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Congrès Dédra-MATH-isons Louvain-la-Neuve Congrès Dédra-MATH-isons Louvain-la-Neuve Présentation Laurent Annaert, François Rottenberg et Alexis Dubois.

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1 Congrès Dédra-MATH-isons Louvain-la-Neuve Congrès Dédra-MATH-isons Louvain-la-Neuve Présentation Laurent Annaert, François Rottenberg et Alexis Dubois pour le Collège Saint-Michel (Bruxelles) Sous la direction de M. Bolly

2 CONTENU 1. Introduction et présentation du problème 2. Premiers calculs et premières observations 3. Etude de la suite 4. Méthodes du point fixe 5. Preuve de la convergence de la suite 6. Conclusion

3 1. Introduction et présentation du problème Avec la touche ^ et un nombre a, on peut fabriquer une suite de nombres de la forme... Croyez-nous, en prenant différentes valeurs positives de a, on observe des choses étonnantes! Avec la touche ^ et un nombre a, on peut fabriquer une suite de nombres de la forme... Croyez-nous, en prenant différentes valeurs positives de a, on observe des choses étonnantes!

4 2. Premiers calculs et premières observations Essais avec quelques valeurs entières : Essais avec quelques valeurs entières : a = 2 a = 3a = ,62. 10^121,34.10^ Ma ERROR 4 7 … inf.

5 Essais avec valeurs décimales Essais avec valeurs décimales a = 0,5 a = 0,25 a = 0,1 0 0,50,250,1 1 0,7071…0, , ,6125…0, , ,654…0, , , , , , , , ,60,100 0, ,5...0, … 0, ,5...0,399...

6 Approximation dune valeur de a limite : Approximation dune valeur de a limite : a = 1,4 a = 1,4142 = a = 1,4422 = a = 1,5 0 1,41,41421,44221,5 1 1, , , , , , , , , , , , ,20,60,100 1, ,478 1,4. 10^15 … 1, ,478inf.

7 Conjectures Valeur pivot entre 1,4 et 1,5 Valeur pivot entre 1,4 et 1,5 Si o < a < 1,44.. Convergence vers une constante Si o < a < 1,44.. Convergence vers une constante Si a > 1,44.. Divergence, suite tendant vers linfini Si a > 1,44.. Divergence, suite tendant vers linfini

8 3. Etude de la suite : 3.1. première approche : Ecriture générale de la suite : Ecriture générale de la suite : Condition de convergence : Condition de convergence : Doù, équation du type : Doù, équation du type :

9 Etude graphique de léquation : Etude graphique de léquation : A) Cas trivial : a = 1, une solution : x =1

10 B) Pour 0 < a < 1 : exponentielle décroissante, une solution une solution

11 C) Pour 1 < a < 1,44 : exponentielle croissante, deux solutions deux solutions

12 D) Pour a = 1,44 : exponentielle croissante tangente à x, une solution D) Pour a = 1,44 : exponentielle croissante tangente à x, une solution

13 E) Pour a > 1,44, exponentielle croissante, aucune solution

14 Premières conclusions Premières conclusions Si 0 < a < 1,44.., une solution à léquation. Si 0 < a < 1,44.., une solution à léquation. Si 1 < a < 1,44.., 2 solutions. Si 1 < a < 1,44.., 2 solutions. Si a = 1,44…, une solution. Si a = 1,44…, une solution. Si a > 1,44.., aucune solution. Donc, aucune convergence possible pour un a supérieur au point pivot. Si a > 1,44.., aucune solution. Donc, aucune convergence possible pour un a supérieur au point pivot. NB : 1 solution à léquation est une condition nécessaire mais pas suffisante de la convergence

15 3.2. Etudes périphériques

16 1) Premier problème auxiliaire :

17 Conclusion de cette étude de fonction Abscisse : solutions de léquation. Abscisse : solutions de léquation. Ordonnée : valeurs de a possibles pour quil y ait une ou plusieurs solutions. Ordonnée : valeurs de a possibles pour quil y ait une ou plusieurs solutions. Valeur du point pivot = maximum de la fonction = Valeur du point pivot = maximum de la fonction = Si 0 < a <, il y a toujours au moins une solution (soit une en bleu, soit deux en mauve soit 1 en rouge sur le graphe). Si 0 < a <, il y a toujours au moins une solution (soit une en bleu, soit deux en mauve soit 1 en rouge sur le graphe). Si a est plus grand que le point pivot, aucune solution. Si a est plus grand que le point pivot, aucune solution.

18 Vérification de la valeur du point pivot : Vérification de la valeur du point pivot : Lorsque a =, tangent au graphe de x Lorsque a =, tangent au graphe de x

19 Nous avons donc une double équation :

20 2) Second problème auxiliaire : Si 0 < a < 1 :

21 Si 1 < a < :

22 Si a = :

23 Si < a :

24 4. Méthode du point fixe Formule générale : Formule générale : ex : racines de : ex : racines de : Simple factorisation ne peut fonctionner car Simple factorisation ne peut fonctionner car elle nécessite une racine. Méthode du point fixe : Méthode du point fixe :

25 On approxime la racine à 0,7 et on remplace dans léquation : On approxime la racine à 0,7 et on remplace dans léquation : Et on recommence lopération avec le résultat obtenu : Et on recommence lopération avec le résultat obtenu : Différence entre chaque terme de la suite est de plus en plus petite : On se rapproche de la racine On se rapproche de la racine

26 Ne fonctionne pas dans tous les cas de figure ! Lalgorithme doit converger ! Ne fonctionne pas dans tous les cas de figure ! Lalgorithme doit converger ! Si lalgorithme diverge, la méthode nous éloignera de la racine. Si lalgorithme diverge, la méthode nous éloignera de la racine. Ex : si léquation était : On séloigne de la racine, lalgorithme diverge. On séloigne de la racine, lalgorithme diverge.

27 Suite qui diverge. Suite qui diverge. Suite qui piétine. En effectuant la méthode du point fixe, on tourne en rond. Suite qui piétine. En effectuant la méthode du point fixe, on tourne en rond.

28 Pour que la suite converge, il faut sassurer quaux alentours de la racine : Pour que la suite converge, il faut sassurer quaux alentours de la racine : Par ailleurs, la méthode du point fixe peut expliquer un autre phénomène de la suite : Par ailleurs, la méthode du point fixe peut expliquer un autre phénomène de la suite : Le fait que la suite oscille entre 0 et 1 et le fait que la suite est monotone entre 1 et.

29 a = 0,5 0 0,5 1 0,7071… 2 0,6125… 3 0,654… 4 0, , , …

30 a = 1,4 0 1,4 1 1,6016… 2 1,7141… 3 1,7802… 4 1,8203… 5 1,8450… 20 1, …

31 5. Preuve de convergence de la suite Par la méthode du point fixe, convergence si : Par la méthode du point fixe, convergence si : Si, la convergence est facile à prouver. Si, la convergence est facile à prouver.

32 Si 0 < a < 1 : Si 0 < a < 1 : toujours vérifié. toujours vérifié. toujours vérifié ? toujours vérifié ?

33 La suite ne converge donc pas si La suite ne converge donc pas si Attention, cela ne signifie pas que pour ces valeurs de a, na pas de solutions Attention, cela ne signifie pas que pour ces valeurs de a, na pas de solutions Cela signifie que la suite oscille puis piétine et donc ne se stabilise jamais vers une valeur. Cela signifie que la suite oscille puis piétine et donc ne se stabilise jamais vers une valeur. Ex: si a = 0,05 na = 0,05n 0 0, , , , , , , , , , , , Divergence. Pourtant, 0,3502 vérifie léquation :

34 6) Conclusion : Si, la suite diverge puis piétine. Si, la suite diverge puis piétine. Si, converge et est oscillante. Si, converge et est oscillante. Si, la suite converge. Si, la suite converge. Si, la suite converge et est monotone. Si, la suite converge et est monotone. Si, la suite diverge. Si, la suite diverge.

35 Sources Calculus « A complete course », Robert A. Adams, sixth edition; Calculus « A complete course », Robert A. Adams, sixth edition; NUMERICAL METHODS WITH FORTRAN IV CASE STUDIES, William S.Dorn, Daniel D.McCracken; NUMERICAL METHODS WITH FORTRAN IV CASE STUDIES, William S.Dorn, Daniel D.McCracken; Syllabi de M. Bolly, professeur à Saint-Michel; Syllabi de M. Bolly, professeur à Saint-Michel; Cours de Mme Lambotte, professeur à Saint- Michel. Cours de Mme Lambotte, professeur à Saint- Michel.


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