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THEOREME DE THALES 3° Avon 2010Bernard Izard Chapitre 04-TH I - PROPORTIONNALITE II – LE THEOREME III- UNE CONSEQUENCE IV – LA RECIPROQUE V – AGRANDISSEMENT/

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1 THEOREME DE THALES 3° Avon 2010Bernard Izard Chapitre 04-TH I - PROPORTIONNALITE II – LE THEOREME III- UNE CONSEQUENCE IV – LA RECIPROQUE V – AGRANDISSEMENT/ REDUCT. VI- CONSTRUCTIONS VI- DEMONSTRATION

2 Thalès est né vers ~624 à Milet. Notes biographiques Il est mort au même endroit vers ~546. On lui attribut sans certitude le théorème qui porte son nom Milet, colonie grecque dAsie Mineure qui fait maintenant partie de la Turquie.

3 Qui était Thalès ? On ne sait que très peu de choses sur les œuvres de Thalès dans la mesure où il na laissé aucun écrit. Mort vers 80 ans, il était mathématicien grec mais aussi commerçant, astronome, ingénieur, savant, et philosophe. Fondateur de lécole ionienne, il fut le premier des 7 Sages de la Grèce. Il est considéré comme le premier mathématicien de lhistoire.

4 Que lui doit-on ? Concernant les mathématiques, il est à lorigine de 4 Théorèmes de géométrie élémentaire : Tout diamètre partage un cercle en deux parties égales et superposables Les angles dun triangle isocèle sont égaux

5 Deux angles opposés par le sommet sont égaux Un angle inscrit dans un demi cercle est droit -deux triangles sont congruent sil on deux angles et le côtés compris égaux

6 Lors dun voyage en Egypte, Thalès de Milet aurait mesuré la hauteur de la pyramide de Kheops par un rapport de proportionnalité avec son ombre. Par une relation de proportionnalité, il obtient la hauteur de la pyramide grâce à la longueur de son ombre. L'idée ingénieuse de Thalès est la suivante : « A l'instant où mon ombre sera égale à ma taille, l'ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur. » Citons : « Le rapport que jentretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne. »

7 I PROPORTIONNALITE A BC MN (MN) // (BC) Il y a proportionnalité entre les 2 triangles AMN et ABC Triangle AMNAMANMN Triangle ABCABACBC Tableau de proportionnalité AM AN MN AB AC BC = =

8 II LE THEOREME DE THALES 1) Les configurations Situation 4ème Situation papillon

9 2) Lénoncé du théorème Soient (d ) et (d ) deux droites sécantes en A Soient B et M deux points de (d ), distincts de A. Soient C et N deux points de (d ), distincts de A. Alors Ce théorème permet de calculer des longueurs. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles configuration

10 Ex1: E D C P R B A BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm. (CB) et (BD) se coupent en B C,P, B des points distincts de (CB) D,R,B des points distincts de (BD) Comme (PR) et (CD) sont parallèles, daprès le théorème de Thalès on a : BR = 5 x 4 ÷ 6 3,33 cm. Les données sont celles de la figure(PR)//(CD). Calculer BR.Donner une valeur exacte et éventuellement une valeur approchée à 0,01 centimètre près. Remplaçons: BR = Config.

11 E D C P R B A (ED)et(AC) sont 2 droites sécantes en B E,B,D points distincts de (ED) A,B,C points distincts de (AC) Comme (EA) et (CD) sont parallèles daprès le théorème de Thalès on a : EA = 6 x 2 ÷ 5 (produit en croix) EA = 2,4 cm. Les données sont celles de la figure (EA)//(CD). Calculer EA. Donner une valeur exacte et éventuellement une valeur approchée à 0,01 centimètre près. BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm. Ex2:

12 III-VARIANTE (CONSÉQUENCE) les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. Soient (d ) et (d ) deux droites sécantes en A Soient B et M deux points de (d ), distincts de A. Soient C et N deux points de (d ), distincts de A. Si alors Si les rapports ne sont pas égaux alors les droites ne sont pas // car, le Th. de Thalès dit que si elles sont // les rapport doivent être égaux Cette 2° forme du théorème (variante, conséquence ou contraposée) permet de prouver que des droites ne sont pas //

13 Ex: Dans la configuration de la figure ci-contre avec MI = 8 cm, MC = 12 cm, MJ = 13 cm, MB = 21 cm. Indiquer si les droites (IJ) et (CB) sont parallèles. M I C J B Nous sommes dans une configuration de Thalès CM) et (BM) deux droites sécantes en M. C,I,M des points distincts de (CM). B,J,M des points distincts de (BM) Comparons: Dune partDautre part Car les produits en croix sont différents comme (IJ) et (CB) ne sont pas // daprès la conséquence du Th. De Thalès

14 IV-RECIPROQUE Soient (d ) et (d ) deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de (d ), distincts de A. Soient C et N deux points de (d ), distincts de A. Si si les points A, M,B et les points A, N,C sont dans le même ordre Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Cette réciproque permet de démontrer que des droites sont parallèles. et

15 Ex1: Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ? On a et De plus les points A, C et E et les points B, C et D sont dans le même ordre daprès la réciproque du théorème de Thalès, (AB) et (DE) sont parallèles. donc B C P R D E 1,5 A 3 4, ,5

16 Ex2: Les droites (PR) et (DE) sont-elles parallèles ? B C P R D E 1,5 A 3 4, ,5 On a et (PR) et (DE) ne sont pas parallèles. donc Daprès la conséquence du théorème de Thalès.

17 II-AGRANDISSEMENT-REDUCTION

18 Ex1: 1cm 3cm X 3 Aire = 1x1 Aire = 1 cm² Aire = 3x3 Aire = 9 cm² X 9 X 3²

19 Ex2: X 3 X 9 X 27 1cm 3cm Aire totale =1x1x6 Aire totale = 6 cm² Aire totale=3x3x6 Aire totale = 54 cm² X 3² Volume = 1x1x1 Volume = 1 cm 3 Volume = 3x3x3 Volume = 27 cm 3 X 3 3

20 Ex3: X 2 X 4 X 8 Aire base 3,14x05² Aire base 0,785 cm² X 2² Volume 0,785x1 3 Volume 0,2617cm 3 Volume 3,14x2 3 Volume 2,093cm 3 X 2 3 Aire base 3,14x1² Aire base 3,14 cm² 1cm 2cm Longueurs

21 Si dans un agrandissement ou une réduction les dimensions sont dans le rapport k alors les aires sont dans le rapport k² et les volumes dans le rapport k 3

22 Ex1: Une pizza pour une personne mesure 10 cm de diamètre. Combien de personnes peut-on prévoir avec une pizza de 30 cm de diamètre ? Ex2: Lautopsie dune cerise fait apparaître que le diamètre du noyau est exactement égal à lépaisseur de sa chair. Si noyau et chair ont la même densité, combien faut-il de noyaux dans une balance pour équilibrer une cerise ? Ex3: La Fée Jivaro réduit les humains au dixième de leur taille. Je mesurais 1,80 m et je pesais 80 kg. Après le sort de la Fée je ne mesure plus que 18 cm. Quel est mon poids actuel ? 9 personnes 27 noyaux 80g

23 Ex4: La Tour Eiffel mesure environ 300m et pèse environ 8000 tonnes. On construit un modèle réduit avec le même métal de 1m de hauteur. Quel est le poids de la maquette ? 0,3 kg

24 THEOREME DE THALES Revoir les exercices Apprendre le cours FIN


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