La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Mathématiques SN MODULE 7 La fonction LOGARITHMIQUE.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Mathématiques SN MODULE 7 La fonction LOGARITHMIQUE."— Transcription de la présentation:

1 Mathématiques SN MODULE 7 La fonction LOGARITHMIQUE

2 Utilité du logarithme Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Exemple : Transformer les expressions exponentielles en expressions logarithmiques et vice-versa. a) 2 x = 32 Sert à déterminer la valeur dun exposant. Sert à déterminer la valeur dun exposant. Permet disoler « x » dans f(x) = c x. Permet disoler « x » dans f(x) = c x. x = log 2 32 b) 5 x = 125 x = log x = 5 x = 3 c) x = log x = 256 d) x = log x = 81

3 Définition et lois des LOG Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - On sait que 3 x = 27 x = log 3 27 c x = y x = log c y donc Par conséquent : log c 1 = 0 log c c = 1 (car c 0 = 1) (car c 1 = c) Ex.: log 4 1 = 0 car 4 0 = 1 Ex.: log 4 4 = 1 car 4 1 = 4 En outre, lorsque la base « c » du logarithme est 10, on écrit log x au lieu de log 10 x.

4 Définition et lois des LOG Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - LOIS DES LOG log c mn = log c m + log c n Ex.: log 4 2x = log log 4 x log c = log c m – log c n Ex.: log 4 = log 4 x – log 4 3 mn x3 log c m n = n log c m Ex.: log 4 x 2 = 2 log 4 x log c m = log m log c Ex.: log 4 8 = log 8 log 4 Note : log 3 x 2 log 3 2 x log 3 x 2 = log 3 (x x) log 3 2 x = log 3 x log 3 x car

5 Définition et lois des LOG Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Exemples : a) Simplifier log 2 x 2 – log 2 x. log 2 x 2 – log 2 x = log 2 x2x2x2x2x = log 2 x b) Simplifier. log 2 9 log 2 3 log 2 9 log 2 3 = log log 2 3 = 2 log 2 3 log 2 3 = 2

6 Définition et lois des LOG Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Exemples : c) Simplifier log 6 2x 4 + log 6 3. log 6 (2x 4 3) log 6 2x 4 + log 6 3 = = log 6 6x 4 = log log 6 x 4 = log 6 x

7 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - f(x) = log c x (forme générale de BASE) f(x) = a log c b(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) x = h (Équation de lasymptote) f(x) = log 2 x Exemple : f(x) = 3 log 2 6(x – 1) + 5 Exemple :

8 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - xf(x) ½ f(x) = log 2 x (forme générale de BASE où c 1 ) 1 1 ¼-2 Asymptote x = 0

9 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - xf(x) ½1 f(x) = log ½ x (forme générale de BASE où c ]0, 1[ ) 1 1 ¼2 Asymptote x = 0

10 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - xf(x) ½1 f(x) = - log 2 x (forme où c 1 et a = -1) 1 1 ¼2 Asymptote x = 0

11 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - xf(x) ½ f(x) = log 2 -x (forme où c 1 et b = -1) 1 1 -¼-2 Asymptote x = 0

12 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - xf(x) f(x) = log 2 (x + 4) (forme c 1 et h = -4) 1 1 Asymptote x = - 4

13 Équations et graphique Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE Asymptote x = h f(x) = a log c b(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) x = h (Équation de lasymptote) c 1 c ] 0,1 [ Dom f = ] k, + Ima f = Ima f =

14 Résolutions déquations Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = log (- 4x + 13). 0 = log (- 4x + 13) 10 0 = - 4x = - 4x - 3 = x 1 1 Asymptote x = 13/4 Réponse : x { - 3 } Il faut que - 4x + 13 > 0 donc que x < 13/4 1 = - 4x + 13

15 Exemple #2 : Trouver le zéro de f(x) = 3 log (4x – 3) + 1. Réponse : x { 0,866 } 0 = 3 log (4x – 3) + 1 Il faut que 4x – 3 > 0 donc que x > 3/4 - = log (4x – 3) 10 - = 4x – 3 0,464 = 4x – 3 3,464 = 4x 0,866 = x

16 Exemple #3 : Résoudre 2 log 3 (2x + 10) = 6. Réponse : x { 8,5 } 2 log 3 (2x + 10) = 6 log 3 (2x + 10) = 3 2x + 10 = 3 3 2x + 10 = 27 2x = 17 x = 8,5 Il faut que 2x + 10 > 0 donc que x > - 5

17 Exemple #4 : Résoudre log 3 (x + 36) – log 3 (x – 18) = 1. Réponse : x { 45 } log 3 (x + 36) – log 3 (x – 18) = 1 log 3 = 1 Il faut que x + 36 > 0 et que x – 18 > 0 donc que x > - 36 et que x > 18 x + 36 x – 18 = 3 1 x + 36 x – 18 x + 36 = 3 (x – 18) x + 36 = 3x – = 2x 45 = x

18 Résolutions déquations EXPONENTIELLES Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - 2 méthodes : 1- Exprimer les 2 membres de léquation avec la même base exponentielle 2- Utiliser les logarithmes Si a = b, Ex.: Si 3 = 3 Alors log 3 = log 3 Alors log 3 = log 3 PROPRIÉTÉ IMPORTANTE DES LOG alors log c a = log c b

19 Exemple #1 : Résoudre 3 x = 2 x – 1. Réponse : x { -1,7 } 3 x = 2 x – 1 log 3 x = log 2 x – 1 x log 3 = (x – 1) log 2 x (0,477) = (x – 1) (0,3) 0,477x = 0,3x – 0,3 0,177x = – 0,3 x = – 1,7

20 Exemple #2 : Résoudre 4 2x – 3 = 5 x. Réponse : x { 3,6 } 4 2x – 3 = 5 x log 4 2x – 3 = log 5 x (2x – 3) log 4 = x log 5 (2x – 3) (0,6) = x (0,7) 1,2x – 1,8 = 0,7x 0,5x = 1,8 x = 3,6

21 Exemple #3 : Résoudre 3 x + 2 = 4 5x. Réponse : x { 0,378 } 3 x + 2 = 4 5x log 3 x + 2 = log 4 5x (x + 2) log 3 = 5x log 4 (x + 2) (0,477) = 5x (0,6) 0,477x + 0,954 = 3x 0,954 = 2,523x 0,378 = x

22 Exemple #4 : Résoudre log 5 (x – 9) = log 5 (4x). Réponse : x { – 3 } log 5 (x – 9) = log 5 (4x) x – 9 = 4x – 9 = 3x – 3 = x

23 Résolutions dinéquations Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Exemple #1 : Résoudre log 2 (x + 4) + 5 – log 2 (x – 6) Asymptote x = 6 Asymptote x = - 4 log 2 (x + 4) + 5 – log 2 (x – 6) + 9.

24 Exemple #1 : Résoudre log 2 (x + 4) + 5 – log 2 (x – 6) + 9. log 2 (x + 4) + 5 – log 2 (x – 6) + 9 log 2 (x + 4) + log 2 (x – 6) 9 – 5 log 2 [ (x + 4) (x – 6) ] 4 (x + 4) (x – 6) 2 4 x 2 – 2x – x 2 – 2x – 40 0 x 1 – 5,40 x 2 7,40 Il faut que x + 4 > 0 et que x – 6 > 0 donc que x > - 4 et que x > 6 À rejeter Réponse : x [ 7,40, + x [ 7,40, +

25 Exemple #2 : (x + 3) log (1/2) (2x – 1) log 5 Réponse : x [ - 0,12, + x [ - 0,12, + Résoudre (1/2) x x – 1. log (1/2) x + 3 log 5 2x – 1. (x + 3) (- 0,3) (2x – 1) (0,7) - 0,3x – 0,9 1,4x – 0,7 - 0,3x – 0,9 1,4x – 0,7 - 0,2 1,7x - 0,12 x

26 Base naturelle « e » et logarithme naturel « ln » Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Il existe un nombre irrationnel (comme ) qui se nomme : e 2, … e x = y x = log e y Donc, lorsque ce nombre constitue la base dun nombre exponentiel, on a que : Cependant, lorsque la base « c » du logarithme est e, on écrit ln x au lieu de log e x. Cest une constante mathématique très utilisée en science et que lon retrouve dans de nombreuses modélisations de phénomènes naturels. log e x = ln x

27 De plus, nous pouvons ln au lieu du log afin de résoudre des équations ou inéquations exponentielles. Exemple : Réponse : x { -1,7 } 3 x = 2 x – 1 log 3 x = log 2 x – 1 x log 3 = (x – 1) log 2 x (0,477) = (x – 1) (0,3) 0,477x = 0,3x – 0,3 0,177x = – 0,3 x = – 1,7 Avec LOG Réponse : x { -1,7 } 3 x = 2 x – 1 ln 3 x = ln 2 x – 1 x ln 3 = (x – 1) ln 2 x (1,1) = (x – 1) (0,7) 1,1x = 0,7x – 0,7 0,4x = – 0,7 x = – 1,7 Avec LN

28 Résolutions dune situation à laide des LOG Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. Sil y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de ? f(x) = 500 (2) x/ = 500 (2) x/5 200 = (2) x/5 = log x5 x = 38,2 Réponse : Après 38,2 heures. = 7,64 x5


Télécharger ppt "Mathématiques SN MODULE 7 La fonction LOGARITHMIQUE."

Présentations similaires


Annonces Google