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Simulation distribuée et continue. Simulation distribuée et simulation continue2 Simulation distribuée (Section 1.6; LAW & KELTON, 90) Des processeurs.

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1 Simulation distribuée et continue

2 Simulation distribuée et simulation continue2 Simulation distribuée (Section 1.6; LAW & KELTON, 90) Des processeurs spécialisés sacquittent de fonctions spécialisées. Décomposition du modèle en plusieurs sous-modèles lesquels sont assignés à des processeurs différents. Les processeurs communiquent entre eux à laide dun système de messagerie. Cela permet de synchroniser lensemble des opérations du modèle. Une autre approche est telle que les processeurs sont autonomes ou encore, les sous-modèles sont indépendants (File dattente M/M/s ou s files M/M/1). La réception dun message par un sous-modèle où linstant courant du récepteur > linstant courant du transmetteur entraîne la reprise dune partie de la simulation propre à ce sous-modèle.

3 Simulation distribuée et simulation continue3 Simulation continue Il sagit de modéliser un système dont létat change continûment en fonction du temps. Le modèle est représenté en général par un système déquations différentielles à valeurs initiales. Elle est très utilisée dans tous les domaines : physique, chimie, biologie, génie, informatique, sociologie, économie, gestion, etc. Langages spécialisés en simulation continue: ACSL, CSSL-IV, DYNAMO, CSMP, DSL/VS, etc. Langages de simulation à événements discrets possédant des outils permettant la simulation continue : SIMAN, SIMSCRIPT II.5, SLAM II.

4 Simulation distribuée et simulation continue4 Résolution numérique déquations différentielles à valeurs initiales On cherche une approximation à la solution y(t) du problème: y'(t) = dy/dt (t) = f(t, y(t)),a t b y (a) = y 0 En général, y(t) = (y 1 (t),..., y n (t)) est un vecteur qui désigne létat du système. Note:- En pratique, on ne peut pas calculer y(t) pour tout t. - On choisit un maillage de points t 0 < t 1 <... < t N sur [a, b]. - On calcule pour tout t i, une approximation W i de y(t i ). - Maillage régulier:h = (b - a)/N(le pas dintégration) t i = a + i h Il existe plusieurs façons dobtenir les W i.

5 Simulation distribuée et simulation continue5 Résolution numérique déquations différentielles à valeurs initiales La plus simple est:LA MÉTHODE DEULER. - On suppose quon connaît y(t i ) (approximé par W i ) et on veut approximer y(t i + 1 ). - On se base sur la formule de TAYLOR: y(t i + 1 ) = y(t i ) + h y ' (t i ) + h 2 /2 y '' (t i + i h)(avec 0 < i < 1) ERREUR y(t i ) + h f(t i, y (t i ))car h est très petit. LOCALE ERREUR W i + h f(t i, y(t i )) =W i +1 GLOBALE On pose W 0 := y 0 et on évalue W i + 1 := W i + h f(t i, W i )pour tout i = 1, 2, 3,...

6 Simulation distribuée et simulation continue6 Résolution numérique déquations différentielles à valeurs initiales

7 Simulation distribuée et simulation continue7 Algorithme (méthode d EULER) Lire les paramètres a, b, N et y 0 ; h = (b - a)/N;//h = pas dintégration t = a;//t = instant courant w = y 0 ;//w = approximation de y(t) Écrire la valeur de (t, w); for (i = 1; i <= N; i++) { w = w + h * f (t, w); t = a + i h; Écrire (t, w) } Note :-Si N est assez grand, on suppose que lerreur est négligeable. -La méthode dEULER est simple, mais faible numériquement.

8 Simulation distribuée et simulation continue8 Un système proie-prédateur exemple Il y a 2 types danimaux : les proies sont la nourriture des prédateurs. x(t) : # proies au temps t y(t) : # prédateurs au temps t Le modèle est le suivant : x'(t)= taux de variation du nombre de proies = r x(t) - c x(t) y(t) y'(t)= taux de variation du # de prédateurs = - s y(t) + d x(t) y(t) Taux de croissance naturel en labsence de prédateurs Taux de mortalité dû à la prédation Taux dextinction naturel Taux de croissance dû à la prédation

9 Simulation distribuée et simulation continue9 Un système proie-prédateur exemple La population initiale est x(0) = x 0 > 0 et y(0) = y 0 > 0. Il sagit dun système (déterministe) discret approximé par un modèle continu. Il est possible de le résoudre analytiquement: toutes les solutions (x(t), y(t)) pour x 0 0, y 0 0 sont périodiques autour du point (x, y) (s/d, r/c). Note : Il existe plusieurs raffinements possibles:plusieurs espèces, perturbations aléatoires, etc. Paramètres dentrée : r = 0.005s = 0.01c = d = x 0 = 2000 y 0 = 150 durée de la simulation = 5000

10 Simulation distribuée et simulation continue10 Un système proie-prédateur exemple (N = 1000)

11 Simulation distribuée et simulation continue11 Un système proie-prédateur exemple (N = 1000)

12 Simulation distribuée et simulation continue12 Un système proie-prédateur exemple (N = )

13 Simulation distribuée et simulation continue13 Un système proie-prédateur exemple (N = )

14 Simulation distribuée et simulation continue14 Exemple : N = (x0, y0) = (2000, 150) et (2000, 300) (2000, 500)

15 Simulation distribuée et simulation continue15 Résolution numérique déquations différentielles à valeurs initiales La méthode dEuler nest pas très efficace. Il faut trouver mieux. La méthode dEuler est basée sur la formule de Taylor en retenant 2 termes seulement. Une approche consisterait à utiliser n > 2 termes. MÉTHODE DE TAYLOR DORDRE n y(t i+1 ) y(t i ) + h y'(t i ) + h 2 /2 y''(t i ) + … + h n /n! y (n) (t i ) w i + h f(t i, w i ) + h 2 /2 f'(t i, w i ) + … + h n /n! f (n-1) (t i, w i ) où y'(t) = dy/dt (t) = f(t, y(t)). Pour n > 2, nous avons en général une meilleure approximation quavec la méthode dEuler, pourvu que la dérivée || f (n) || soit suffisamment petite en valeur absolue. Toutefois, il faut connaître les dérivées de f dordre 1 à n-1, ce qui nest pas le cas en pratique. Les méthodes les plus utilisées nexigent que des évaluations de f et non de sa dérivée.

16 Simulation distribuée et simulation continue16 Évaluation de fonctions On veut évaluer MÉTHODE SIMPLISTE [GORDON, p. 40] Tirer des couples (X, Y) dans ce rectangle où X : U[ a, b ], Y : U[ 0, c ] Estimer I comme suit: III I = p. c. (b - a)où E[I] = I un estimateur sans biais et Var [I] élevée.

17 Simulation distribuée et simulation continue17 Méthode suggérée par Law & Kelton Soient X : U[a, b], Z : g(X), 1˚)Générer X 1, X 2,..., X n i.i.d. U(a, b) 2˚)Y i = (b - a) g(X i ) etE[Y] = I et LA SIMULATION (MONTE-CARLO) EST SOUVENT LE SEUL RECOURS. Intégrales simples: Il existe des méthodes numériques plus efficaces que la simulation. Intégrales multiples :


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