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JEAN-MARC GINOUX BRUNO ROSSETTO JEAN-MARC GINOUX BRUNO ROSSETTO

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Présentation au sujet: "JEAN-MARC GINOUX BRUNO ROSSETTO JEAN-MARC GINOUX BRUNO ROSSETTO"— Transcription de la présentation:

1 JEAN-MARC GINOUX BRUNO ROSSETTO JEAN-MARC GINOUX BRUNO ROSSETTO Laboratoire PROTEE, I.U.T. de Toulon Laboratoire PROTEE, I.U.T. de Toulon Université du Sud, B.P , 83957, LA GARDE Cedex, France SÉRIES

2 G.E.I.I.Séries2 A. Séries Numériques 1. Définitions 2. Condition nécessaire de convergence 3. Série géométrique B. Séries à termes positifs 1. Théorèmes de comparaison 2. Règle de Cauchy 3. Règle de d'Alembert 4. Comparaison avec une intégrale 5. Série de Riemann PLAN

3 G.E.I.I.Séries3 C. Séries à termes de signes quelconques 1. Convergence absolue 2. Semi-convergence 3. Séries alternées D. Séries de fonctions 1. Convergence simple et uniforme 2. Propriétés PLAN

4 G.E.I.I.Séries4 A. Séries Numériques 1. Définition Soit la suite (U n ). On appelle série de terme général U n la suite des sommes partielles S n : Si (S n ) admet une limite finie S, Si (S n ) admet une limite finie S, on dit que la série est convergente et a pour somme : Si (S n ) n'admet pas de limite ou une limite infinie, Si (S n ) n'admet pas de limite ou une limite infinie, on dit que la série est divergente A.Séries Numériques - Convergence

5 G.E.I.I.Séries5 2. Condition nécessaire de convergence Pour qu'une série converge il faut que son terme général U n tende vers 0 quand En effet, si la série converge et admettent une limite lorsque Cette condition n'est pas suffisante ! Cette condition n'est pas suffisante ! Sa réciproque est fausse ! Sa réciproque est fausse ! La contraposée de cette condition permet de démontrer la divergence d'une série. A.Séries Numériques - Convergence

6 G.E.I.I.Séries6 Ex 1 : Soit la série de terme général appelée série harmonique. Son terme général tend bien vers 0 lorsque Supposons la quantité : Soit, Or si la série convergeait tendrait vers une limite S lorsque et il en serait de même pour et alors ce qui est en contradiction avec donc la série diverge ! A.Séries Numériques - Convergence

7 G.E.I.I.Séries7 3. Série géométrique Soit la série de terme général si si On vérifie que : la série converge la série converge la série diverge la série diverge A.Séries Numériques - Convergence

8 G.E.I.I.Séries8 B. Séries à termes positifs 1. Théorèmes de comparaison Théorème 1 : Soit et deux séries à termes positifs tels que à partir d'un certain rang. à partir d'un certain rang. Si converge alors converge Si converge alors converge Si diverge alors diverge Si diverge alors diverge B. Séries à termes positifs – Convergence

9 G.E.I.I.Séries9 Théorème 2 : Soit et deux séries à termes positifs telles que i.e., lorsque i.e., lorsque Alors les séries et sont de même nature, i.e., toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes B. Séries à termes positifs – Convergence

10 G.E.I.I.Séries10 2. Règle de Cauchy Soit une série à terme positifs et soit Si à partir d'un certain rang L< 1 Si à partir d'un certain rang L< 1 Alors la série est convergente Si à partir d'un certain rang L> 1 Si à partir d'un certain rang L> 1 Alors la série est divergente Si L=1, on ne peut conclure à l'aide du critère de Cauchy B. Séries à termes positifs – Convergence

11 G.E.I.I.Séries11 3. Règle de d'Alembert Soit une série à terme positifs et soit Si à partir d'un certain rang L< 1 Si à partir d'un certain rang L< 1 Alors la série est convergente Si à partir d'un certain rang L> 1 Si à partir d'un certain rang L> 1 Alors la série est divergente Si L=1, on ne peut conclure à l'aide du critère de d'Alembert B. Séries à termes positifs – Convergence

12 G.E.I.I.Séries12 4. Comparaison avec une intégrale Soit une fonction positive sur, décroissante à partir d'une certaine valeur de Alors l'intégrale et la série de terme général sont de même nature B. Séries à termes positifs – Convergence

13 G.E.I.I.Séries13 5. Série de Riemann La série de Riemann de terme général avec définie par : est convergente si convergente si divergente si divergente si B. Séries à termes positifs – Convergence

14 G.E.I.I.Séries14 C. Séries à termes de signes quelconques 1. Convergence absolue – Semi-convergence La série est absolument convergente si la série est convergente. Si la série est absolument convergente alors la série est convergente. La réciproque est fausse ! C. Séries à termes de signes quelconques

15 G.E.I.I.Séries15 2. Semi-convergence Si la série diverge et si la série est néanmoins convergente, alors on dit que la série est semi-convergente. C. Séries à termes de signes quelconques

16 G.E.I.I.Séries16 3. Séries alternées La série est dite alternée si son terme général est alternativement positif et négatif à partir d'un certain rang, i.e., telle que, Théorème 3 : Pour qu'une série alternée converge, il suffit que la valeur absolue de son terme général tende vers 0 en décroissant, i.e., telle que : soit décroissante C. Séries à termes de signes quelconques

17 G.E.I.I.Séries17 D. Séries de fonctions 1. Convergence simple et uniforme La série de fonctions converge simplement sur un intervalle I si la suite converge simplement sur I. La série de fonctions converge uniformément sur un intervalle I si la suite converge uniformément sur I. D. Séries de fonctions

18 G.E.I.I.Séries18 2. Propriétés P1 : Si la série de fonctions continues sur I converge uniformément sur I, alors la fonction définie par : est continue sur I est continue sur I D. Séries de fonctions

19 G.E.I.I.Séries19 2. Propriétés P2 : Intégration terme à terme Si la série de fonctions continues sur converge uniformément sur alors D. Séries de fonctions

20 G.E.I.I.Séries20 2. Propriétés P3 : Dérivation terme à terme Si la série de fonctions dérivables sur I converge simplement sur I alors la fonction est dérivable sur I et sa dérivée est dérivable sur I et sa dérivée est la fonction : D. Séries de fonctions

21 G.E.I.I.Séries21 Chaotic Snail Shell


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