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Vers ~569 à ~475 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Pythagore Des triplets au théorème.

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1 Vers ~569 à ~475 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Pythagore Des triplets au théorème

2 La cohérence est une des exigences fondamentales dans la construction de la connaissance. On ne peut conserver deux théories qui se contredisent, il faut faire un choix, ou tout recommencer. Introduction Les pythagoriciens ont été confrontés à un tel choix lorsquils ont constaté que le théorème de Pythagore venait en contradiction avec leur théorie de la commensurabilité. Dans cet présentation, nous allons voir les origines du théorème de Pythagore ainsi que les recherches et résultats obtenus dans le cadre de la théorie de la commensurabilité. Puis nous verrons comment ces deux composantes de la pensée pythagoricienne se sont révélées incompatibles.

3 Durant ses voyages, Pythagore avait appris la propriété suivante : Triplets pythagoriciens Les triangles dont les mesures des côtés sont propor- tionnelles aux nombres 3, 4 et 5 sont rectangles. Il semble que les égyptiens savaient que lon peut former un angle droit à laide dune corde sur laquelle des nœuds marquent les longueurs 3, 4 et 5. Il suffit de disposer la corde pour former un triangle dont les nœuds seront les sommets. Cette propriété était connue également des babyloniens comme en témoigne la tablette dargile appelée Plimpton 322.

4 Les pythagoriciens, habitués à la représentation ponctuelle des nombres, pouvaient facilement détecter des relations intéressantes du carré de ces nombres. Relation entre les nombres Ce qui, en écriture moderne, donne : = est le gnomon de 16 et, en lui ajoutant ce gnomon, on obtient le nombre carré 25. Par exemple, le carré du plus petit de ces nombres est le gnomon du carré du second pour donner le carré du plus grand des trois.

5 Les pythagoriciens ont tout naturellement cherché à connaître tous les nombres carrés décomposables en une somme de deux carrés. Relation entre les nombres Le nombre carré impair suivant est 25. On peut donc le disposer pour former le gnomon dun autre nombre carré. Le gnomon est 25, soit 5 2, et la représentation par des points de ce nombre permet de trouver un autre triplet, soit : = 13 2 Puisque le gnomon dun nombre carré est toujours un nombre impair, il faut chercher les nombre carrés qui sont impairs.

6 Utilisons une écriture moderne pour voir comment ils ont généralisé cette approche. Généralisation Il leur suffisait donc de déterminer les nombres impairs qui sont des carrés. Cest-à-dire les nombres m tels que : m2 m2 = (2n – 1). Par exemple, 49 est un nombre impair carré et, en posant : m2 m2 = (2n – 1) = 49, on trouve m = 7, n = 25 et n – 1 = 24 et on a la relation : 25 2 = Ils avaient montré que tout nombre carré, n 2, est la somme du nombre carré (n (n – 1) 2 et du gnomon (2n – 1), soit : n2 n2 = (n (n – 1) 2 + (2n – 1), Connaissant un nombre impair qui est un carré, il est alors facile de trouver les trois nombres du triplet.

7 De façon générale, si m2 m2 est un nombre impair, alors m 2 = (2n – 1) et on a : Relation de Pythagore Si m est un nombre entier impair plus grand ou égal à 3, alors : En posant (2n – 1) = m2 m2 et dans lexpression n 2 = (n (n – 1) 2 + (2n – 1), on obtient : est un triplet pythagoricien Relation de Pythagore

8 Linconvénient de cette généralisation, cest que m doit être un nombre impair plus grand ou égal à 3. On échappe probablement plusieurs triplets car en prenant quatre fois un même nombre carré, on forme un autre nombre carré. Relation de Platon Cette démarche graphique se traduit symboliquement en multi- pliant par 4 les deux membres de léquation : = 5252 Ce qui donne : 4x x4 2 = 4x x x4 2 = 2 2 x5 2 (2x3) 2 + (2x4) 2 = (2x5) = 10 2 On obtient ainsi un triplet qui nous échappait par la relation de Pythagore.

9 Généralisons en multipliant par 4 les deux membres de la relation de Pythagore, soit Relation de Platon On obtient : Si m 2 est un nombre entier, alors (m2 (m2 + 1) 2 = (m2 (m2 – + (2m) 2 est un triplet pythagoricien. Doù : En simplifiant : (m2 (m2 + 1) 2 = (m2 (m2 – + (2m) 2 Relation de Platon

10 Dans le premier lemme de la proposition 29 du Livre X, Euclide sintéresse lui aussi aux triplets pythagoriciens. Ce lemme, qui explique comment procéder pour trouver des triplets, sénonce comme suit : Euclide et les triplets Rappelons que, pour les grecs, un nombre plan est un produit de deux nombres et il représente laire dun rectangle. Ainsi, 6 est un nombre plan. Choisir deux nombres plans semblables qui sont tous deux pairs ou tous deux impairs. Leur différence est alors un nombre pair, le diviser par 2. Puisquils sont semblables, leur produit est un carré et celui-ci additionné au carré de la moitié de leur différence donne un carré.

11 Des nombres plans sont semblables si leurs côtés sont proportionnels. Ainsi, les nombres 96 et 54 sont des nombres plans semblables et ils sont tous deux pairs. Euclide et les triplets La différence de ces nombres est 42, la moitié de celle-ci est 21 et son carré est 441. Le produit des deux nombres est 54 x 96 = 5184 = La somme de ces carrés est = 5625 = On obtient donc le triplet pythagoricien : = 75 2

12 Choisissons donc deux nombres plans semblables et de même parité : Relation dEuclide Leur différence est alors un nombre pair, leur produit est un carré et celui-ci additionné au carré de la moitié de leur différence donne un carré. Soit m > n des nombres entiers, alors (m2 (m2 + n2)2 n2)2 = (m2 (m2 – n2)2 n2)2 + (2mn) 2 forme un triplet pythagoricien. Relation dEuclide On peut généraliser en suivant le conseil dEuclide : a = m 2 pq et b = n 2 pq, deux nombres plans semblables, tels que a > b (ou m > n). En simplifiant léquation obtenue en effectuant cette somme, on trouve :

13 Dans la forme finale de la relation dEuclide, on na pas à se préoccuper de la similitude des nombres plans car les facteurs communs ont été simplifiés. Il suffit de considérer deux nombres positifs m et n tels que m > n. Relation dEuclide Ainsi, en posant m = 3 et n = 2, on trouve : 13 2 = Remarques On remarque de plus quen posant n = 1 dans la relation dEuclide, on obtient la relation de Platon et en divisant celle de Platon par 4, on obtient celle de Pythagore.

14 Pour les pythagoriciens, les produits de nombres représentaient des aires de rectangles et les nombres carrés représentaient des aires de carrés. Théorème de Pythagore La relation entre les carrés des nombres est donc la manifestation dune relation entre les aires des carrés construits sur les côtés dun triangle rectangle. Cette propriété nous est connue sous lappellation Théorème de Pythagore.

15 Si les pythagoriciens disposaient dune démonstration générale de ce théorème, elle était probablement basée sur le fait que laire dun parallélogramme est égale à laire du rectangle ayant même base et même hauteur. Aire dun parallélogramme Si, à partir des extrémités dun côté du parallélogramme, on trace des perpendiculaires au côté parallèle à celui choisi, on forme des triangles égaux. Il est alors simple de montrer que laire du parallélogramme est égale à celle du rectangle de même base et de même hauteur. Remarque Dans lillustration, nous avons choisi un côté horizontal pour tracer les perpendiculaires au côté parallèle, mais cela nest pas obligatoire.

16 Théorème de Pythagore Laire du carré construit sur lhypoténuse dun triangle rectangle est égale à la somme des aires des carrés construits sur les côtés de langle droit. Démonstration du théorème Voyons comment, on peut démontrer ce résultat par les aires de parallélogrammes. Considérons un triangle rectangle et les carrés construits sur les côtés. Du sommet A du triangle, abaissons une perpendiculaire à lhypoténuse et prolongeons cette perpendiculaire jusquà sa rencontre avec le côté opposé du carré construit sur lhypoténuse. La perpendiculaire abaissée divise le carré construit sur lhypoténuse en deux rectangles. Ceux-ci ont même aire que les parallélogrammes dont les côtés sont parallèles aux côtés de langle droit du triangle rectangle. On peut déplacer ces paral- lélogrammes par translation pour en faire coïncider les côtés avec ceux du triangle. Laire demeure constante. Ces parallélogrammes ont même aire que les carrés construits sur les côtés de langle droit. Ce qui complète la démonstration.

17 Il est à remarquer que le rapport 7/4, pour les grecs, nest pas un nombre. Cest une qualité quont en commun les deux segments. Commensurabilité Inversons le problème. Si deux segments quelconques GH et IJ sont donnés, peut-on toujours trouver un segment qui soit commune mesure de GH et IJ? Cest à-dire, peut-on trouver un segment KL de telle sorte quil soit possible de reporter un nombre entier de fois la longueur de KL sur les segments GH et IJ? Cest loin dêtre évident, mais les pythagoriciens croyaient que oui. Pour eux, les segments de droites sont formés de parties indivisibles, les points, dont le nombre peut être indéterminé mais le rapport des segments, qui est le reflet du nombre de ces points, peut être connu.

18 Les pythagoriciens étaient convaincus quils étaient constitués de grains indivisibles. Cette conviction les a encouragés à poursuivre leurs recherches pour expliciter le rapport des segments de figures géométriques sous forme de proportions. Pour eux, la connaissance de lunivers passe par la découverte du rapport entre les grandeurs des figures géométriques. Cette quête était assez exigeante mais les nombreux résultats de proportionnalité de figures semblables semblaient entériner leur conviction. Commensurabilité Ce qui se profile derrière le postulat de la commensurabilité, cest la structure même de la matière et du temps. La matière et le temps sont-ils constitués de grains indivisibles, ou, au contraire, sont-ils continus et infiniment divisibles?

19 Les recherches des pythagoriciens pour déterminer le rapport de la diagonale du carré et de son côté, ont connu une conclusion qui a sapé les fondements de leur conception de lunivers. Diagonale et côté du carré En effet, ils ont découvert quil est impossible dexprimer le rapport de la diagonale et du côté du carré comme quotient de nombres entiers. Cette découverte serait lœuvre du pythagoricien Hippasus de Métaponte vers 430 av. J.-C. Pour les pythagoriciens qui avaient la conviction que toutes les grandeurs sont commensurables, cela était un dur coup. Deux parties importantes de leur enseignement, la commensurabilité des grandeurs de même nature et le théorème de Pythagore se révélaient incompatibles à lintérieur dun simple carré.

20 Raisonnement dHippasus En supposant que la diagonale et le côté sont commensurables, leurs longueurs sexpriment par des nombres entiers dans lunité de la plus grande commune mesure des deux segments. Les entiers mesu- rant la diagonale et le côté sont donc les plus petits possibles, cest-à-dire que ces nombres nont pas de facteur commun. Puisque laire du carré AEFC est le double de laire du carré ABCD, laire du carré AEFC est donnée par un nombre pair (ce qui signifie pour Hippasus quil comporte un nombre pair de points mais cela nest pas indispensable ici).

21 Cependant, le carré dun nombre impair ne peut jamais donner un nombre pair. La longueur de la diagonale est donc donnée par un nombre pair. Raisonnement dHippasus Puisque le carré dun nombre pair est divisible par 4, laire du carré AEFC est divisible par 4. Cette aire étant le double de celle du carré ABCD, laire du carré ABCD est également donnée par un nombre pair. Par conséquent, la longueur du côté du carré ABCD est également donnée par un nombre pair. La diagonale et le côté du carré ont donc un facteur commun. Cela contredit le fait que les nombres nont pas de facteur commun.

22 Raisonnement dHippasus Cette contradiction vient de lhypothèse selon laquelle la diagonale et le côté du carré ont une commune mesure. Il faut donc rejeter cette hypothèse. La dia- gonale et le côté du carré sont donc incommensurables. Cette démonstration a eu un impact majeur sur la philosophie pythagoricienne. Cela signifie quil existe des grandeurs non commensurables, et pas nimporte quelles longueurs, la diagonale et le côté du carré, des grandeurs qui pourtant sont reliées par le théorème de Pythagore. De plus, cest la première démonstration par labsurde dans lhistoire. Ce nest pas la dernière.

23 Létude des rapports et proportions entreprise par les pythagoriciens sest révélée pleine de surprises. Ils ont démontré plusieurs propriétés des figures géométriques mais, ils ont également découvert quil est impossible dexprimer le rapport de la diagonale et du côté du carré comme rapport de deux nombres entiers. Conclusion Tant quils navaient pas réussi à déterminer un tel rapport, il pouvaient garder espoir. Si on ne réussit pas à exprimer le rapport de deux longueurs comme quotient de deux entiers on ne peut pas pour autant conclure que ce rapport est impossible. Pour tirer une telle conclusion, il faut démontrer que cela est effectivement impossible, ce qui est beaucoup plus exigeant. Cest ce que Hippasus a fait pour le rapport de la diagonale du carré à son côté.

24 Cette découverte a porté un dur coup aux pythagoriciens, car elle détruisait le fondement de leur conception de lunivers. Ils nen ont pas nécessairement vu les implications tout de suite. Pour être convaincu par une démonstration, il faut prendre le temps dy réfléchir, de la critiquer, de voir si elle na pas de faille. Une fois convaincu, il fallait faire un choix entre le théorème de Pythagore, qui avait fait lobjet dune démonstration, et le postulat de la constitution granulaire de la matière et du temps. Le théorème a survécu. Conclusion Par sa démonstration, Hippasus a introduit une nouvelle façon de sassurer de la cohérence de la connaissance, la démonstration par labsurde. Lorsquune hypothèse entraîne une contradiction avec un résultat préalablement démontré, il faut rejeter lhypothèse.

25 La théorie des proportions qui ne pouvait plus se fonder sur la commensurabilité a été formulée autrement par Eudoxe de Cnide (408 à 355 av. J.-C) qui fut élève de Platon (vers av. J.-C.) et du pythagoricien Archytas de Tarente (vers 430 av. J.-C.). Conclusion Les travaux dEudoxe ont été repris et complétés par Euclide avec qui la théorie des proportions se dégage complètement du postulat de la commensurabilité. Ce postulat avait cependant permis de développer un impressionnant corpus de connaissances qui a été préservé en utilisant dautres fondements. Mais alors, quadvient-il de tous les résultats de proportionnalité obtenus à partir de ce postulat?

26 Bibliographie Ball, W. W. R. A Short Account of History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc.,1960, 522 p. Boulger, William, Pythagoras meets Fibonacci, Matematics Teacher, April 1989 Boyer, Carl B. A History of Mathematics, New York, John Wiley & Sons, 1968, 717 p. Collette, Jean-Paul. Histoire des mathématiques, Montréal, Éditions du Renouveau Pédagogique Inc., 1979, 2 vol., 587 p. Cuomo, S. Ancient Mathematics, London and New York, Routledge, Taylor and Francis Group, 2001, 290 p. Davis, Philip J, Hersh, Reuben, Marchisotto, Elena Anne. The Mathematical Experience, Study edition, Boston, Birkhäuser, 1995, 485 p. Dunham, William. The Mathematical Universe, New York, John Wiley & Sons, Inc., 1994, 314 p. Duvillé, Bernard, Sur les traces de lHomo mathematicus, Les mathématiques avant Euclide, Paris, Ellipses Éditions Marketing, S.A., 1999, 461 p. Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics, New-York, Holt Rinehart and Winston, 1976, 588 p.

27 Bibliographie Fowler, D.H. The Mathematics of Platos Academy, a New Reconstruction, Oxford, Oxford University Press, 1990, 401 p. Guedj, Denis, Le Théorème du Perroquet, Paris, Éditions du Seuil, 1998, 520 p. Kline, Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, New York, Oxford University Press, 1972, 1238 p. Kramer, Edna E. The Nature and Growth of Modern Mathematics, New York, Hawthorn Books, Inc. Publishers, 1970, 758 p. Smith, David Eugene. History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc. 1958, 2 vol p. Struik, David. A Concise History of Mathematics, New York, Dover Publications, Inc. 1967, 195 p. Vitrac, Bernard, Euclide, Les éléments, quatre volumes, traduits du texte de I.L.Heiber, Presses Universitaires de France, Paris, 1990, 1994, 1998, Fin


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