Journée du 6 janvier 2006 « Si 12 boves depascant 3 1/3 jugera prati in 4 septimanis ; et 21 boves depascant 10 jugera consimilis prati in 9 septimanis.

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1 Journée du 6 janvier 2006 « Si 12 boves depascant 3 1/3 jugera prati in 4 septimanis ; et 21 boves depascant 10 jugera consimilis prati in 9 septimanis ; quæritur quot boves despacant 24 jugera in 18 septimanis ? » Isaac Newton, Arithmetica universalis (1707) « Résolution de problèmes concrets » Quel niveau de culture pour la fin du collège ?

2 Résolution de problèmes : Quel niveau de culture pour la fin du collège ? niveau de culture programme socle … savoirs savoir-faire connaissances compétences… bagage niveau de culture finalités objectifs exigibles curriculum

3 Résolution de problèmes : Quel niveau de culture pour la fin du collège ? niveau de culture programme savoirs savoir-faire connaissances compétences… bagage niveau de culture finalités objectifs curriculum socle … exigibles

4 Résolution de problèmes : Quel niveau de culture pour la fin du collège ? niveau de culture programme savoirs savoir-faire connaissances compétences… bagage niveau de culture finalités objectifs exigibles socle … curriculum

5 Résolution de problèmes : Quel niveau de culture pour la fin du collège ? niveau de culture programme savoirs savoir-faire connaissances compétences… bagage niveau de culture finalités objectifs curriculum socle … exigibles socle commun socle fondamental socle des fondamentaux socle fondamental des connaissances

6 Résolution de problèmes : Quel niveau de culture pour la fin du collège ? niveau de culture programme savoirs savoir-faire connaissances compétences… bagage niveau de culture finalités objectifs curriculum socle … exigibles socle commun socle fondamental socle des fondamentaux socle fondamental des connaissances

7 Résolution de problèmes : Quel niveau de culture pour la fin du collège ? niveau de culture programme savoirs savoir-faire connaissances compétences… capacités niveau de culture finalités objectifs curriculum socle … exigibles socle commun socle fondamental socle des fondamentaux socle fondamental des connaissances Instruction … Education …

8 Résolution de problèmes : Quel niveau de culture pour la fin du collège ? niveau de culture programme savoirs savoir-faire connaissances compétences… bagage niveau de culture finalités objectifs curriculum socle … exigibles

9 Résolution de problèmes : Quel niveau de culture pour la fin du collège ? niveau de culture programme savoirs savoir-faire connaissances compétences… bagage niveau de culture finalités objectifs curriculum socle … exigibles

10 Résolution de problèmes : Quel niveau de culture pour la fin du collège ? niveau de culture programme savoirs savoir-faire connaissances compétences… bagage niveau de culture finalités objectifs curriculum socle … exigibles

11 Résolution de problèmes : Quel niveau de culture pour la fin du collège ? niveau de culture programme savoirs savoir-faire connaissances compétences… bagage niveau de culture finalités objectifs curriculum socle … exigibles compétences transversales… compétences mathématiques…

12 Résolution de problèmes : Quel niveau de culture pour la fin du collège ? niveau de culture programme savoirs savoir-faire connaissances compétences… bagage niveau de culture finalités objectifs curriculum socle … exigibles compétences transversales… compétences mathématiques…

13 « Ce que lélève doit emporter de lécole avec le petit bagage de notions pratiques déterminées par la loi, cest un ensemble de facultés exercées, un esprit juste, un cœur droit, […]. Mais ce qui reste des études bien faites, cest un jugement éclairé et sain, un cœur ouvert aux sentiments élevés, lamour du travail et des vertus domestiques, force et sauvegarde des familles et des nations. » (1882)

14 « A loccasion de la fête nationale, un bureau de bienfaisance a réparti 125 fr entre les vieillards, puis fourni aux nécessiteux 275 pains … » (Cours moyen 1921) « Une jeune fille dont la mère était malade ne sest pas couchée du lundi matin 4 heures au mercredi minuit … » (Cours moyen 1921) « Un ménage douvriers laborieux a dépensé 172 fr par mois. Le père na que 120 fr dappointements par mois ; mais la mère, en prenant soin de sa maison a gagné encore 50 fr par mois ; et une jeune fille, qui a travaillé 25 jours dans ce mois, … » (1887) Hier :

15 « Pour faire de la boisson, une personne a acheté 5 kg. de raisin sec à 0 fr. 40 le kg., 2 kg. 5 de pommes tapées à 0 fr. 70 le kg.. Et 0 kg. 8 de genièvre à 0 fr. 55 le kg. Cette personne ayant mis 100 litres deau dans son tonneau, à combien lui revient le litre de cette boisson ? » (1887) « Un ouvrier consomme tous les jours de leau de vie pour 0fr25, il dépense en outre 1fr75 au cabaret tous les dimanches, mais sa femme et ses enfants sont presque nus. Il leur suffirait dune somme de 72fr pour se vêtir convenablement. Combien de jours cet ouvrier mettrait-il à économiser cette somme en sabstenant de liqueurs alcooliques ? » (1920)

16 Aujourdhui : Lors des élections de délégués, Anne, Bernard et Carole ont obtenu respectivement 12, 8 et 11 voix. Sachant que 2 élèves ont mis des bulletins nuls, calcule le pourcentage des voix obtenues par chacun des candidats. On estime quune hirondelle détruit 50 chenilles par jour. On considère que chaque couple dhirondelles a 8 petits dont 2 ne survivent pas. Evalue le nombre de chenilles qui pourraient être détruites par 5 couples et leurs petits pendant un jour, puis pendant un mois de 30 jours.

17 Résolution de problèmes : Quel niveau de culture pour la fin du collège ? niveau de culture programme savoirs savoir-faire connaissances compétences… bagage niveau de culture finalités objectifs curriculum socle … exigibles compétences transversales… compétences mathématiques…

18 Résolution de problèmes : Quel niveau de culture pour la fin du collège ? niveau de culture programme savoirs savoir-faire connaissances compétences… bagage niveau de culture finalités objectifs curriculum socle … exigibles compétences transversales… compétences mathématiques…

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20 Résolution de problèmes : Quel niveau de culture pour la fin du collège ? niveau de culture programme savoirs savoir-faire connaissances compétences… bagage niveau de culture finalités objectifs curriculum socle … exigibles compétences transversales… compétences mathématiques…

21 Résolution de problèmes : Quel niveau de culture pour la fin du collège ? niveau de culture programme savoirs savoir-faire connaissances compétences… bagage niveau de culture finalités objectifs curriculum socle … exigibles

22 Résolution de problèmes : Quel niveau de culture pour la fin du collège ? niveau de culture programme savoirs savoir-faire connaissances compétences… niveau de culture finalités objectifs curriculum bagage socle … exigibles

23 … / …

24 1. La proportionnalité De la règle de trois à la linéarité 2. Algébrisation : Inconnues, indéterminées et variables 3. Dialectiques… Les deux voies : concret / abstrait

25 « … partout le souci de marquer que lenseignement doit être concret, simple, progressif. Cest sur des faits quil faut sappuyer, et cest à des faits quil faut appliquer le calcul et les idées … » (1882) « La plupart de nos élèves devront, dès quils nous aurons quittés, gagner leur vie par leur travail et nous voulons les munir des connaissances pratiques qui, dès demain, leur serviront dans leur métier. » (1923)

26 1895

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28 8 7 72 …

29 1895 35 435 28,40 …

30 7 roses coûtent 11,90 euros, combien coûtent 5 roses ? Une automobile a parcouru 223 km en 2 h 30 mn, a)combien aurait-elle parcouru, à la même vitesse, en 3 h 10 mn ? b)Combien lui faudrait-il de temps pour parcourir 400 km ? Jai obtenu une note de 15,5 points sur un total de 23. A quelle note sur 20 correspond ce résultat ?

31 1682. Bertrand-François Barrême (1638-1703)

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35 7 roses coûtent 11,90 euros, combien coûtent 5 roses ? « … multipliez seulement les deux derniers nombres ensembles … … et divisez ce qui viendra par le premier … »

36 Euclide, Livre I, Proposition 43 : Dans tout parallélogramme, les compléments des parallélogrammes, autour de la diagonale, sont égaux entre eux. R B A C R x C B x A

37 x C = B.A x x = C x.C = B.A x C = B A x x = B x C

38 La question du sens : 7 roses coûtent 11,90 euros, combien coûtent 5 roses ? Le retour à lunité : Prix dune rose euros 7 11,90 Prix de 5 roses 5 x euros 7 11,90 « Jai obtenu une note de 15,5 points sur un total de 23. A quelle note sur 20 correspond ce résultat ? » Mais…

39 La question du sens : Lutilisation dune fraction : a) Je sais que je dois modifier 15,5 en le multipliant par une fraction obtenue avec les deux autres nombres : Résultat cherché = x 15,5 … … Jai obtenu une note de 15,5 points sur un total de 23. A quelle note sur 20 correspond ce résultat ? b) Jai le choix entre 20/23 et 23/20 … mais comme jaurai moins sur 20 que sur 23, je choisis celle qui est inférieure à 1 Donc : Résultat cherché = x 15,5 23 20

40 La question du sens : formalisme des proportions : 1895 fractions et pourcentages : A B = C D x B = C D x = B x C D

41 La question du sens : tableau de proportionnalité : déterminant… 35 435 28,40 … 17,32 …

42 Importance de la croix ? … Produit en croix : Preuve par neuf : 7 2 5 … Fausse position 1557 Croix des mélanges 7 13 9 … …

43 importance des unités …

44 x C = 5 x 11,90 x… = 7

45 x C = 5 roses x 11,90 euros x… euros = 7 roses x euros = x 11,90 euros x C = 5 7

46 x C = 5 roses x 11,90 euros x… euros = 7 roses x euros = x 11,90 euros x C = 5 7 Prix unitaire : euros / roses 7 11,90 Prix de 5 roses : 5 x 7 11,90

47 x C = 5 roses x 11,90 euros x… euros = 7 roses x euros = x 11,90 euros x C = 5 7 Prix unitaire : euros / roses 7 11,90 Prix de 5 roses : 5 x 7 11,90 7 5 … 15 … euros roses 7 11,90 5 … 15 …

48 x C = 5 roses x 11,90 euros x… euros = 7 roses 7 roses x x euros = 5 roses x 11,90 euros x C = 5 roses x 11,90 euros X x euros = 7 roses

49 1. La proportionnalité De la règle de trois à la linéarité 2. Algébrisation : Inconnues, indéterminées et variables 3. Dialectiques… Les deux voies : concret / abstrait

50 1895 x + (x + 3,65) = 13,85 x + (x + 180) = 6340

51 7 ? 5 6 2 … … … 8 … … … … … 101

52 7 ? 5 6 2 … … 11 8 … … 19 … … 101

53 7 x 5 6 2 … … 11 8 … … 19 … … 101

54 « Larithmétique ne marche jamais que du connu à linconnu ; lalgèbre, au contraire, marche souvent de linconnu au connu, de sorte que, de quelque manière quelle arrive à une conclusion ou équation, elle peut toujours parvenir à la connaissance de la quantité inconnue. Cest par ce moyen quon résout des problèmes très difficiles, dont on eût vainement cherché la solution par larithmétique seule. » Newton, 1707

55 « Une couturière fabrique des chemises à 14,50 fr pièce et des pantalons à 23,10 fr pièce. Cette semaine elle a touché 217 fr, en ayant fabriqué 12 pièces en tout. Combien a-t-elle fabriqué de chemises et de pantalons ? » « Une tirelire contient 240 euros sous forme de billets de dix ou de cinq euros. Sachant quelle contient 31 billets, combien contient-elle de billets de chaque sorte ? » Solution raisonnée : Solution algébrique : Si les 31 billets étaient des billets de 10 euros, il y aurait 310 euros, Cest-à-dire 310 – 240 = 70 euros de plus, Il faut donc changer 70/5 = 14 billets de 10 en billets de 5. Soit x le nombre de billets de 10 euros, et y le nombre de billets de 5, on a : x + y = 31 10x + 5y = 240 {

56 Digression : La méthode de « fausse position »

57 Arithmeticae praticae methodus facilis per Gemmam Frisium (1557)

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59 « Trouver un nombre tel que si on soustrait les 2/3 de ce nombre, il reste 3/4. » x – x = 2 3 3 4 (1 – )x = 2 3 3 4 « si x = 6, le premier membre vaut 2 … x = 1 3 3 4 … « donc 6 donne 2, alors combien faut-il pour obtenir ? … 3 4 « … je fais une règle de trois. »

60 x x + 7 13 La différence des longueurs des côtés de langle droit dun triangle rectangle est 7 cm et lhypoténuse mesure 13 cm. Quels sont ces côtés ? x 2 + (x + 7) 2 = 169 x 2 + 7x – 60 = 0 (x – 5)(x + 12) = 0 (x – 5)(x + m) = 0

61 … / …

62 Les fonctions de type : y = ax 7 10,50 15 22,50 25 37,50 y x5 7,50 … … x y ƒ( x) = ƒ(x) x ax a

63 x y y = x 3 2 y = – x 2 3 – 5 (– 5) x ( – ) = 5 x 2 3 2 3 fonctions de type : y = ax et équations de droites

64 x y y = a x + b fonctions de type : y = ax + b et équations de droites

65 Exercices dapplication …

66 Une poule et demie pondent un œuf et demi en un jour et demi. Combien neuf poules pondent-elles en neuf jours ? Exercices dapplication : A.Le nombre dœufs pondus par une poule et demie est proportionnel au nombre de jours: 9 1 1 1,5 9 jours œufs 1 6 54 1,5 9 9poules œufs B.Le nombre dœufs pondus en neuf jours est proportionnel au nombre de poules :

67 Une poule et demie pondent un œuf et demi en un jour et demi. Combien neuf poules pondent-elles en neuf jours ? Exercices dapplication : Etude fonctionnelle : Le nombre dœufs pondus pendant une certaine période est une fonction linéaire du nombre de poules : N = P Le nombre dœufs pondus par une poule est une fonction linéaire du nombre de jours : N = P = ( J) P = (J P) Comme on a : 1,5 = (1,5 1,5) il vient : = 2/3 Donc : N = (2/3) (J P) = (2/3) (9 9) = 54 = (J P) = ( J) P

68 Si un écrivain peut, en 8 jours, écrire 15 feuilles, combien faudra-il décrivains pour en écrire 405 en 9 jours ? Newton, Arithmétique universelle, 1707. Exercices dapplication : Etude fonctionnelle : Le nombre de pages dépend de façon bilinéaire du nombre de jours et du nombre décrivains : N = J E Comme on a : 15 = 8 1 il vient : = 15/8 Donc : N = (15/8) J E Donc ici : 405 = (15/8) 9 E

69 Exercices dapplication : Douze bœufs paissent lherbe de 3 arpents 1/3 en 4 semaines ; 21 bœufs paissent celle de 10 arpents en 9 semaines ; on demande combien il faudra de bœufs pour manger lherbe de 24 arpents en 18 semaines. Newton, Arithmétique universelle, 1707. On a trois prés dune qualité égale, et dans lesquels on suppose que lherbe croît uniformément. Le premier b peut nourrir un nombre de bœufs a pendant le temps c ; le second e peut nourrir un nombre de bœufs d pendant le temps f ; on demande combien le troisième g peut nourrir pendant le temps h. Réponse : bdfgh – acegh – bcdgf + acefg befh bceh

70 « 12 bœufs paissent lherbe de 3 arpents 1/3 en 4 semaines… » « 36 bœufs paissent lherbe de 10 arpents 4 semaines… » 3 arpents 1/3 12 bœufs

71 1895 durée distance

72 1895

73 1. La proportionnalité De la règle de trois à la linéarité 2. Algébrisation : Inconnues, indéterminées et variables 3. Dialectiques… Les deux voies : concret / abstrait

74 …les maths modernes « En fait, c'est bien là qu'est demandée aux maîtres une mutation radicale, qui exigera d'eux de grands efforts de vigilance, de surveillance d'eux-mêmes, une véritable conversion intellectuelle. Car les naturels ne sont plus liés à la mesure des objets du monde physique et, surtout, les opérations sur les naturels ne sont plus tirées des opérations sur les "grandeurs" du monde physique ou de l'univers quotidien telles que longueurs, poids, prix, capacités. » « La multiplication est une opération commutative. Les Instructions de 1945 parlent en plusieurs endroits de "nombres concrets". Cette expression, qui est proprement antinomique, car un nombre ne saurait être concret, a porté grand tort à la commutativité de la multiplication. Il n'y a pas à distinguer multiplicande et multiplicateur ; si on les distingue souvent, c'est parce qu'on pense plus à ces "nombres concrets", 3 sacs de 7 oranges, 15 barriques de 228 litres, qu'à des nombres. L'emploi de ces mots ne se justifie pas. »

75 « […] lacquisition des techniques (numération, opérations sur les nombres,…) nest pas abandonnée. Mais la notion de nombre gagnera à être préparée par des rudiments de grammaire des ensembles et de logique. Les enfants sauront compter et calculer plus tard peut-être que ne limposent les programmes actuels, mais ils le sauront mieux. » APMEP. Charte de Chambéry, octobre 1968 Exemples : importance des structures, mise de laccent sur les divers ensembles de nombres, leur définition et leurs filiations : N, Z, D, Q, R, C, définition de la soustraction et de la division de manière entièrement littérale : « a divisé par b » est le nombre x tel que : b x x = a « On dispose dune planche de 85 cm et on veut faire 6 étagères de même longueur, comment faut-il couper la planche ?

76 Ferdinand Buisson. Dictionnaire de pédagogie et dinstruction primaire, 1887

77 Contre-réforme de 1985 « … La pulsion empiriste, […] se traduit […] par une poussée vigoureuse du numérique, par léparpillement et lévanouissement de lapprentissage des outils algébriques, par linsistance naïve sur le concret, et par le recours constamment réaffirmé à des activités dont lenseignement cherchera, à bon droit, mais fréquemment en vain, la substance. » La recherche dont nous rapportons ici quelques étapes vise précisément à accomplir ce travail de renoncement à ce qui est mort et bien mort : car il est des morts qu'il faut encore tuer. […] Le mot d'ordre est ici celui de la modélisation mathématique… »

78 … / …

79 Inspection générale 2004

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81 Retour aux problèmes … Retour aux nombres concrets… Retour aux grandeurs… « […] la modélisation dune situation de la vie courante, par exemple par un système déquations […] correspond au passage du cadre des grandeurs au cadre numérique. Ce type de passage, ainsi que le retour au cadre et à la situation de départ, présentent des difficultés importantes pour les élèves […] » Les enjeux du travail sur les grandeurs. Document daccompagnement du nouveau programme de 3ème Exemple : calculer le volume dun réservoir parallélépipédique de 2,3 m de longueur, 57 mm de hauteur et 2,5 cm de largeur : V = 2,3 m x 57 mm x 2,5 cm = 2,3 (100 cm) x 57 (0,1 cm) x 2,5 cm V = 230 cm x 5,7 cm x 2,5 cm = 3277,5 cm3 « Cest en effet une théorie mathématique des unités (et des grandeurs) qui fait actuellement défaut dans la culture de lenseignement des mathématiques (et des sciences physiques aussi bien). »

82 … / …

83 La recherche dont nous rapportons ici quelques étapes vise précisément à accomplir ce travail de renoncement à ce qui est mort et bien mort : car il est des morts qu'il faut encore tuer. […] Le mot d'ordre est ici celui de la modélisation mathématique… »

84 « Jai 23 billes dont 7 sont bleues. Les autres billes sont noires Combien ai-je de billes noires ? » « Reprenons le problème selon le schéma de la modélisation. » « Le système étudié lensemble des billes que je possède est décrit par trois variables : le nombre total de billes, le nombre de billes bleues, le nombre de billes noires. Les valeurs de ces paramètres définissent un état du système. Nombre de problèmes, élémentaires ou non, sont alors, à linstar de celui-ci, du type suivant : connaissant les valeurs de certaines variables, trouver les valeurs des autres variables. La connaissance de ces dernières valeurs sobtient par la considération des relations qui gouvernent lensemble des variables. »

85 « Létablissement du modèle fait appel ici à un outil général de la physique, lanalyse dimensionnelle. En posant que la période T est donnée par une égalité de la forme T = M x L y P z ƒ(A), on obtient le système des trois relations x + z = 0 ; y + z = 0 ; – 2z = 1, qui, avec légalité de départ et la relation générale P = Mg, constitue un modèle du système. » « Un travail mathématique élémentaire sur ce modèle brut conduit à la relation fondamentale T = ƒ(A) L/g. Etc. » « Ce à quoi lon sintéresse […], cest la période T du pendule ; celle-ci devrait pouvoir sexprimer en fonction des variables précédentes uniquement. » « Le cas du pendule simple » « En regardant attentivement le mouvement du pendule […] on peut se convaincre que si les frottements sont négligeables, les seules grandeurs caractéristiques du problème sont […] le poids P, la masse M, la longueur L et langle A du pendule par rapport à la verticale. »

86 « 7 roses coûtent 11,90 euros, combien coûtent 5 roses ? » « Reprenons le problème selon le schéma de la modélisation : En considérant attentivement le problème on peut se convaincre que les seules grandeurs caractéristiques sont le prix connu P, le nombre N de roses initiales et le nombre N de roses finales. Ce à quoi lon sintéresse devrait pouvoir sexprimer en fonction des variables précédentes uniquement et se traduire par une expression de la forme : P x N y (N) z. Faisons appel à lanalyse dimensionnelle… »

87 … / …

88 « Damien a la grippe. Pour le soulager, sa grand-mère lui fait une infusion. Pour cela, elle mélange 20 grammes de romarin qui coûte 0,02 euros le gramme avec 3 feuilles de menthe de son jardin pesant 9,6 grammes. Quel est le prix du romarin ? »

89 Poids total du romarin : 20 g Nombre total De feuilles de menthe : 3 Poids total des feuilles de menthe : 9,6 g Prix dun gramme de romarin : 0,02

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91 Quel est le prix du romarin ?

92 Jeudi matin, Madame Loiseau fait son marché. Elle veut faire plaisir à ses trois enfants. Chez le marchand de fruits, elle achète pour Clément 1,5 kg de fraises à 4,88 le kilo. Chez le marchand de vêtements, elle achète pour Fanny un pantalon à 37,96 et pour Clotilde, un pull-over brodé à 22,79. Question 1 : quelle somme dépense-t-elle pour faire plaisir à Clément ?

93 Jeudi matin, Madame Loiseau fait son marché. Elle veut faire plaisir à ses trois enfants. Chez le marchand de fruits, elle achète pour Clément 1,5 kg de fraises à 4,88 le kilo. Chez le marchand de vêtements, elle achète pour Fanny un pantalon à 37,96 et pour Clotilde, un pull-over brodé à 22,79. Question 1 : quelle somme dépense-t-elle pour faire plaisir à Clément ? Question 2 : que dépense-t-elle chez le marchand de vêtements ?

94 Typologie fondée sur la « forme » du tableau : Importance capitale des unités échiquier ligne : addition - soustraction échiquier colonne : multiplication - division(s) « Douze bœufs paissent lherbe de 3 arpents 1/3 en 4 semaines ; 21 bœufs paissent celle de 10 arpents en 9 semaines ; on demande combien il faudra de bœufs pour manger lherbe de 24 arpents en 18 semaines. » On sintéresse à la quantité dherbe fournie par chaque pré : La mesure de cette production est ici faite dans lunité : Bœuf x Semaine (BS) Exemples : le premier pré fournit en 4 semaines : 12 x 4 = 48 BS dherbe, le second pré fournit en 9 semaines : 21 x 9 = 189 BS dherbe…

95 « Des élèves décident de fabriquer et de vendre des gâteaux. Pour chacun ils utilisent 250 g de farine à 0,90 le kg, 250 g de sucre à 1,20 le kg, 250 g de beurre à 3,95 le kg et 4 œufs à 1,50 la douzaine. Le premier lundi, ils vendent 12 gâteaux de 8 parts chacun au prix de 0,75 la part. Ces élèves voudraient tirer un bénéfice dau moins 300. Sils continuent à vendre autant de gâteaux chaque lundi, pendant combien de semaines doivent-ils poursuivre cette opération ? »

96 Le cas des problèmes de proportionnalité « A la coopérative, un paquet de 6 cahiers coûte 7,20. Kevin veut en acheter quatre. Quelle sera sa dépense ? » « 12 bœufs paissent lherbe de 3 arpents 1/3 en 4 semaines… » « 36 bœufs paissent lherbe de 10 arpents 4 semaines… »

97 Avril 13

98 Conclusion ?…

99 Ferdinand Buisson. Dictionnaire de pédagogie et dinstruction primaire, 1887

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101 « Cependant larithmétique est tellement indispensable dans toutes les opérations de lalgèbre, que leur réunion seule forme la science du calcul. » Newton, 1707 « Larithmétique ne marche jamais que du connu à linconnu ; lalgèbre, au contraire, marche souvent de linconnu au connu, de sorte que, de quelque manière quelle arrive à une conclusion ou équation, elle peut toujours parvenir à la connaissance de la quantité inconnue. Cest par ce moyen quon résout des problèmes très difficiles, dont on eût vainement cherché la solution par larithmétique seule. » Newton, 1707

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103 … / …

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