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Fonction partie entière Graphique et règle Remarque :Tu devrais visionner : « Fonction partie entière, rôle des paramètres.ppt », avant de visionner celle-ci.

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1 Fonction partie entière Graphique et règle Remarque :Tu devrais visionner : « Fonction partie entière, rôle des paramètres.ppt », avant de visionner celle-ci.

2 On peut tracer le graphique dune fonction partie entière en utilisant : - un texte (une mise en situation); - une table de valeurs; - une règle. On peut également déterminer la règle dune fonction partie entière en utilisant : - un texte (une mise en situation); - une table de valeurs; - un graphique.

3 Tracer le graphique à partir dune mise en situation. Exemple :Pour stimuler ses vendeurs et vendeuses, le gérant dune boutique leur accorde une prime supplémentaire de 50,00 $ pour chaque tranche de 1 000,00 $ de ventes effectuées. Il faut analyser le texte. La valeur initiale est 0, car sil ny a aucune vente, il ny a aucune prime. Variable indépendante (x) : le montant des ventes ($) Variable dépendante (y) : la prime ($) Chaque marche (intervalle) aura une longueur de unités, fermée à gauche, car il faut avoir complété chaque tranche de 1 000,00 $ pour obtenir la prime. La distance verticale entre chaque marche sera de 50 unités; comme il y aura accumulation, la fonction sera croissante ( a > 0 ). Trace le graphique représentant cette situation.

4 Montant des ventes ($) Primes ($) Primes reçues en fonction des ventes effectuées Remarque : Il est préférable dutiliser du papier quadrillé pour tracer une fonction partie entière. 0 0 a = 50 longueur de la marche = b > 0 h = 0 k = 0

5 Exemple La mère de François lui a prêté 500,00 $ pour quil puisse participer à un voyage détudes. Il est convenu quil remboursera 25,00 $ tous les premiers du mois à compter du 1 er janvier prochain. Il faut analyser le texte. La valeur initiale est 500 car, au début, sa dette est de 500,00 $. Variable indépendante (x) : le nombre de mois Variable dépendante (y) : le montant de la dette ($) Chaque marche (intervalle) aura une longueur de 1 unité, fermée à gauche, car il faut que le mois soit complété pour que la dette diminue. La distance verticale entre chaque marche sera de 25 unités; comme il y aura remboursement la fonction sera décroissante ( a < 0 ).

6 Remboursement de la dette de François Temps écoulé ( en mois ) Dette ($) 0 0 a = - 25 longueur de la marche = 1 b > 0 h = 0 k = 500

7 Tracer le graphique à partir dune table de valeurs. Il est très facile de tracer le graphique dune fonction partie entière quand on connaît la table de valeurs associée à la situation. Exemple :Le tableau suivant indique le coût dune prime dassurance selon le groupe dâge de la personne. Coût de lassurance en fonction de lâge Groupes dâges (ans) Coût de la prime par année pour 1000,00 $ dassurance ($) [ 0, 13 [ [ 13, 26 [ [ 26, 39 [ [ 39, 52 [ [ 52, 65 [ Variable indépendante Variable dépendante

8 Coût de lassurance en fonction de lâge Groupes dâges (ans) Coût de la prime par année pour 1000,00 $ dassurance ($) [ 0, 13 [ [ 13, 26 [ [ 26, 39 [ [ 39, 52 [ [ 52, 65 [ Les crochets indiquent que les bornes des segments sont pleines à gauche et vides à droite, donc b > 0. De plus, la largeur des marches est de 13 unités donc | b | = 1/13. Variable indépendante Variable dépendante La valeur initiale est 6 et h = 0 donc k = 6. La fonction est croissante, donc a > 0; laugmentation est de 2 unités donc | a | = 2. La première classe débute à 0 donc h =

9 Coût de la prime par année pour 1000,00 $ dassurance ($) Coût de lassurance en fonction de lâge Groupes dâge (années) a = 2 b = 1/13 h = 0 k = 6 0 0

10 a = -1 Tracer le graphique à partir de la règle. Tracer le graphique dune fonction partie entière à partir de la règle de la fonction demande de bien comprendre chaque paramètre. Rappel : f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k Le paramètre a :- il donne la distance verticale entre les marches; - il se calcule en valeur absolue : | a |, puisque une distance est positive; - si a > 0, la fonction est croissante; si a < 0, la fonction est décroissante. Exemples : a = a = 3 a = -3

11 f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k Le paramètre b : - il donne la longueur des marches (intervalles); - il se calcule en valeur absolue : | b |, car une longueur est positive. Attention Chaque marche de la fonction partie entière de base mesure 1 unité. Si b = 2, on atteint la partie entière plus rapidement ce qui diminue la longueur de la marche. Si b = 0,5, on atteint la partie entière moins rapidement ce qui augmente la longueur de la marche. - il indique si lintervalle (marche) est ouvert à gauche ou à droite; b > 0 : [ b < 0 : ]

12 La longueur dune marche est égale à : marche dune unité valeur de b en absolue | b | 1 1 | 1 | 1 = 1 b = 1 | b | 1 | 2 | 1 = 0,5 b = 2 | b | 1 | 0,5 | 1 = 2 b = 0,5 Une demi-unité de longueur pour atteindre la partie entière. Deux unités de longueur pour atteindre la partie entière. Une unité de longueur pour atteindre la partie entière

13 Remarque : | b | 1 = longueur de la marche et 1 longueur de la marche = | b | ,5 = | 2 |b = = | 0,5 |b = 0,5

14 Les paramètres h et k f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k Ces deux paramètres correspondent à la [ partie entière ] de chaque intervalle, donc à la borne pleine des marches x y x y x y h = 0, k = 0 ( h, k ) = ( 0, 0 ) h = -1, k = 0 ( h, k ) = ( -1, 0 ) h = 1, k = -2 ( h, k ) = ( 1, -2 )

15 Soit tracer le graphique de la fonction f(x) = -2 [ x ] + 1 Étape 1 : Déterminer la valeur des paramètres :a = -2, a et b sont de signes contraires, donc la fonction est décroissante; h = 0, donc il ny a pas de translation horizontale; k = 1, donc il y a translation verticale de 1 unité vers le haut. a = | -2 | = 2, donc la distance entre les marches est de 2 unités; Étape 2 : Interpréter les paramètres. b > 0, donc les segments sont fermés à gauche; b = 1, donc la longueur des marches est de 1 unité; | b | 1 | 1 | 1 = = +1 f(x) = a [ b ( x - h ) ] + k ( – h ) h = 0k = 1b = 1,

16 x y a = -2, b = 1, h = 0, k = 1 1) On commence par placer une borne pleine en utilisant ( h, k ). Étape 3 : Tracer le graphique. ( 0, 1 ) 2) On détermine la longueur et lorientation dun segment à laide de la valeur de b. 3) On répète les segments en utilisant la valeur de a. 1 | b | = 1 | 1 | = 1 et b > 0 donc a < 0 et | a | = | -2 | = 2 donc Remarque : Les extrémités des marches doivent être vis-à-vis les unes des autres.

17 Soit tracer le graphique de la fonction f(x) = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] - 1 Étape 1 : Déterminer la valeur des paramètres :a = 2, b = - 0,5, h = -1, k = -1 a et b sont de signes contraires, donc la fonction est décroissante; h = -1, donc il y a translation horizontale de 1 unité vers la gauche; k = -1, donc il y a translation verticale de 1 unité vers le bas. a = | 2 | = 2, donc la distance entre les marches est de 2 unités; Étape 2 : Interpréter les paramètres. b < 0, donc les segments sont fermés à droite; 1 b = - 0,5, donc la longueur des marches est de 2 unités; | b | 1 | -0,5 | = =

18 x y Étape 3 : Tracer le graphique. a = 2, b = - 0,5, h = -1, k = -1 1) On commence par placer une borne pleine en utilisant ( h, k ). ( -1, -1 ) 2) On détermine la longueur et lorientation dun segment à laide de la valeur de b. 3) On répète les segments en utilisant la valeur de a. 1 | b | = 1 | -0,5 | = 2 et b < 0 donc a > 0 et | a | = | 2 | = 2 donc Remarque :a > 0 et b < 0 donc fonction décroissante.

19 Soit tracer le graphique de la fonction f(x) = 3 [ 2x – 4 ] Étape 1 : Déterminer la valeur des paramètres :a = 3, b = 2, h = 2, k = 0 a et b sont du même signe, donc la fonction est croissante; h = 2, donc il y a translation horizontale de 2 unités vers la droite; k = 0, donc il ny a pas de translation verticale. a = | 3 | = 3, donc la distance entre les marches est de 3 unités; Étape 2 : Interpréter les paramètres. b > 0, donc les segments sont fermés à gauche; 1 b = 2, donc la longueur des marches est de 0,5 unité; | b | 1 | 2 | = = Attention : Cette écriture nest pas en forme canonique. Il faut donc commencer par écrire cette règle sous la forme canonique. f(x) = 3 [ 2x – 4 ] f(x) = 3 [ 2 ( x – 2 ) ] par simple mise en évidence. f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k

20 x y Étape 3 : Tracer le graphique. a = 3, b = 2, h = 2, k = 0 1) On commence par placer une borne pleine en utilisant ( h, k ). ( 2, 0 ) 2) On détermine la longueur et lorientation dun segment à laide de la valeur de b. 3) On répète les segments en utilisant la valeur de a. 1 | b | = 1 | 2 | = 0,5 et b > 0 donc a > 0 et | a | = | 3 | = 3 donc Remarque :a > 0 et b > 0 donc fonction croissante.

21 Soit tracer le graphique de la fonction f(x) = [ 2 ( x + 2 ) ] + 0,5 Étape 1 : Déterminer la valeur des paramètres :a = 1, b = 2, h = - 2, k = 0,5 a et b sont du même signe, donc la fonction est croissante; h = -2, donc il y a translation horizontale de 2 unités vers la gauche ; k = 0,5, donc il y a translation verticale de 0,5 unité vers le haut. a = | 1 | = 1, donc la distance entre les marches est de 1 unité; Étape 2 : Interpréter les paramètres. b > 0, donc les segments sont fermés à gauche; 1 b = 2, donc la longueur des marches est de 0,5 unité; | b | 1 | 2 | = = + 1

22 x y Étape 3 : Tracer le graphique. a = 1, b = 2, h = - 2, k = 0,5 1) On commence par placer une borne pleine en utilisant ( h, k ). ( -2, 0,5 ) 2) On détermine la longueur et lorientation dun segment à laide de la valeur de b. 3) On répète les segments en utilisant la valeur de a. 1 | b | = 1 | 2 | = 0,5 et b > 0 donc a > 0 et | a | = | 1 | = 1 donc Remarque :a > 0 et b > 0 donc fonction croissante.

23 Déterminer la règle en utilisant un texte (une mise en situation). Exemple :Pour stimuler ses vendeurs et vendeuses, le gérant dune boutique leur accorde une prime supplémentaire de 50,00 $ pour chaque tranche de 1 000,00 $ de ventes effectuées. Il faut analyser le texte. La valeur initiale est 0, car sil ny a aucune vente, il ny a aucune prime : Variable indépendante (x) : le montant des ventes ($) Variable dépendante (y) : la prime ($) Chaque marche (intervalle) aura une longueur de unités, fermée à gauche, car il faut avoir complété chaque tranche de 1 000,00 $ pour obtenir la prime. Détermine la règle représentant cette situation. h = 0 k = 0 donc b = 0,001soit longueur dune marche 1 = 0,001 =

24 La distance verticale entre les marches sera de 50 unités; comme il y aura accumulation, la fonction sera croissante (a > 0). k = 0b = 0,001a = 50 f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k h = 0 f(x) = 50 [ 0,001 ( x – 0 ) ] + 0 f(x) = 50 [ 0,001 x ]

25 Déterminer la règle en utilisant un texte (une mise en situation). Exemple : Il faut analyser le texte. Détermine la règle représentant cette situation. h = 0 et k = 500 donc b = 1soit longueur dune marche 1 = 1 = 1 1 La mère de François lui a prêté 500,00 $ pour quil puisse participer à un voyage détudes. Il est convenu quil remboursera 25,00 $ tous les premiers du mois à compter du 1 er janvier prochain. La valeur initiale est 500 car, au début, sa dette est de 500,00 $. Variable indépendante (x) : le nombre de mois Variable dépendante (y) : le montant de la dette ($) Chaque marche (intervalle) aura une longueur de 1 unité, fermée à gauche, car il faut que le mois soit complété pour que la dette diminue.

26 La distance verticale entre les marches sera de 25 unités; comme il y aura diminution, la fonction sera décroissante (a < 0). k = 500b = 1a = - 25 f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k h = 0 f(x) = -25 [ 1 ( x – 0 ) ] f(x) = -25 [ x ] + 500

27 Coût de lassurance en fonction de lâge Groupes dâges (ans) Coût de la prime par année pour 1000,00 $ dassurance ($) [ 0, 13 [ [ 13, 26 [ [ 26, 39 [ [ 39, 52 [ [ 52, 65 [ Les crochets indiquent que les bornes des segments sont pleines à gauche et vides à droite donc: b > 0. Variable indépendante Variable dépendante La première classe débute à 0 et la valeur initiale est 6, donc h = 0 et k = 6 Déterminer la règle en utilisant une table de valeurs La largeur des classes est de 13 unités donc | b | = largeur dun intervalle 1 = 13 1

28 La distance verticale entre les marches sera de 2 unités, car le coût de la prime augmente de façon régulière à chaque changement dintervalle. k = 6b = 1/13a = 2 f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k h = 0 f(x) = 2 [ 1/13 ( x – 0 ) ] + 6 f(x) = 2 [ 1/13 x ] + 6

29 Déterminer la règle en utilisant un graphique. Déterminer la règle à partir dun graphique est le moyen le plus facile. Il sagit simplement de bien comprendre les paramètres de la fonction. Exemple : Montant des ventes ($) Primes ($) Primes reçues en fonction des ventes effectuées

30 Montant des ventes ($) Primes ($) Primes reçues en fonction des ventes effectuées En utilisant la borne de la marche la plus près de lorigine, on constate que h = 0 et k = 0 b > 0, car le segment est fermé à gauche. b = 0,001 soit = 0,001 longueur dune marche 1 = | a | f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k f(x) = 50 [ 0,001 ( x – 0 ) ] + 0 f(x) = 50 [ 0,001 x ] = 50 donc b = 0,001 a > 0, car la fonction est croissante et b > 0 donc a =

31 Remarque : Montant des ventes ($) Primes ($) Primes reçues en fonction des ventes effectuées La fonction partie entière possède plusieurs marches. Pour déterminer la valeur de h et de k, il y a donc plusieurs possibilités. Exemples h et k pourraient être ( 1 000, 50 ) ( 3 000, 150 ) Il y a plusieurs possibilités, donc plusieurs règles possibles. f(x) = 50 [ 0,001 x ] f(x) = 50 [ 0,001 ( x – ) ] + 50 f(x) = 50 [ 0,001 ( x – ) ]

32 Pour déterminer les différentes valeurs de x ou de f(x), toutes ces règles sont équivalentes. Exemples : f(x) = 50 [ 0,001 x ] f(x) = 50 [ 0,001 ( x – ) ] f(2 000) = 50 [ 0,001 X ] f(2 000) = 50 [ 2 ] = 100 f(2 000) = 50 [ 0,001 ( – ) ] f(2 000) = 50 [ -1 ] = 100 f(x) = 50 [ 0,001 ( x – ) ] + 50 f(2 000) = 50 [ 0,001 ( – ) ] + 50 f(x) = 50 [ 1 ] + 50 = 100 Pour éviter la lourdeur des calculs, on détermine h et k avec une marche près de lorigine; on travaille ainsi avec des paramètres plus petits.

33 Remboursement de la dette de François Temps écoulé (en mois) Dette ($) Détermine les règles des graphiques suivants : h = 0 k = 500 b > 0 car | b | = 1 longueur dune marche 1 1 = 1 a < 0, car la fonction est décroissante et b > 0 | a | = 25 f(x) = - 25 [ x ] f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k donc b = 1 donc a =

34 x y h = 0 k = 1 b > 0 car | b | = 1 longueur dune marche 1 1 = 1 a < 0, car la fonction est décroissante et b > 0 | a | = 2 f(x) = - 2 [ x ] + 1 f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k donc b = 1 donc a = -2

35 x y h = -1 k = -1 b < 0 car | b | = 1 longueur dune marche 1 2 = 0,5 a > 0, car la fonction est décroissante et b < 0 | a | = 2 f(x) = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] - 1 donc b = - 0,5 f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k donc a = 2

36 x y h = 2 k = 0 b > 0 car | b | = 1 longueur dune marche 1 0,5 = 2 a > 0, car la fonction est croissante et b > 0 | a | = 3 donc b = 2 f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k f(x) = 3 [ 2 ( x – 2 ) ] donc a = 3

37 x y h = -2 k = 0,5 b > 0 car | b | = 1 longueur dune marche 1 0,5 = 2 a > 0, car la fonction est croissante et b > 0 | a | = 1 donc b = 2 f(x) = a [ b ( x – h ) ] + k f(x) = [ 2 ( x + 2 ) ] + 0,5 donc a = 1


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