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Le théorème de Napoléon Delespinette Alison 2ème Math.

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1 Le théorème de Napoléon Delespinette Alison 2ème Math

2 Historique Napoléon BONAPARTE ( ) montra un goût certain pour les mathématiques et plus particulièrement pour la géométrie. La légende raconte que la veille des grandes batailles il se plongeait dans la résolution de problèmes... Il aurait découvert le théorème qui porte aujourd'hui son nom.

3 En géométrie Le théorème de Napoléon dit que si l'on construit trois triangles équilatéraux à partir de chaque côté d'un triangle quelconque (tous à l'extérieur ou tous à l'intérieur), les centres de ces triangles équilatéraux forment eux-mêmes un triangle équilatéral.

4 La démonstration avec les cercles circonscrits à BAD, CBE et ACF

5 Soit un triangle quelconque ABC. On construit à lextérieur du triangle ABC les triangles équilatéraux BAD, CBE et ACF.

6 Traçons les centres de gravité des triangles équilatéraux.

7 Traçons les cercles C1, C2 et C3 circonscrits aux triangles ADB, BEC et CFA de centre respectif G1, G2 et G3.

8 Ces trois cercles sont concourants en un point T.

9 Soit T le point dintersection de C1 et C2, on a: |BDA| = 60°

10 Comme|BTA| intercepte le même arc BA que|BDA| de C1 on a: |BTA| = 120°.

11 Pour les mêmes raisons, |BTC| = 120°.

12 |CTA| = 360°- |BTC|+ |BTA|. Donc|CTA|= 120°. Donc CAFT sont cocycliques.

13 On a donc montré que T se trouve sur C3. La droite G1G2 est perpendiculaire à BT car [BT] est une corde commune à C1 et C2 donc G1G2 est la médiatrice de [BT].

14 Pour les mêmes raisons, G1G3 est perpendiculaire à AT. G2G3 est perpendiculaire à CT. Et |G2G1G3| + |G1G2G3|+ |G1G3G2| =180°.

15 On a |G2G1G3|= |G1G2G3| = l angle |G1G3G2| = 60°. Ce qui prouve que le triangle G1G2G3 est équilatéral.


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