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Démonstration et aires. Triangles de même aire Les triangles ABA et AAC ont la même aire. A B C A'

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Présentation au sujet: "Démonstration et aires. Triangles de même aire Les triangles ABA et AAC ont la même aire. A B C A'"— Transcription de la présentation:

1 Démonstration et aires

2 Triangles de même aire Les triangles ABA et AAC ont la même aire. A B C A'

3 Triangles de même aire Si les triangles ABM et AMC ont la même aire alors le point M est le milieu du segment [BC]. M est un point du segment [BC].

4 Triangles de même aire La droite d est parallèle à la droite (BC). Les triangles MBC et ABC ont la même aire.

5 Triangles de même aire La droite d est parallèle à la droite (BC). Les triangles MBI et ACI ont la même aire.aire

6 Lemme des proportions Soient ABC et ABC deux triangles ayant en commun le sommet A et dont les côtés [BC] et [BC] sont portés par la même droite. Le rapport des aires a (ABC) et a (ABC) est égal au rapport des longueurs BC et BC.

7 Lemme du chevronchevron Soit ABC un triangle et M un point du plan, distinct de A. On suppose que la droite (AM) coupe la droite (BC) en A. Alors on a :

8 Théorème de Thalès Soit ABC un triangle. Soient B un point du segment [AB] et C un point du segment [AC]. On suppose (BC) parallèle à (BC). On a les égalités :

9 Théorème de Thalès : démonstration daprès le lemme des proportions. Mais a (BCC)= a (BCB) car les droites (BC) et (BC) sont parallèles. Donc on obtient légalité : sen déduit par complément à 1.Légalité

10 Théorème de Thalès : démonstration Il reste une égalité à prouver ou de lintérêt en géométrie dintroduire de nouveaux éléments.

11 Théorème de Thalès : démonstration Il suffit dappliquer ce qui vient dêtre prouvé dans le triangle ABC avec la sécante (CC) parallèle à (AB).

12 Le théorème des milieux Soit un triangle ABC, B le milieu du segment [AC] et C un point du segment [AB]. Si la droite (BC) est parallèle à la droite (BC) alors le point C est le milieu du segment [AB].

13 Le théorème des milieux : démonstration B est le milieu du segment [AC]. Donc aire(CAB)=aire(CBC). aire(CBC)=aire(CBB) car (BC)//(BC). Par conséquent, aire(CAB)=aire(CBB). On en déduit que le point C est le milieu du segment [AB].

14 Concourance des médianes dun triangle Il suffit dappliquer le lemme du chevron. aire(AMB)=aire(AMC) car M est sur [AA]. aire(AMB)=aire(BMC) car M est sur [BB]. Donc aire(AMC)=aire(BMC). On en déduit par une nouvelle application du lemme du chevron que la droite (MC) coupe le segment [AB] en son milieu.

15 Références Aires et volumes : découpage et recollement. Daniel Perrin. Mathématiques décole. Daniel Perrin. Éditions Cassini. Démontrer par les aires. André Laur. Bulletin vert de lAPMEP, n° 463 de mars-avril Les aires comme outil géométrique. Jean-Marie Bouscasse. Les revues pédagogiques de la Mission Laïque Française. Activités mathématiques et scientifiques (janvier 1999). Initiation au raisonnement déductif au collège. IREM de Lyon.


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