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CALCUL APPROCHE DE LA DISTANCE ORTHODROMIQUE PIPS 2010 Saisissez les points A et B avec le pointeur de la souris pour déplacer ces 2 points Clic droit.

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1 CALCUL APPROCHE DE LA DISTANCE ORTHODROMIQUE PIPS 2010 Saisissez les points A et B avec le pointeur de la souris pour déplacer ces 2 points Clic droit maintenu et faites tourner la sphère

2 Quelques définitions On appelle méridien larc de grand cercle passant par les pôles. On appelle parallèle tout cercle parallèle au plan équatorial. Autrement dit quelque soit la longitude un parallèle a la même latitude. On appelle latitude du point A langle formé entre le segment passant par le centre de la terre jusqu au point A positionné à la surface terrestre et le plan équatorial. De manière conventionnelle cet angle est noté de 0 sur le plan équatorial à 90 degrés aux pôles. Il est noté N pour Nord dans lhémisphère nord et il est noté S pour Sud dans lhémisphère Sud. On appelle longitude du point A langle formé par le segment passant par le centre de la terre jusquà la projection orthogonale du point A sur le plan équatorial et un méridien de référence dont tout le monde ou presque sest accordé à considérer comme étant lorigine. Ce méridien sappelle le méridien de Greenwich. On aurait pu en choisir un autre, par exemple Villeherviers dans le Loir et Cher ! Mais bon … les anglais ont été plus rapides. Tout ce qui se trouve à lest de ce méridien est noté E pour Est et inversement tout ce qui se trouve à louest est noté O pour Ouest (les anglosaxons diront W pour West). Corollaire: le méridien 180° est ni Ouest, ni Est puisque cest lopposé du méridien de Greenwich. On appelle distance orthodromique de point A ou point B la distance de larc de cercle sous tendu par le grand cercle passant par ces 2 points et dont le centre est le centre de la terre.

3 Les bases de la trigonométrie Les calculs de géométrie dans le triangle rectangle nécessitent de connaître les quelques formules de base de la trigonométrie. A partir de ces bases il est ensuite possible den déduire dautres relations un peu plus élaborées. Si cet aspect théorique peut paraître rébarbatif, il nen demeure pas moins que ces relations simples permettent délaborer des produits complexes dans tous les domaines de la vie courante, tels que (et sans que cette liste ne soit exhaustive): architecture dune maison, triangle des vitesses de vent, rayon de braquage dune automobile etc. a B A O On appelle côté opposé à langle a, le segment AB On appelle côté adjacent à langle a, le segment OA On appelle hypothénuse du triangle rectangle AOB rectangle en A le segment OB. Alors sinus de langle a est égal au côté opposé sur lhypothénuse, soit Sina = AB / OB (1) Le cosinus de langle a est égal au côté adjacent sur lhypothénuse, soir Cosa = OA / OB (2) Enfin on appelle tangente le rapport de AB sur OA soit sina / cosa. Par ailleurs une relation très utile est celle qui relie le carré de lhypothénuse à la somme des carrés des côtés quon exprime de la manière suivante: OB 2 = OA 2 + AB 2 (3) relation de Pythagore On déduit de cette relation et des précédentes que sin 2 a + cos 2 a = 1 En effet à partir de (3) on a: OB 2 = OB 2 sin 2 a + OB 2 cos 2 a OB 2 = OB 2 ( sin 2 a + cos 2 a) Doù sin 2 a + cos 2 a = 1 Et bien évidemment il y a plein dautres relations à déduire des précédentes.

4 x A = R cos φ A cos θ A Ay A = R cos φ A sin θ A (1) z A = R sin φ A x B = R cos φ B cos θ B B y B = R cos φ B sin θ B (2) z B = R sin φ B Soit la sphère de rayon R et positionnons 2 points quelconques A et B à la surface et désignons par φ A et θ A, respectivement la latitude et la longitude de A. Même chose pour B. Désignons par A la projection orthogonale sur le plan iOj et A i la projection orthogonale de A sur laxe i, A j la projection orthogonale de A sur j et enfin A k la projection orthogonale de A sur laxe k. Même chose pour B. Alors les coordonnées de A et B dans le repère Oijk sont: O A A B AiAi AjAj AkAk φAφA θAθA R i j k

5 Nous cherchons dans un premier temps la distance « rectiligne » de la droite AB dont on va exprimer la valeur à partir dun exemple simple, celui du plan: Oi j A B Daprès Pythagore on sait que AB 2 = AC 2 + BC 2 (3) En se reportant aux coordonnées de A (x A,y A ) et B (x B,Y B ) on a: AB 2 = (x B – x A ) 2 + (y B – y A ) 2 C yByB yAyA xBxB xAxA Pour revenir à notre sphère nous pouvons écrire, bien que la démonstration ci-dessus nait pas la rigueur mathématique suffisante, que le carré de la distance de A à B est la somme des carrés des écarts des coordonnées de A et B sur chacun des axes soit: AB 2 = (x B -x A ) 2 + (y B -y A ) 2 + (z B -z A ) 2 (4) Pour simplifier les calculs un peu fastidieux nous allons supposer que la longitude de A est égale à 0 Par conséquent les coordonnées de A (relations (1)) en sachant que sin 0 = 0 et cos 0 = 1, sécrivent : x A = R cos φ A y A = 0 z A = R sin φ A

6 Développons en croisant (1) (2) et (4): AB 2 = (R cosφ B cos θ B – R cosφ A ) 2 + ( R cosφ B sin θ B ) 2 + (R sinφ B – R sinφ A ) 2 AB 2 = R 2 [ (cosφ B cos θ B – cosφ A ) 2 + (cosφ B sin θ B ) 2 + (sinφ B – sinφ A ) 2 ] AB 2 = R 2 (cos 2 φB cos 2 θ B + cos 2 φA – 2 cosφB cos θ B cosφA + cos 2 φB sin 2 θ B + sin 2 φB + sin 2 φA – 2 sinφB sinφA) On va utiliser une propriété des sinus et cosinus pour simplifier léquation ci-dessus, propriété qui découle en fait du théorème de Pythagore: sin 2 α + cos 2 φ = 1 quelque soit α En effet, dans un triangle OCA rectangle en C on a: OA 2 = OC 2 + AC 2 (5) sin α = AC / OA et cos α = OC / OA sin 2 α + cos 2 α = (AC/OA) 2 + (OC/OA) 2 = (AC 2 + OC 2 )/OA 2 = ( AC 2 + OC 2 ) / (AC 2 + OC 2 ) selon la relation (3) sin 2 α + cos 2 α = 1 (6) CQFD O A C α

7 Doù AB 2 = R 2 (cos 2 φ B cos 2 θ B +1 – 2 cosφ B cos θ B cosφ A + cos 2 φ B sin 2 θ B + sin 2 φ B – 2 sinφ B sinφ A ) AB 2 = R 2 [ cos 2 φ B (cos 2 θ B + sin 2 θ B ) + 1 – 2 cosφ B cosθ B cosφ A + sin 2 φ B – 2 sinφ B sinφ A ] = 1 AB 2 = R 2 [cos 2 φ B + sin 2 φ B + 1 – 2 cosφ B cosθ B cosφ A – 2 sinφ B sinφ A ] = 1 AB 2 = R 2 [ – 2 cosφ B cosθ B cosφ A – 2 sinφ B sinφ A ] Doù AB = R 2(1 – cosφ B cosθ B cosφ A – sinφ B sinφ A ) (7) A ce stade nous navons pas exactement la distance à la surface terrestre entre A et B mais seulement la distance en ligne droite de A à B. Il nous faut désormais calculer la valeur de larc de grand cercle passant par A et B.

8 O A Bβ α R C En fait, la longueur de larc AB est égale au produit de langle α exprimé en radians par le rayon. On retrouve ici la formule de calcul du périmètre dun cercle l = 2π R Posons α / 2 = β et notons que AC = AB / 2 Or AC = R sin β puisque BC = AC et que α / 2 = β Donc AB = 2 R sin β Doù β = Arcsin (AB/2R) Et donc α = 2 Arcsin(AB/2R) Vous noterez que le segment de droite passant par O et par le milieu du segment AB est perpendiculaire au segment AB.

9 On en déduit avec la relation (6) que: Arc(AB) = α R = 2 R Arcsin [½ 2(1 – cosφ B cosθ B cosφ A – sinφ B sinφ A )] (8) A ce stade la formule est suffisante pour exprimer la longueur de larc AB qui correspond à lorthodromie. Néanmoins on peut encore la simplifier en utilisant les propriétés daddition des sinus et cosinus on a 2 sin 2 α = 1 – cos2α (9) En effet les propriétés daddition du cosinus nous permettent décrire cos(α+β) = cosα cosβ – sinα sinβ cos2α = cos 2 α - sin 2 α or daprès (6) on a cos 2 α = 1 – sin 2 α Donc cos2α = 1 – 2 sin 2 α ou 2 sin 2 α = 1 – cos2α

10 Le but ici est de supprimer la racine carré de lexpression (8) en lélevant au carré, ce qui semble possible avec la relation (9). Posons α = Arcsinβ Alors (9) devient 2 sin 2 (Arcsinβ) = 1 – cos(2 Arcsinβ) 2 ( sin(Arcsinβ) sin(Arcsinβ)) = 1 – cos(2 Arcsinβ) 2(β β) = 1 – cos(2 Arcsinβ) cos(2 Arcsinβ) = 1 – 2 β 2 doù 2 Arcsinβ = Arccos (1 – 2 β 2 ) (10) on y reconnaît la forme de la relation (8) En posant β = [½ 2(1 – cosφ B cosθ B cosφ A – sinφ B sinφ A )] on a: Arc(AB) = R Arccos[1 -2 [1/4 (2(1- cosφ B cosθ B cosφ A – sinφ B sinφ A ))] ] Arc(AB) = R Arccos[1 -2[1/4 (2 – 2 cosφ B cosθ B cosφ A – 2 sinφ B sinφ A )]] Arc(AB) = R Arccos[1 -2[1/2 – 1/2 cosφ B cosθ B cosφ A – 1/2 sinφ B sinφ A ]] Arc(AB) = R Arccos[ cosφ B cosθ B cosφ A + sinφ B sinφ A ] Doù Arc(AB) = R Arccos[ cosφ B cosθ B cosφ A + sinφ B sinφ A ] Quon généralisera à: Arc(AB) = R Arccos[ cosφ B cosΔθ cosφ A + sinφ B sinφ A ] (11) Où Δθ est lécart de longitude entre les 2 points et où les angles sont exprimés en radians

11 Encore plus fort … La question est maintenant de savoir quel est le cap à prendre sur ce segment orthodromique ou plutôt quels sont les caps successifs à prendre pour aller du point A au point B. Lorthodromie présente cette particularité que les caps ne sont pas constants à lexception du déplacement le long dun méridien ou le long de léquateur, comme vous pourrez le vérifier sur cette construction 3D. Vous pouvez déplacer le point vert le long de lorthodromie du point A au point B, déplacer les points A et B, faire tourner la figure avec le clic droit de la souris.


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