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Mathématiques SN MODULE 10 Les IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES Réalisé par : Sébastien Lachance.

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1 Mathématiques SN MODULE 10 Les IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES Réalisé par : Sébastien Lachance

2 Radian et longueur darc Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - Dans tout cercle de rayon « r », on détermine la longueur dun arc AB de la façon suivante : 1 1yx r A B m AB = x r Exemples : m AB = 1,5 x 6 m AB = 9 cm Dans un cercle de rayon 6 cm, quelle est la mesure de larc intercepté par un angle au centre de 1,5 rad ?

3 Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque cest possible. a) 76 rad

4 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

5 Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque cest possible. a) 76 rad Réponse : - 3 2 (, ) 2 b) -4 rad

6 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

7 (, ) Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque cest possible. a) 76 rad Réponse : - 3 2 (, ) 2 b) -4 rad Réponse : 22 - 2 2 c) 11 11 4 rad

8 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

9 Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque cest possible. a) 76 rad Réponse : - 3 2 (, ) 2 Réponse : - 2 2 (, ) 22 b) -4 rad Réponse : 22 - 2 2 c) 11 11 4 rad d) 10 10 3 rad

10 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

11 Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque cest possible. a) 76 rad Réponse : - 3 2 (, ) 2 Réponse : - 2 2 (, ) 22 b) -4 rad Réponse : 22 - 2 2 c) 11 11 4 rad d) 10 10 3 rad Réponse : - 3 2 (, ) 2

12 Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque cest possible. e) - 8 - 8 6 rad

13 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

14 (, ) Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque cest possible. e) - 8 - 8 6 rad Réponse : 322 f) -2 rad

15 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

16 (, ) Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque cest possible. e) - 8 - 8 6 rad f) -2 rad Réponse : g) rad 0 - 1 - 5 - 5 (, ) Réponse : 322

17 1 1yx P( ) = (, ) 2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 2 1 - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - - 2 3 2 1 - - 2 3 2 1 - 2 2 2 2 - 2 3 2 1- P( ) = ( 1, 0 ) P( ) = ( 0, 1 ) P( ) = ( - 1, 0 ) P( ) = ( 0, - 1 ) 6 4 3 6 7 4 5 4 3 6 5 4 3 2 3 6 11 11 4 7 5 3 3 2 2 P( ) = ( 1, 0 ) 2 0

18 Coordonnées équivalentes du cercle trigonométrique Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - Ex. : Déterminer les coordonnées du point correspondant sur le cercle trigonométrique. Exprimer la valeur exacte lorsque cest possible. h) 11 11 8 rad (, ) e) - 8 - 8 6 rad f) -2 rad Réponse : 0 - 1 (, ) Réponse : 322 (, ) Réponse : - 1 0 g) rad - 5 - 5 (, ) Réponse : cos 11 11 8 sin 8 ( - 0,3827, - 0,9239 )

19 Les 3 identités trigonométriques Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - 1 1yx 1 P( ) = (, ) x y x y cos cos sin sin Par Pythagore : x 2 + y 2 = 1 2 Donc : cos 2 + sin 2 = 1 IDENTITÉ # 1

20 cos 2 + sin 2 = 1 À partir de lidentité #1 : IDENTITÉ # 2 cos 2 cos 2 1 + tan 2 = sec 2 1 + tan 2 = sec 2 RAPPELRAPPEL cos cos 1 = sec sec sin sin 1 = cosec cosec tan tan 1 = cot cot À partir de lidentité #1 : cos 2 + sin 2 = 1 IDENTITÉ # 3 sin 2 sin 2 cot 2 + 1 = cosec 2 cot 2 + 1 = cosec 2

21 Ex. #1 : Démontrer sec 2 sec 2 1 + cosec 2 cosec 2 1 = 1 1 + 1 = 1 cos 2 cos 2 1 sin 2 sin 2 1 + = 1 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 = 1 1 Ce symbole signifie que la démonstration est terminée ! On peut aussi écrire CQFD (ce quil fallait démontrer).

22 Ex. #2 : Démontrer cos x tan x = sin x = sin x cos x cos x cos x sin x = Ex. #3 : Simplifier (1 + tan 2 x) cos 2 x (sec 2 x) cos 2 x cos 2 x 1 1

23 Ex. #4 : Démontrer tan 2 x – tan 2 x sin 2 x = sin 2 x tan 2 x (1 – sin 2 x) = sin 2 x tan 2 x (cos 2 x) = sin 2 x (cos 2 x) = sin 2 x cos 2 x sin 2 x sin 2 x = sin 2 x

24 Ex. #5 : Démontrer – sin x = cot x cos x – sin x = cot x cos x sin x 1 – sin 2 x = cot x cos x – sin 2 x = cot x cos x sin x 1 1 – sin 2 x = cot x cos x 1 – sin 2 x = cot x cos x sin x cos 2 x = cot x cos x sin x cos x cos x = cot x cos x sin x cot x cos x = cot x cos x

25 Autres identités Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES - sin (u + v) = sin(u) cos(v) + sin(v) cos(u) Somme de u et v cos (u + v) = cos(u) cos(v) – sin(u) sin(v) Ex. : Soit u = et v =, calculer précisément sin ( + ). 4 3 43

26 sin (u + v) = sin(u) cos(v) + sin(v) cos(u) Somme de u et v cos (u + v) = cos(u) cos(v) – sin(u) sin(v) Ex. : Soit u = et v =, calculer précisément sin (u + v). 4 3 sin ( + ) = 43 sin ( ) 4 cos ( ) 3 + sin ( ) 3 cos ( ) 4 sin ( ) = 712 ( ) + 22 32 12 22 sin ( ) = 712 ( ) + 24 64 sin ( ) = 712 + 2 + 2 64

27 24 sin (u – v) = sin(u) cos(v) – sin(v) cos(u) Différence entre u et v cos (u – v) = cos(u) cos(v) + sin(u) sin(v) Ex. : Soit u = et v =, calculer précisément cos (u – v). 34 23 cos ( – ) = 34 23 cos ( ) 34 23 + sin ( ) 34 23 cos ( ) = 12 ( ) + - 2 2 - 1 2 32 22 cos ( ) = 12 ( ) + 24 64 + 6 + 6 cos ( ) = 12

28 cos (- ) = cos cos (- ) = cos 1 1yx P( ) = (, ) cos cos x - P(- ) = (, ) cos (- )

29 cos (- ) = cos cos (- ) = cos 1 1yx P( ) = (, ) cos Exemple : 3 3 3 12 x12 -3 P( ) = (, ) cos -3 -3 12 cos3 cos -3 Donc : = = =3

30 sin (- ) = - sin sin (- ) = - sin 1 1yx P( ) = (, ) sin sin y - P(- ) = (, ) sin (- ) - y

31 sin (- ) = - sin sin (- ) = - sin 1 1yx y - y Exemple : = =3 3 -3 P( ) = (, ) sin3 3 sin -3 -3 - 3 2 32 2 32 sin -3 - sin 3 Donc : =


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