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1 Didactique des mathématiques : la théorie des situations didactiques (G. Brousseau) Maggy Schneider Université de Liège.

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1 1 Didactique des mathématiques : la théorie des situations didactiques (G. Brousseau) Maggy Schneider Université de Liège

2 2 La TSD : un réseau de quatre concepts Situation adidactique Situation adidactique Dévolution et institutionnalisation Dévolution et institutionnalisation Dialectique daction, de formulation, de validation Dialectique daction, de formulation, de validation Milieu adidactique Milieu adidactique Contrat didactique Contrat didactique Effet « Topaze » Effet « Topaze » Effet « Jourdain » Effet « Jourdain » Obstacles Obstacles Epistémologiques et didactiques Epistémologiques et didactiques Ontogéniques Ontogéniques (Psychologiques) (Psychologiques)

3 3 Situation et milieu adidactiques Examen des exemples originels : Exemple des feuilles de papier Exemple des feuilles de papier Exemple de lagrandissement dun puzzle Exemple de lagrandissement dun puzzle

4 4 Les feuilles de papier : situation adidactique dintroduction aux fractions-mesures « Vous allez essayer dinventer un moyen pour désigner et reconnaître des différents types de papier et pour les distinguer, seulement daprès leur épaisseur. Vous êtes groupés par équipes concurrentes. Dès que vous aurez trouvé un moyen de désigner les épaisseurs de feuilles, vous lessaierez dans un jeu de communication » 5 tas denviron 200 feuilles de meme format, meme couleur, mais dépaisseurs différentes 5 tas denviron 200 feuilles de meme format, meme couleur, mais dépaisseurs différentes Groupes « émetteurs » et groupes « récepteurs » séparés par un écran Groupes « émetteurs » et groupes « récepteurs » séparés par un écran Pied à coulisse ou double- décimètres Pied à coulisse ou double- décimètres Élèves qui ne connaissent pas les nombres fractionnaires Élèves qui ne connaissent pas les nombres fractionnaires

5 5 Les feuilles de papier : situation adidactique dintroduction aux fractions-mesures Désarroi devant limpossibilité de mesurer une feuille Désarroi devant limpossibilité de mesurer une feuille Idée de prendre plusieurs feuilles et premiers messages: p.ex. « 52 feuilles; 7 mm » Idée de prendre plusieurs feuilles et premiers messages: p.ex. « 52 feuilles; 7 mm » Difficultés, disputes, preuves pragmatiques Difficultés, disputes, preuves pragmatiques Réfutation intellectuelle de certains messages et émergence dun modèle mathématique Réfutation intellectuelle de certains messages et émergence dun modèle mathématique

6 6 Les feuilles de papier : situation adidactique dintroduction aux fractions-mesures 19 feuilles; 3 mm : type A et 19 feuilles; 3 mm : type B 19 feuilles; 3 mm : type A et 19 feuilles; 3 mm : type B Ca ne va pas car, si les feuilles sont de types différents, à un meme nombre de feuilles doivent correspondre des épaisseurs différentes 30 feuilles; 2 mm : type C et 30 feuilles; 3 mm : type C 30 feuilles; 2 mm : type C et 30 feuilles; 3 mm : type C Ca ne va pas car, pour un meme type de feuilles, au meme nombre de feuilles correspond la meme épaisseur 30 feuilles; 3 mm : type C et 15 feuilles; 1 mm : type C 30 feuilles; 3 mm : type C et 15 feuilles; 1 mm : type C Ca ne va pas car, sil y a 2 fois plus de feuilles, lépaisseur est 2 fois plus grande 19 feuilles; 3mm : type C et 20 feuilles; 4 mm : type C 19 feuilles; 3mm : type C et 20 feuilles; 4 mm : type C Ca ne va pas parce quune feuille ne peut pas mesurer 1 mm

7 7 Les feuilles de papier : situation adidactique dintroduction aux fractions-mesures Modèle des couples équivalents et classement des couples appartenant à une même classe déquivalence Modèle des couples équivalents et classement des couples appartenant à une même classe déquivalence Introduction, par le professeur, dune notation et dune terminologie en tant que conventions sociales : Introduction, par le professeur, dune notation et dune terminologie en tant que conventions sociales : Type C : (50, 4) (25, 2) 4/50 = 2/25 « 4 mm pour 50 feuilles » ou « 4 cinquantièmes de mm par feuille »

8 8 Agrandissement dun puzzle : situation adidactique des rationnels en tant quopérateurs linéaires « Voici des puzzles. Vous allez en fabriquer de semblables, plus grands que les modèles, en respectant la règle suivante : le segment qui mesure 4 cm sur le modèle devra mesurer 7 cm sur votre reproduction. Je donne un puzzle par équipe de 5 ou 6, mais chaque élève fait au moins 1 pièce ou un groupe de 2 en fait 2. Lorsque vous aurez fini, vous devez pouvoir reconstituer les mêmes figures quavec le modèle »

9 9 Agrandissement dun puzzle : situation adidactique des rationnels en tant quopérateurs linéaires Premières stratégies calquées sur le modèle additif : de 4 à 7, on ajoute 3. Donc, on ajoute 3 à toutes les dimensions Premières stratégies calquées sur le modèle additif : de 4 à 7, on ajoute 3. Donc, on ajoute 3 à toutes les dimensions Autres idées : Autres idées : 4 7 = 2 x = 2 x = 2 x Mais, dans la classe, le modèle additif simpose Les morceaux ne se recollent pas : accusations, disputes, tricheries Les morceaux ne se recollent pas : accusations, disputes, tricheries

10 10 Agrandissement dun puzzle : situation adidactique des rationnels en tant quopérateurs linéaires Interventions du professeur : attire lattention sur un puzzle particulier et propose de compléter un tableau numérique

11 11 Agrandissement dun puzzle : situation adidactique des rationnels en tant quopérateurs linéaires Mise en cause progressive du modèle additif et émergence du modèle linéaire Mise en cause progressive du modèle additif et émergence du modèle linéaire = = = 9 et pourtant , alors que 6 = ! Si 4 devient 7, alors 8 doit devenir 14 et 12 = doit devenir Limage de 1 : Limage de 1 : « Il faudrait limage de 1; oui, ça permettrait de trouver toutes les autres. Pour cela, il faut partager 4 en 4 parties, il faut diviser 7 en 4 aussi » Correction de lajout : Correction de lajout : / / /4 (a + a.3/4= 7a/4)

12 12 Les situations adidactiques « Situations à loccasion desquelles le professeur peut abdiquer de son intention denseigner pour fonder lapprentissage de lélève sur une confrontation des actions de celui-ci avec un milieu. Pour un temps, la question, le problème ne sont plus ceux du professeur, mais ceux de lélève. Cest le processus de dévolution. » (G. Brousseau)

13 13 Les situations adidactiques et le milieu Cest lexistence dun milieu adidactique qui permet la dévolution. Grâce au milieu, le professeur peut ne « pas vendre la mèche », ce qui nempêche pas quil puisse injecter des idées Le milieu a des facettes diverses : « matérielles », sociales, cognitives : la situation et ses variables didactiques (impossibilité de mesurer lépaisseur dune feuille de papier, dimensions des pièces du puzzle, idée intuitive dagrandissement, échanges entre élèves, interventions du professeur qui renvoient au milieu sans dénaturer le sens de la situation, connaissances antérieures qui vont faire obstacle, …)

14 14 Dialectiques daction, de formulation, de validation Grâce au milieu, les situations adidactiques enclenchent lune ou plusieurs des dialectiques daction, de formulation ou de validation Une dialectique daction Une dialectique daction Succession dinteractions entre lélève et le milieu (théorèmes en acte de Vergnaud) Une dialectique de formulation Une dialectique de formulation mise au point dun langage intelligible par autrui et qui explicite les modes daction (situations de « communication »)

15 15 Dialectiques daction, de formulation, de validation Dialectique de validation Dialectique de validation « Lélève doit établir la validité dune assertion, il doit sadresser en tant que sujet susceptible daccepter ou de refuser ses assertions, de lui demander dadministrer des preuves de ce quil avance, de lui opposer dautres assertions » (G. Brousseau) Il existe plusieurs types de validation : pragmatique, empirique, syntaxique. Lexpérience permet aussi « dinvalider »

16 16 Institutionnalisation Le processus dinstitutionnalisation fait pendant au processus de dévolution : Le processus dinstitutionnalisation fait pendant au processus de dévolution : « Quelquun dextérieur vient pointer dans les activités de lélève celles qui ont un intérêt, un statut culturel » Les situations adidactiques sinscrivent donc résolument dans une perspective de transmission dun savoir jugé important par la société Les situations adidactiques sinscrivent donc résolument dans une perspective de transmission dun savoir jugé important par la société Linstitutionnalisation suppose la décontextualisation du savoir et la dépersonnalisation Linstitutionnalisation suppose la décontextualisation du savoir et la dépersonnalisation

17 17 Décontextualisation, dépersonnalisation Décontextualisation Décontextualisation Situation des feuilles de papier conjuguée avec dautres situations : distinguer des clous de poids différents, des baguettes de différentes longueurs, des verres de diverses capacités, … létalon étant à chaque fois trop grand pour mesurer une entité Dépersonnalisation Dépersonnalisation Changer les élèves déquipes : il ny a que les stratégies qui sont « perdantes » ou « gagnantes »

18 18 Les situations-problèmes quon rencontre sur le terrain sont-elles des situations adidactiques ? Cela dépend Examen de quelques exemples : cas de similitude des triangles cas de similitude des triangles dérivée dérivée pentagones pentagones equilaterville equilaterville ombres ombres Il existe une « vulgate » des situations-problèmes

19 19 Quelques caractéristiques des situations adidactiques Elles visent lacquisition dun savoir mathématique et celui-ci constitue la réponse optimale à la question posée et aux questions de même type (décontextualisation) Elles visent lacquisition dun savoir mathématique et celui-ci constitue la réponse optimale à la question posée et aux questions de même type (décontextualisation) Il y a une vraie question et les élèves peuvent comprendre a priori la question dévolue et commencer à agir avec leurs propres connaissances Il y a une vraie question et les élèves peuvent comprendre a priori la question dévolue et commencer à agir avec leurs propres connaissances Lenjeu majeur est la mise à lépreuve de ces connaissances, leurs limites et les intuitions délèves, fausses mais persistantes Lenjeu majeur est la mise à lépreuve de ces connaissances, leurs limites et les intuitions délèves, fausses mais persistantes

20 20 Quelques caractéristiques des situations adidactiques La solution optimale au problème « peut être trouvée et prouvée par quelques élèves dans un temps raisonnable dans une classe ordinaire et très vite partagée et vérifiée par les autres » La solution optimale au problème « peut être trouvée et prouvée par quelques élèves dans un temps raisonnable dans une classe ordinaire et très vite partagée et vérifiée par les autres » (processus collectif et non entraînement individuel à la compétence de résolution de problèmes; dépersonna- lisation) Les élèves peuvent constater deux-mêmes, grâce au milieu, le succès ou léchec des stratégies quils proposent par tentatives successives mais lanticipation doit être favorisée Les élèves peuvent constater deux-mêmes, grâce au milieu, le succès ou léchec des stratégies quils proposent par tentatives successives mais lanticipation doit être favorisée

21 21 Deux caractéristiques séparables Situations adidactiques : Caractère fondamental qui peut être aussi celui dun exposé introductif mettant en évidence les « raisons dêtre du savoir » Caractère fondamental qui peut être aussi celui dun exposé introductif mettant en évidence les « raisons dêtre du savoir » Existence dun milieu adidactique qui va permettre la dévolution Existence dun milieu adidactique qui va permettre la dévolution

22 22 Situation fondamentale Caractère fondamental dune situation adidactique : le savoir visé apporte une réponse optimale à la question posée et aux questions du même type « Chaque connaissance peut se caractériser par une (ou des) situation adidactique qui en préserve le sens et que nous appelerons situation fondamentale » (Brousseau)

23 23 Situation fondamentale Le caractère fondamental dune situation doit primer sur dautres critères si lon cherche une quelconque « autonomie » des élèves : - Caractère concret (vie de tous les jours, nature, …) - Caractère concret (vie de tous les jours, nature, …) - Occasion de modélisation - Côté « œuf de Colomb » (obstacles psychologiques) - Possibilité de « faire voir » aux élèves

24 24 La TSD se distingue des idéologies inhérentes aux programmes : Une pédagogie de la recherche (programmes FESeC); caractéristiques dune situation dapprentissage : Elle constitue un défi, suscite un étonnement, crée une surprise, Elle invite lélève à faire quelque chose (compter - faire un dessin - calculer - couper …), Elle laisse à lélève une certaine liberté quant au choix de sa méthode et de ses conjectures et met en œuvre sa créativité Elle est issue du terrain de lélève Elle met en œuvre une réflexion qui dépasse lutilisation immédiate de résultats antérieurs Elle permet de rencontrer plusieurs notions différentes Elle conduit lélève à rédiger sa démarche, son raisonnement

25 25 Situation fondamentale La conception ou lanalyse de situations adidactiques ayant un caractère fondamental suppose une analyse a priori épistémologique et didactique : distinguer ce qui relève du prévisible, du nécessaire et du contingent Exemple des fractions dont les sens sont multiples : mesures, opérateurs de similitude, partages, recherche dune commune mesure entre deux grandeurs, nombres

26 26 Situation fondamentale Trouve un prolongement dans la modélisation de lactivité mathématique en termes de praxéologies : Tâche, technique, technologie, théorie où la tâche est dictée par les « vraies raisons dêtre » du savoir mathématique (TAD dY. Chevallard)

27 27 Situation fondamentale « […] on est parfois tenté de considérer que, dans la théorie des situations, la notion de situation fondamentale sert, avant tout, à décrire et à fabriquer des situations denseignement […]. On oublie alors que cette notion constitue - aussi et surtout - linstrument-clé que propose cette théorie pour caractériser les connaissances mathématiques » (M. Bosch et Y. Chevallard)

28 28 TSD et non TSA Les situations adidactiques sont un dispositif « extrême » qui permet de mettre en évidence des phénomènes dapprentissage et denseignement susceptibles, à leur tour, de comprendre le fonctionnement de situations didactiques


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