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La loi des sinus A B C c b a a sin A b sin B c sin C = = Remarque: Cette loi est utile dans les triangles quelconques.

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1 La loi des sinus A B C c b a a sin A b sin B c sin C = = Remarque: Cette loi est utile dans les triangles quelconques.

2 Construisons un triangle quelconque et nommons-le ABC. A B C c b a h D Dans le triangle ABC : - posons c pour représenter le côté en face de langle C, - posons a pour représenter le côté en face de langle A. Traçons la hauteur BD ( h ). Cette hauteur crée deux triangles rectangles, le triangle BDA et le triangle BDC. Dans le triangle BDA, on a : sin A = h c Isolons h : c sin A = h Dans le triangle BDC, on a : sin C = h a Isolons h : a sin C = h a sin C = c sin A Divisons les deux membres de l'équation par sin A sin C a sin A c sin C = - posons b pour représenter le côté en face de langle B, a sin C sin A sin C c sin A sin A sin C = En utilisant le méthode de comparaison, on obtient : et simplifions.

3 Cette hauteur crée deux triangles rectangles, le triangle AEB et le triangle AEC. Dans le triangle AEB, on a : sin B = k c Maintenant, traçons la hauteur AE ( k ). a A B C c b k E Isolons k : c sin B = k Dans le triangle AEC, on a : sin C = k b Isolons k : b sin C = k b sin C = c sin B Divisons les deux membres de l'équation par sin B sin C En utilisant le méthode de comparaison, on obtient : b sin C = sin B sin C c sin B sin B sin C b sin B c sin C = Si a sin A c sin C = et que b sin B c sin C = alors a sin A c sin C = b sin B = et simplifions.

4 La loi des sinus s'utilise quand les trois conditions ci-dessous sont réunies: - la mesure dun angle - la mesure du côté opposé à cet angle - la mesure dun autre élément du triangle Remarque: Pour établir la proportion, on associe langle avec le côté qui lui fait face. A B C a

5 Exemple 1: On cherche la mesure de langle B. Remarque :On utilise seulement une partie de la relation en fonction de linformation fournie; ainsi, la proportion sélectionnée sert doutil de travail. b sin B c sin C = 4 sin B 5 sin 76 0 = sin B 5 4 X 0,9702 alors sin -1 0, m B 51 0 sin B 0, , sin B x A B C 5 m 4 m X 0, X sin B

6 Exemple 1: On cherche la mesure de langle B. alors sin -1 0, m B ,7762 x A B C 5 m 4 m ) sin Bsin C = m AC m AB On pourrait aussi procéder ainsi: m AB = m ACX sin C sin B = 4 X sin sin B Avec la calculatrice:4 sin76 0 ÷ 5

7 Exemple 2 : On cherche la mesure du coté BC. 1 ) m A = ,1 m BC 4,1 m 2 ) 51 0 A B C 5 m 4 m 76 0 La somme des mesures des angles intérieurs dun triangle = sin Asin B = m BCm AC sin sin 51 0 = m BC 0, ,7771 m BC X 0, X 0,7986 m BC 0,79864 X 0,7771 = m BC

8 Exemple 2 : On cherche la mesure du coté BC. 1 ) m A = 53 0 m BC 4,1 m 2 ) 51 0 A B C 5 m 4 m 76 0 La somme des mesures des angles intérieurs dun triangle = sin Asin B = m BC m AC On pourrait aussi procéder ainsi: m BC = m ACX sin A sin B m BC = 4 X sin 53 0 sin 51 0 Avec la calculatrice: 4 sin 53 ÷ sin 51 4,1

9 40 0 D F E 85,5 125 Exemple 3 : On cherche la mesure de langle F. 85,5 sin sin F = sin F = 125 sin ,5 = 125 X 0, ,5 0, 9398 sin F = 0,9398m F 70 0 ? ? Langle F ne peut pas mesurer 70 0 car langle F est un angle obtus. Il faut prendre son supplément soit La calculatrice répond à la règle suivante: sin θ = sin ( – θ ) sin -1 0, Alors, regarde attentivement la sorte de triangle avant de répondre.


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