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Cos (180 0 – θ) = - cos θ. Soit un triangle obtusangle. Construisons la hauteur CD (h). D h C B A b a c x Posons θ pour représenter la mesure de langle.

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1 Cos (180 0 – θ) = - cos θ

2 Soit un triangle obtusangle. Construisons la hauteur CD (h). D h C B A b a c x Posons θ pour représenter la mesure de langle CBD. Construisons le segment BD perpendiculaire au segment CD Dans le triangle CDB, on a : h 2 = a 2 – x 2 Dans le triangle CDA, on a : h 2 = b 2 – ( c + x ) 2 Établissons le système :a 2 – x 2 = b 2 – (c + x) 2 θ (180 0 – ) θ Posons ( ) pour représenter la mesure de langle CBA. θ et posons x pour représenter la mesure de ce segment.

3 a 2 - x 2 = b 2 - (c + x) 2 Développons : a 2 - x 2 = b 2 - (c 2 + 2cx + x 2 ) a 2 - x 2 = b 2 - c 2 - 2cx - x 2 a 2 = b 2 - c 2 - 2cx - b 2 = - a 2 - c 2 - 2cx b 2 = a 2 + c 2 + 2cx Dans le triangle CDB, on a : cos θ = x a a cos θ = x Dans lexpression b 2 = a 2 + c 2 + 2cx, remplaçons x par a cos θ. Nous obtenons : b 2 = a 2 + c 2 + 2ca cos θ D h C B A b a c x θ (180 0 – ) θ -1 (- b 2 ) = -1 (- a 2 - c 2 - 2cx)

4 Dans le triangle CBA, on a : b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos ( θ ) Si b 2 = a 2 + c 2 + 2ac cos θ et queb 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos (180 0 – θ) a 2 + c 2 - 2ac cos (180 0 – θ ) = a 2 + c 2 + 2ac cos θ - 2ac cos (180 0 – θ ) = 2ac cos θ cos (180 0 – θ ) = - cos θ Alors, D h C B A b a c x θ (180 0 – ) θ ( loi des cosinus ) - a 2 - c 2 - 2ac b 2 = a 2 + c 2 + 2ca cos θ


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