La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Relations métriques dans le triangle rectangle. Les relations métriques sont des relations qui expriment des liens entre diverses grandeurs dune figure.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Relations métriques dans le triangle rectangle. Les relations métriques sont des relations qui expriment des liens entre diverses grandeurs dune figure."— Transcription de la présentation:

1 Relations métriques dans le triangle rectangle

2 Les relations métriques sont des relations qui expriment des liens entre diverses grandeurs dune figure géométrique. Le triangle rectangle a toujours été un objet de fascination en géométrie. Cest sans doute à cause des nombreuses relations quon peut y découvrir. La plupart peuvent être prouvées à partir des théorèmes de similitude des triangles. La plus célèbre de ces relations est celle de Pythagore. Mais, ce nest pas la seule…

3 La hauteur issue de langle droit dun triangle rectangle forme trois triangles semblables. AffirmationsJustifications Le CDB et le CDA sont rectangles. Une hauteur est un segment abaissé dun sommet perpendiculairement sur le côté opposé. B C D A h

4 Séparons le et le CBD CBA. C A BB C D A h B C D 1) CDB ~ = BCA 3) CBD ~ CBA AffirmationsJustifications 1) Ce sont deux angles droits. 2) B ~ = B 2) Angle commun aux deux triangles. 3) Propriété AA.

5 B C D A h B C A C A D Séparons le et le CAD CBA. 1) BCA ~ = CDA 3) CBA ~ CDA AffirmationsJustifications 1) Ce sont deux angles droits. 2) A ~ = A 2) Angle commun aux deux triangles. 3) Propriété AA.

6 B C D A h B C D C A D AffirmationsJustifications CBD ~ CBA et CBA ~ CDA donc CBD ~ CDA Par la transitivité de la relation de similitude.

7 h c d h À partir de ces cas de similitude des triangles, on peut poser quelques proportions. b e c d B C D A h a B C D c h a = C A D b d h Prenons les deux petits triangles; C A D b d h Faisons subir une rotation de 90 0 au triangle CDA. En utilisant les rapports des côtés homologues, posons la proportion suivante: En multipliant les extrèmes entre eux et les moyens entre eux, on obtient: h 2 = cd

8 Replaçons les triangles à leur place. b e c d B C D A h a h c d h = h 2 = cd La mesure de la hauteur issue de langle droit est moyenne proportionnelle entre les mesures des deux segments quelle détermine sur lhypoténuse.

9 a c e a B C D c h a Ba C b A e Comparons le triangle CBD et le triangle CBA. b e B C A a = En utilisant les rapports des côtés homologues, posons la proportion suivante: a 2 = ce

10 b e B C A a Replaçons les triangles. a c e a a 2 = ce = c D

11 C A D b d h Comparons le triangle CBA et le triangle CDA. b e B C A a = En utilisant les rapports des côtés homologues, posons la proportion suivante: b d e b B e a C b A b 2 = de

12 Replaçons les triangles. b e B C A a b d e b b 2 = de = D h d

13 b e c d B C D A h a a 2 = ce a c e a = b 2 = de b d e b = La mesure de chaque cathète est moyenne proportionnelle à sa projection sur lhypoténuse et celle de lhypoténuse entière.

14 Le produit des cathètes est égal au produit de la hauteur par lhypoténuse. b B C A h a On peut calculer laire de ce triangle de deux façons: A = a X b 2 ou A = e X h 2 Comme les deux formules donnent la même aire, on peut poser: A = A donc a X b = e X h a X b 2 e X h 2 = ab = eh b a h e e e e

15 En résumé, e c a b e d c d h h 2 = cd ab = eh a 2 = ceb 2 = de e h a b

16 B A D C Sachant m AD = 15 cm et m BD = 9 cm, trouve m DC. Problème 1 ( m AD ) 2 = m BD X m DC 15 2 = 9 X m DC 225 = 9 X m DC = m DC225 9 = m DC 25 m DC = 25 cm 15 9 ?

17 Problème 2 B A D C Sachant m BD = 9 cm et m DC = 16 cm, trouve m AD. ( m AD ) 2 = m BD X m DC m AD = 12 cm ( m AD ) 2 = 9 X 16 ( m AD ) 2 = et -12 à rejeter ( m AD ) = 144= 9 16 ?

18 B C D A Sachant m BC = 6 cm, m DC = 4,8 cm et m CA = 8, trouve m AB. 6 4,8 8 m BCXm CA=m CDXm AB 6 X 8 = 4,8 X m AB 48 = 4,8 10 = m AB = 10 cm m AB 48 = 4,8 X ?

19 A C D B Sachant m BA = 12 cm et m BD = 9 cm, trouve m CB ( m CB ) 2 = m BD X m BA m CB 10,39 cm ( m CB ) 2 = 9 X 12 ( m CB ) 2 = ,39 et -10,39 ( m CB ) = 108 à rejeter ?

20 4 m 2,3 m 1,5 m On veut connaître la hauteur du cabanon illustré ci-contre. Les seules mesures dont on dispose sont reportées sur la figure ci-contre. Quelle est la hauteur maximale de ce cabanon ? 1)Reportons la mesure de 4 m à la base du triangle. 4 m 2) Simplifions le dessin en ne considérant que le triangle. 1,5 m 4 m a b c

21 3) Calculons la cathète manquante à laide de la relation de Pythagore. a = c 2 – b 2 a = 4 2 – 1,5 2 a = 16 – 2,25a = 13,75 3,71 m 1,5 m a b c 4 m

22 ab = ch 3,71 X 1,5 4 X h 5,565 4 X h 4 5, 565 h 1,39 h h 1,39 m 4) Utiliser la relation: 3,71 m 1,5 m 4 m a b c h

23 1,5 m 4 m On pourrait aussi utiliser cette relation: h b c x b 2 = xc 1,5 2 = x. 4 2,25 = x. 4 0,5625 = x puis utiliser la relation de Pythagore: h = b 2 – x 2 h = 1,5 2 – 0, h 1,39 m

24 4 m 2,3 m 1,5 m 4 m 1,39 m 4) Additionner les 2 hauteurs: 2,3 + 1,39 3,69 m Réponse: 3,69 m

25 Les relations métriques que nous venons daborder sont très utiles pour déterminer des mesures de segments à lintérieur des triangles rectangles. Pour bien choisir la bonne relation, il faut être capable de déterminer les segments homologues. Pour taider, utilise les angles homologues car les côtés homologues font face à ces angles homologues. La relation de Pythagore, le triangle rectangle possédant un angle de 30 0, le triangle rectangle isocèle, etc., sont autant daxiomes te permettant de déduire des mesures dans ce type de triangle. Pour pouvoir utiliser ces 4 relations, il y a deux conditions à respecter : - le triangle doit être rectangle ; - la hauteur doit être issue de langle de 90 0.


Télécharger ppt "Relations métriques dans le triangle rectangle. Les relations métriques sont des relations qui expriment des liens entre diverses grandeurs dune figure."

Présentations similaires


Annonces Google