarité des élèves au moment de lentretien.

24 Quels résultats ? La complexité inattendue de la genèse instrumentale Premier entretien : comprendre les variations de f(x)=x(x+7)+9/x

25 La seconde étape : le calcul symbolique A priori tout semble réglé sauf que…

26 Le retour à lapplication graphique

27 Des sur-vérifications utilisant lapplication Table et des Zooms

28 Le troisième entretien : étude dune fonction trigonométrique

29 Des déstabilisations multiples Lapparition dun nouveau type de phénomène lié à la discrétisation sous-jacente aux tracés, au-delà des problèmes dasymptotes alors maîtrisés. La complexité ostensive de la dérivée. Doù : Le temps passé à obtenir un tracé qui touche laxe horizontal Limpossibilité dun travail instrumenté autonome efficace sur la dérivée La fragilité révélée de larticulation graphique – symbolique (doutes sur la parité, la périodicité…)

30 Le travail assisté par linterviewer

31 La genèse instrumentale de la variation La résistance de la culture pré-analyse Le statut des différentes applications (Home, Graph, Table) comme un indicateur de lévolution La dépendance forte de la genèse instrumentale de lévolution des connaissances mathématiques. Lidentification de phénomènes spécifiques : zapping, sur-vérification, éclatement / réduction Comment expliquer ces résultats ?

32 Pourquoi ? Des difficultés spécifiques… La diversité des commandes et des techniques possibles et les réactions dominantes face à cette diversité. Le mélange de connaissances mathématiques (certaines nouvelles) et «machine » engagé nécessairement dans un discours explicatif et justificatif. Laccessibilité problématique de certaines de ces connaissances. La distance existante avec les normes et valeurs usuelles de lenseignement des mathématiques qui rend la gestion difficile.

33 La seconde année dexpérimentation une évolution sensible de la gestion Introduction dune sélection. Un travail officiel dinstitutionnalisation et de routinisation. Une gestion du contrat didactique prenant en compte son évolution nécessaire au fil de lavancée des connaissances. Des effets évidents…

34 Un retour réflexif sur la dialectique technique / conceptuel La double valence des techniques Valence pragmatique Valence épistémique Deux valences qui fondent la légitimité des techniques

35 Un retour réflexif sur la dialectique technique/ conceptuel Environnement standard EIAH Résultats immédiats Résolution pas à pas Multiplicité des résultats accessibles Résultats surprenants De nouveaux besoins mathématiques

36 Des conséquences immédiates Une vision renouvelée des résistances des enseignants. La nécessité de trouver les moyens daccroître la valeur épistémique des techniques instrumentées, par lélaboration de situations adaptées et une gestion adéquate de ces situations. La nécessité de prendre en compte ces besoins ainsi que ceux des genèses instrumentales dans la formation des enseignants et dans la constitution de ressources pour les enseignants.

37 Comprendre les processus de discrétisation et leurs effets graphiques : f(x)=sin(x)/x

38 Comprendre les transformations et simplifications algébriques et apprendre à les piloter efficacement Une opportunité pour travailler sur léquivalence, les relations entre « sens et dénotation », pour aborder des questions syntaxiques

39 Des calculs avec des radicaux ( 3 - 6) 2, ( 3 - 5) 2 3/( 3 - 5) + 2/(2 + 5) ( 5 - 3)/( 3 – 5) + 2/( 3 + 5)

40 Comprendre les différences induites par le choix des modes de calcul

41 Ceci amène à différencier deux catégories de situations Celles issues de lusage de la technologie elle-même et en particulier exploitant les nouveaux besoins de connaissance résultant de la transposition informatique. Celles exploitant le potentiel pragmatique des TICE pour susciter des questions et développer des activités de mathématisation, pour motiver des généralisations, pour attaquer des problèmes plus complexes. Une littérature qui favorise trop exclusivement les secondes et nexploite pas toutes les potentialités épistémiques des techniques instrumentées

42 Les retombées et prolongements La relecture des ingénieries didactiques réalisées et une vision plus claire des problèmes délicats décologie des CAS dans lenseignement secondaire. La construction de situations prenant en charge les besoins épistémiques. Le développement de logiciels plus spécifiques à la résolution de certains types de tâches, sappuyant sur des noyaux de CAS existants (Casyopée, lAlgebrista). Lextension de ce type dapproches à dautres technologies : les travaux de Brigitte Grugeon sur Géoplan et Cabri-géomètre. la thèse de Mariam Haspekian sur le tableur,

43 Des technologies classiques à la situation actuelle Une évolution des métaphores dominantes : des métaphores associées aux micro-mondes aux métaphores associées à la notion de réseaux de connaissances, de cognition distribuée, de communautés de pratiques Des produits qui essaient de gérer de plus en plus la scénarisation et linteraction didactique Des produits qui font de plus en plus éclater la structure scolaire classique de la classe Un foisonnement de ressources et dinformations impossible à maîtriser Lémergence de dynamiques nouvelles Tout ceci crée une masse de questions nouvelles ou partiellement renouvelées auxquelles le travail mené jusquici napporte pas de réponses directes

44 Un exemple illustratif: Sesamath Au départ, un petit groupe denseignants qui créent un site web Ensuite, une association plus structurée: une croissance exponentielle des ressources produites, une croissance exponentielle des échanges entre enseignants via Internet Des chercheurs peu intéressés, une institution éducative méfiante : rien de réellement innovatif, des ressources de qualité diverse, contenant des erreurs Une attitude très différente des enseignants qui plébiscitent ces ressources

45 Un exemple illustratif: Sesamath Les premiers contacts avec les IREMs: Sesamath veut bénéficier de leur réflexion et expérience pour : obtenir un feedback sur les ressources développées, Obtenir des suggestions pour inclure des tâches plus riches. Une certaine résistance puis la constitution of groupes mixtes dans plusieurs IREMs et le début dun travail collaboratif. Des premiers résultats intéressants.

46 Un example, rien didéal mais… Une dynamique qui défie notre vision habituelle des rapports entre recherche didactique et pratique La confirmation que nous devons : Être plus sensibles à la distance entre pratiques ordinaires et pratiques instrumentées, Être plus confiants dans les capacités de créativité et de travail collaboratif des enseignants à lheure dInternet, Reflechir sérieusement à ce que nous pouvons faire via nos recherches et actions pour soutenir cette créativité et énergie et faire en sorte quelle bénéficie réellement à lenseignement et lapprentissage des mathématiques. Cest la raison dêtre dun certain nombre de recherches en cours au sein de léquipe DIDIREM : projet Lingot, projet Ile-de-France, projet GUPTEN, thèses de Laurent Souchard et Jean-Philippe Georget qui feront lobjet de présentations à EMF2006 dans le thème 5


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