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Lycée Mihai Eminescu Iassy Fonction logarithme Fonction exponentielle Georgiana Mocanu Classe: le XI-ème A Prof. coordinateur : Cristina Anton - 31 octobre.

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1 Lycée Mihai Eminescu Iassy Fonction logarithme Fonction exponentielle Georgiana Mocanu Classe: le XI-ème A Prof. coordinateur : Cristina Anton - 31 octobre 2011-

2 Les fonctions logarithmes et les fonctions exponentielles dans la vie quotidienne chimie : pH,... acoustique : décibel, … biologie : magnitude, … musique : savart, construction des gammes, … en Physique (la radioactivité) et bien dautres applications encore …

3 Lexique logarithme népérien fonction logarithmigue/fonction logarithme fonction exponentielle( de base a ) puissance logarithme décimal bijective surjective inversable asymptote horizontale asymptote verticale tableau de valeurs monotonie courbe axe de symétrie bissectrice domaine de définition équations équations inéquations inéquations

4 ~ La fonction logarithmique

5 I)Définition et lois des LOGARITHMES On sait que 3 x = 27 x = log 3 27 a n = x n = log a x donc Par conséquent : log a 1 = 0 log a c = 1 (car a 0 = 1) (car a 1 = a) Ex.: log 4 1 = 0 car 4 0 = 1 Ex.: log 4 4 = 1 car 4 1 = 4 !!!!!!Remarques: ->LN note le logarithme de base e ;en hommage à John Neper, mathématicien écossais, qui se trouve à l`origine des tables des logarithmes. ->LG note le logarithme de base 10,ou le logarithme décimal. En outre, lorsque la base « a » du logarithme est 10, on écrit log x au lieu de log 10 x. ou lg x et lorsque la base « a » du logarithme est e, on écrit lg x au lieu de log e x. En outre, lorsque la base « a » du logarithme est 10, on écrit log x au lieu de log 10 x. ou lg x et lorsque la base « a » du logarithme est e, on écrit lg x au lieu de log e x. a x log a x Soit a>1,a 1 et l`équation a x =n où n est un nombre réel strictement positif. Comme la fonction exponentielle est bijective, on en déduit que l`équation a une seule solution x, qui, par définition, est le logarithme de basse a de n.On note log a x

6 Proprietes des logarithmes Note : log 3 x 2 log 3 2 x log 3 x 2 = log 3 (x x) log 3 2 x = log 3 x log 3 x car

7 Exemples : b) Simplifier log 2 x 2 – log 2 x. log 2 x 2 – log 2 x = log 2 x2x2x2x2 x = log 2 x a) Simplifier. log 2 9 log 2 3 log 2 9 log 2 3 = log log 2 3 = 2 log 2 3 log 2 3 = 2 c) Simplifier log 6 2x 4 + log 6 3. log 6 (2x 4 3) log 6 2x 4 + log 6 3 = = log 6 6x 4 = log log 6 x 4 = log 6 x

8 Propriétés de la fonction logarithmique( f(x)=log a x) Propriétés de la fonction logarithmique( f(x)=log a x)1.f(1)=0 2.LA MONOTONIE ~si a>1,alors f strictement croissante,c`est-à -dire: tous x1,x2 qui appartient ~si a>1,alors f strictement croissante,c`est-à -dire: tous x1,x2 qui appartient x1 log a x1 log a x1< log a x2 ~si 0 log a x2 x1 log a x1> log a x2 3.LE SIGNE (conséquence de monotonie) ~pour a>1, log a x >0 si x>1 et log a x 1, log a x >0 si x>1 et log a x<0 si 00,sinon, log a x 0,sinon, log a x<0.Une manière très pratique dexprimer ce résultat est la suivante : sign(log a x)=sign(a-1)(x-1) sign(log a x)=sign(a-1)(x-1) 4. f est un fonction bijective donc, inversable.Sa fonction réciproque est la fonction exponentielle. Cela signifie que pour tout y réel, il existe un seul x= a y réel strictement positif,qui est la solution de l`équation:log a x=y. Réciproquement,l`équation a x =y a une seule solution x=log a y pour tout y réel strictement positif.

9 5.LES TABLEAUX DE VARIATION: Pour a>0 X 0 1 | 0 - X 0 1 | - 0 Pour 0

10 6.Graphique: est trasé pqr des points. Gf admit des asymptotes. 7.L`intersection avec l`xOy 8.Injectivité La fonction exponentielle est un fonction injective.On utilise l`injectivité pour résoudre dinéquations: 9.Surjectivité: La fonction logarithmique est une fonction surjective.On utilise la surjectivité pour résoudre dinéquations. La fonction logarithmique est une fonction surjective.On utilise la surjectivité pour résoudre dinéquations. log a x=y=>x= a y

11 10.Bijectivité Note: Les represéntations graphiques de la fonction exponentielle f: ->(0,), f(x)= a x f: ->(0, ), f(x)= a x et de la fonction logarithmique et de la fonction logarithmique f: (0,)->,,f(x)= log a x f: (0, )->,,f(x)= log a x sont deux courbes qui ont comme axe de symétrie la première bissectrice sont deux courbes qui ont comme axe de symétrie la première bissectrice

12 Équations logaritmiques et graphique f(x) = log c x (forme générale de BASE) f(x) = a log c b(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) x = h (Équation de lasymptote) f(x) = log 2 x Exemple : f(x) = 3 log 2 6(x – 1) + 5 Exemple: : xf(x) ½ 1)f(x) = log 2 x (forme générale de BASE où c 1 ) 1 1 ¼-2 Asymptote x = 0 Exemple :

13 xf(x) ½1 2)f(x) = log ½ x (forme générale de BASE où c ]0, 1[ ) 1 1 ¼2 Asymptote x = 0 xf(x) )f(x) = log 2 (x + 4) (forme c 1 et h = -4) 1 1 Asymptote x = - 4

14 1 1 Asymptote x = h f(x) = a log c b(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) x = h (Équation de lasymptote) c 1 c ] 0,1 [ Dom f = ] k, + Ima f = Ima f = xf(x) ) f(x) = log 2 (x + 4) (forme c 1 et h = -4) 1 1 Asymptote x = - 4

15 Résolutions dinéquations Exemple #1 : Résoudre log 2 (x + 4) + 5 – log 2 (x – 6) Asymptote x = 6 Asymptote x = - 4 log 2 (x + 4) + 5 – log 2 (x – 6) + 9.

16 Exemple #1 : Résoudre log 2 (x + 4) + 5 – log 2 (x – 6) + 9. log 2 (x + 4) + 5 – log 2 (x – 6) + 9 log 2 (x + 4) + log 2 (x – 6) 9 – 5 log 2 [ (x + 4) (x – 6) ] 4 (x + 4) (x – 6) 2 4 x 2 – 2x – x 2 – 2x – 40 0 x 1 – 5,40 x 2 7,40 Il faut que x + 4 > 0 et que x – 6 > 0 donc que x > - 4 et que x > 6 À rejeter Réponse : x [ 7,40, + x [ 7,40, +

17 Exemple #2 : (x + 3) log (1/2) (2x – 1) log 5 Réponse : x [ - 0,12, + x [ - 0,12, + Résoudre (1/2) x x – 1. log (1/2) x + 3 log 5 2x – 1. (x + 3) (- 0,3) (2x – 1) (0,7) - 0,3x – 0,9 1,4x – 0,7 - 0,3x – 0,9 1,4x – 0,7 - 0,2 1,7x - 0,12 x

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20 Base naturelle « e » Il existe un nombre irrationnel (comme ) qui se nomme : e 2, … e x = y x = log e y Donc, lorsque ce nombre constitue la base dun nombre exponentiel, on a que : Cependant, lorsque la base « c » du logarithme est e, on écrit ln x au lieu de log e x. Cest une constante mathématique très utilisée en science et que lon retrouve dans de nombreuses modélisations de phénomènes naturels. log e x = ln x

21 La fonction Exponentielle

22 Définition a x est défini. On veut attribuer un sens à a x pour x irrationelle.Pour cela, rappelons quelques résultats danaliyse mathématique concernant les suites convergentes: Soit q un nombre réel strictement positif et x un nombre réel quelconque : Si x est un nombre rationnel, alors a x est défini. On veut attribuer un sens à a x pour x irrationelle.Pour cela, rappelons quelques résultats danaliyse mathématique concernant les suites convergentes: 1. Pour tout nombre réel x, il existe deux suites des nombres rationnels 1. Pour tout nombre réel x, il existe deux suites des nombres rationnels,tel que Note:On peut prendre les suites comme les approximations décimales comme les approximations décimales Par défaut ;respectivement par excès: 2.Si a est un réel, a>0 et et est une suite convergente de nombres rationnels alors la suite et est aussi convergente. 3.Pour tous réels x et y, e x > e y x > y e x = e y x = y e x > 1 x > 0 e x < 1 x < 0

23 Propriétés des logarithmes base exposant = puissance TERMINOLOGIE Ex. : 3 2 = 9 LOIS DES EXPOSANTS a m a n = a m + n amamamam anananan = a m – n (ab) m = a m b m ab = amamamam bmbmbmbm m a - m = 1 amamamam (a m ) n = a mn

24 Proprietes de la fonction exponentielle 1.f(0)=1 2.La monotonie de f -f strictement croissante pour a>1,ce qui équivaut à: tous -f est strictement décroissante pour 0

25 5.LES TABLEAUX DE VARIATION: Pour a>0 X - 0 f(x)= 1 0 X - 0 f(x)= 0 1 Pour 0

26 6.Graphique: est trasée pqr des points. Gf admet des asymptotes. 7.L`intersection avec l`xOy 8.Injectivité La fonction exponentielle est un fonction injective.On utilise l`injectivité pour résoudre déquations. 9.Surjectivité: La fonction logarithmique est une fonction surjective.On utilise la surjectivité pour résoudre dinéquations. La fonction logarithmique est une fonction surjective.On utilise la surjectivité pour résoudre dinéquations..

27 10.Bijectivité Note: Les représentations graphiques de la fonction exponentielle f: ->(0,), f(x)= a x f: ->(0, ), f(x)= a x et de la fonction logarithmique et de la fonction logarithmique f: (0,)->,,f(x)= log a x f: (0, )->,,f(x)= log a x sont deux courbes qui ont comme axe de symétrie la première bissectrice sont deux courbes qui ont comme axe de symétrie la première bissectrice

28 De plus, nous pouvons ln au lieu du log afin de résoudre des équations ou inéquations exponentielles. Exemple : Réponse : x { -1,7 } 3 x = 2 x – 1 log 3 x = log 2 x – 1 x log 3 = (x – 1) log 2 x (0,477) = (x – 1) (0,3) 0,477x = 0,3x – 0,3 0,177x = – 0,3 x = – 1,7 Avec LOG Réponse : x { -1,7 } 3 x = 2 x – 1 ln 3 x = ln 2 x – 1 x ln 3 = (x – 1) ln 2 x (1,1) = (x – 1) (0,7) 1,1x = 0,7x – 0,7 0,4x = – 0,7 x = – 1,7 Avec LN

29 Équations et graphique f(x) = c x (forme générale de BASE) f(x) = ac b(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) f(x) = ac x – h + k (forme CANONIQUE) f(x) = 2 x Exemple : f(x) = 3 2 4(x – 3) + 5 Exemple : f(x) = 3 2 x – Exemple :

30 xf(x) 0 - 4, , ,9 1)f(x) = 2 3 x – 1 – 5 (forme générale TRANSFORMÉE) 1 1 y = - 5 (asymptote)

31 2)f(x) = a c b(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) 1 1 y = k (asymptote) y = k Équation de lasymptote Dom f = Dom f = Ima f = ] k, + c 1 c ] 0,1 [

32 7 2 = 7 2x – 1 Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 11 (7 2x – 1 ) – = 11 (7 2x – 1 ) – 539 Réponse : x { } 539 = 11 (7 2x – 1 ) 49 = 7 2x – 1 2 = 2x – 1 3 = 2x = x

33 Exemple #2 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = (6 x+1 ) – = (6 x+1 ) – = (6 x+1 ) = 6 x = 6 x+1 3 = x = x Réponse : x { 2 }

34 ( ) 4 = ( ) 3x Exemple #3 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = 625 ( ) 3x – = 625 ( ) 3x – 1 15 = ( ) 3x 1625 = x = x Réponse : x { } 15 = ( ) 3x = 3x 43 43

35 2 -16x = 2 -10x + 18 Exemple #4 : Résoudre ( ) 8x = 2 -10x ( ) 8x = 2 -10x + 18 Réponse : x { -3 } (2 -2 ) 8x = 2 -10x x = -10x = 6x -3 = x

36 Exemple : Trouver lensemble-solutions de (3 -0,08x ) < (3 -0,08x ) < 52 y = - 26 (asymptote) y = (3 -0,08x ) < ,08x < 3 -0,08x < ,08x < -1 x 12,5 1 3 Réponse : x ] 12,5, + x ] 12,5, +

37 À partir dun problème de « BACTÉRIES » … À partir dun problème de « BACTÉRIES » … Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. Sil y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de ? f(x) = 500 (2) x/ = 500 (2) x/5 256 = (2) x/5 2 8 = 2 x/5 8 = x 5 40 = x Réponse : Après 40 heures.

38 Exemple : On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux dintérêt annuel de 5%. On toffre trois options. a) Lintérêt est ajoutée au capital annuellement. b) Lintérêt est ajoutée au capital aux 4 mois. c) Lintérêt est ajoutée au capital à chaque mois. Laquelle est la plus avantageuse ? C(t) = 1000 (1 + ) 3t C(t) = 1000 (1,01667) 3t C(3) = 1000 (1,01667) 3(3) Après 3 ans… b) Règle générale… C(3) 1160,40 Réponse : 1160,40 $ 0,05 3 C(t) = 1000 (1 + ) 12t C(t) = 1000 (1, ) 12t C(3) = 1000 (1, ) 12(3) Après 3 ans… c) Règle générale… C(3) 1161,47 Réponse : 1161,47 $ 0,0512 C(t) = 1000 (1 + ) 1t C(t) = 1000 (1,05) t C(3) = 1000 (1,05) 3 Après 3 ans… a) Règle générale… C(3) 1157,63 Réponse : 1157,63 $ 0,051

39 Devoir: 1. Résoudre dans IR les équations suivantes : a)ex = 2b)ln(x) = 3 c)e2x+3 = 1 d)e2x – 5= e x e)ex = e4x²+5x+1 f) ln(2x+1) - ln(x-1) = 1 g)ln(x-2) + ln(x+1) = ln(3x-5) On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux dintérêt annuel de 5%. On toffre trois options. 2. On place 1000$ dans une banque pour 3 ans à un taux dintérêt annuel de 5%. On toffre trois options. a) Lintérêt est ajoutée au capital annuellement. b) Lintérêt est ajoutée au capital aux 4 mois. c) Lintérêt est ajoutée au capital à chaque mois.

40 Sources principales: Ghid pentru bacalaureatul bilingv francofon-Sorina Danaila, Gabriela Siclovan,Gabriela Sandulescu Programs utilisés: Microsoft Office 2007; Mathtype 6.7; Graph 4.3; Paint;


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