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La forme exponentielle. La forme exponentielle est une forme décriture permettant de représenter une multiplication répétée dun même facteur. 2 3 = 2.

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1 La forme exponentielle

2 La forme exponentielle est une forme décriture permettant de représenter une multiplication répétée dun même facteur. 2 3 = 2 X 2 X = 3 X 3 X 3 X 3 X = À linverse, 5 X 5 X 5 X 5 = = 5 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 On ne multiplie pas les facteurs entre eux. On écrit le facteur et lexposant qui indique combien de fois le facteur sest multiplié par lui-même.

3 Vocabulaire Le nombre qui indique combien de fois un facteur (la base) se multiplie par lui-même sappelle On lécrit plus petit et on le place en haut et à droite du facteur. Le facteur qui se répète sappelle la 2 3 = 8 Le produit de cette multiplication répétée sappelle la lexposant. base. puissance. 2 3 = 2 X 2 X 2 = 8 Sous la forme exponentielle, lexposant signifie le nombre de fois que lon doit multiplier la base par elle-même. Cest la loi la plus importante. Loi 1 :

4 Formule les expressions suivantes sous la forme exponentielle. 5 X 5 X 5 X 5 X 5 X 5 = X 2 X 3 X 3 X 3 X 7 X 7 X 7 = 2 2 X 3 3 X 7 3 Remarque : On regroupe ensemble les bases semblables; on les réunit par le signe de multiplication puisque cest une multiplication de facteurs. 2 X 3 X 2 X 5 X 2 X 3 X 7 X 5 =2 3 X 3 2 X 5 2 X 7 Remarque :On peut permuter (changer de place) les facteurs, car ils sont tous unis par le signe de multiplication. 2 X 2 X 2 X 3 X 3 X 5 X 5 X 7 = 2 3 X 3 2 X 5 2 X 7 1,25 X 1,25 X 1,25 = 1, X 2 5 X 2 5 = X -7 X -7 X -7 =( -7 ) 4 On met des parenthèses, car cest toute la base -7 qui est affectée de lexposant 4. On met des parenthèses, car cest toute la base qui est affectée de lexposant

5 Détermine la puissance des expressions suivantes. 2 5 =32 avec la calculatrice, utiliser la touche : 5 3 = = xyxy 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 = 2 X 2 X 2 X 2 X 2 = Exemple :2 5 = 25 yxyx = : 32 yxyx ^ ou 1,17 4 = 1, ,5 2 =0,25 0,5 3 =0, = 1 X 1 X 1 X 1 X 1 X 1 = 1

6 2 5 X 2 5 = = 2 5 X 2 5 X 2 5 = = Selon la loi sur la multiplication de fractions (-2) 2 = (-2) 3 = (-2) 4 = (-2) 5 = -2 X -2 = -2 X -2 X -2 = -2 X -2 X -2 X -2 = -2 X -2 X -2 X -2 X -2 = Règle :Une base négative affectée dun exposant pair donne toujours une puissance positive. Quen déduis-tu ? Une base négative affectée dun exposant impair donne toujours une puissance négative. Base négative :

7 2 3 = 2 1 X 2 1 X X 2 2 =2525 soit X 2 1 X 2 1 X 2 1 X 2 1 = = x. x. x = Loi 2 :Lorsquon multiple des bases semblables, on additionne les exposants. Exemple : 2 3 = 2 X 2 X 2 peut sécrire Un nombre, sans exposant écrit, signifie que lexposant est 1 : Une lettre, sans exposant écrit, signifie que lexposant est 1 : 2 = 2 1 x = x X 2 1 X 2 1 = 2 3 Lorsquon multiple des bases semblables, on additionne les exposants. = 2 3 x3x3 Loi 2 :a m X a n = a m + n

8 Réduis les expressions suivantes. 3 3 X 3 2 =3535 x 2 X x 2 = x4x4 2 x X 2 x =2 X x X 2 X x = 2 2 x 2 = 4 x 2 On ne multiplie pas les bases entre elles; on additionne les exposants. 1,25 2 X 1,25 =1,25 2 X 1,25 1 =1, X = (-8) 2 X (-8) =( -8 ) 3 (ab) 2 X (ab) 2 = (ab) 4 (x + 3) X (x + 3) 2 =(x + 3) 3

9 Réduis les expressions suivantes. 2 2 X 3 X 2 3 X 5 X 3 2 X 5 2 = 2 5 X 3 3 X X 12 = 3 2 X 5 2 X 2 X 3 3 X 2 3 X 5 2 = 2 4 X 3 5 X 5 4 Écris les multiplications suivantes sous la forme exponentielle en utilisant des facteurs premiers. 2 X 3 X 6 X 9 X 4 =2 X 3 X 2 X 3 X 3 2 X 2 2 =2 4 X X 3 X 2 2 X 3 = 2 5 X 3 2

10 x 4 ÷ x 3 = Loi 3 :Lorsquon divise des bases semblables, on soustrait les exposants. Exemple : 2 5 ÷ 2 2 = Lorsquon divise des bases semblables, on soustrait les exposants. x 4 – 3 = Loi 3 :a m ÷ a n = a m - n 2 5 – 2 = Démonstration Écrivons 2 5 ÷ 2 2 sous la forme dune fraction : Une division est une fraction. Développons : = 2 X 2 X 2 X 2 X 2 2 X 2 Simplifions les facteurs communs au numérateur et au dénominateur : = x

11 Réduis les expressions suivantes. 3 5 ÷ 3 2 =3 2 7 ÷ 2 3 = 2424 x 2 ÷ x = x 4 x 3 ÷ 2 x 2 = x 3 ÷ x 2 = x 2 2 x 3 ÷ 2 x 2 = 2x2x 6x36x3 x2x2 = 6x6x ( a + 3 ) 1 =( a + 3 ) 3 ÷ ( a + 3 ) 2 = ( a + 3 )

12 2 2 ÷ 2 2 = 2 2 – 2 =2 0 = ÷ 2 3 = = ? Lorsquon divise des bases semblables, on soustrait les exposants. 2 7 ÷ 2 3 = 2 7 – 3 =2424

13 Loi 4 : Une base affectée de lexposant 0 est toujours égale à 1. On doit rendre lexposant positif en inversant la base. Démonstration Diminuer de 1 lexposant, cest diviser le puissance par la base. 2 1 ÷ =2 -2 = = X 2 1 Loi 4 : a 0 = 1 Un exposant négatif signifie que lon travaille avec une base inverse. Loi 5 : a -1 = a 1 Loi 5 : = = 1 2 = =

14 Calcule les expressions suivantes = = = 1 5 X 1 5 X 1 5 = = = 2 1 X 2 1 = = = 3 2 X 3 2 = 9 4 = 2,25 a b -3 = b a 3 = b3b3 a3a3 b a X b a = X b a = 1 2 = = 4

15 = car = X = 12 X = 32 = 3 4 Règle :Dans une expression fractionnaire, si un facteur au numérateur est affecté dun exposant négatif, on le place au dénominateur pour le rendre positif et vice-versa = a -2 = 1 a2a = Le numérateur est alors 1. 2 X 3 1 = = X 3 = 1 4 X 3 = X 3 X 5 -2 X 7 =3 X 7 2 X 5 2 = = 0, X 2 X X 3 -1 = 2 X X 5 X 3 2 = X 5 X 3 = 2 X 3 2 X 2 X 5 X 3 X 3 = 3 4,

16 Sous la forme exponentielle, lexposant signifie le nombre de fois que lon doit multiplier la base par elle-même. Loi 1 : Loi 2 : Lorsquon multiple des bases semblables, on additionne les exposants. Loi 2 :a m X a n = a m + n Loi 3 : Lorsquon divise des bases semblables, on soustrait les exposants. Loi 3 :a m ÷ a n = a m - n Loi 5 : Un exposant négatif signifie que lon travaille avec une base inverse. a -1 = a 1 Loi 5 : Loi 1 : a m = a X a X a X a X … m fois On doit rendre lexposant positif en inversant la base. Loi 4 : Loi 4 : a 0 = 1 Une base affectée de lexposant 0 est toujours égale à 1.

17 Simplifie les expressions suivantes. a m X a n = a m + n a m ÷ a n = a m - n a -1 = a 1 a m = a X a …m fois a 0 = 1 a 2 b 0 =a 2 X b 0 =a 2 X 1 =a2a2 (- 5) -2 = = X = 3a X 3a X a =3 2 a 3 = 2 X 5 -1 =1 5 2 X = 2 5 4a -1 =4 X a -1 = 4 X 1 a = 4 a x 2 3 X = 9a = 2 = 1 X 2 = 5252 X 50, car 2 X 5 X 5 = 50 3 = x -2 3 x X x = 1

18 Calcule les expressions suivantes. a m X a n = a m + n a m ÷ a n = a m - n a -1 = a 1 a m = a X a …m fois a 0 = ÷ 7 -2 = =7 2+2 =7 4 =2 401,car2 401 (2 x ) 3 =8x3,8x3, car (2 x ) 3 =2 x X 2 x X 2 x =2 3 x 3 = 4 5 = 1,25, car 4 5 = = 1, =0,01,car10 -2 = = = 0, X 5 -2 =125soit = =5 3 = soit5 5 X 5 -2 = = 5 3 = 5 5 X = ( 5 X 3 X 2 X 4 X 6 X 52 X 33 X 7 ) 0 =1 7 0 X 7 2 =car49,7 0 X 7 2 =1 X 7 2 = 7 2 = x38x3

19 c b -3 = cb 3 a -2 b 3 = b 3a 2 a 2 b -3 c -4 d 2 = a 2 c 4 b 3 d 2 a -2 b 2 a 2 b -2 =1 soita -2 a 2 b 2 b -2 =a -2+2 b 2+-2 =a 0 b 0 =1 X 1 =1 soit a -2 b 2 a 2 b -2 = a 2 b 2 = 1 ( x + 1 ) = 1 ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) = Que vaut lexposant dans cette expression ?4 x = 1 16 x = -2 On écrit les coefficients (les nombres) en premier.

20 - 5 3 = 1 ( - 5 ) -3 = Attention Inverser la base change le signe de lexposant. Inverser la base ne change pas le signe de la base. ( - 5 ) -2 = = 1 Cependant, Un exposant pair donne toujours une puissance positive. Il faut bien connaître ses lois.

21 2 X 2 2 X 2 X 2 X 2 = 2 X 2 = Précision =2 soit 2 4 ÷ 2 2 = 2 4 – 2 =2 soit = = = ÷ 2 4 = 2 2 – 4 =2 -2 = 12 soit = =

22 Loi 6 : Lorsquune puissance se retrouve à lintérieur dune parenthèse et que celle-ci est affectée dun exposant, on multiplie cet exposant avec lexposant de la base à lintérieur. Loi 6 : ( a m ) n = a m X n Exemples :(2 2 ) 3 =2 2 X 3 =2626 (a 5 ) 3 =a 5 X 3 = a 15 ( (-5) 3 ) 4 =(-5) 3 X 4 =(-5) 12 On met des parenthèses, car cest toute la base -5 qui est affectée par les exposants. Démonstration : (3 2 ) 3 =3 2 X 3 2 X 3 2 = 3636 Donc, (3 2 ) 3 = 3 2 X 3 = 3636

23 Loi 7 :Pour élever un produit de facteurs à une puissance quelconque, il suffit délever chaque facteur à cette puissance. Exemple : ( 2 2 X 3 ) 2 = La première loi dit : Sous la forme exponentielle, lexposant signifie le nombre de fois que lon doit multiplier la base par elle-même. ( 2 2 X 3 ) X ( 2 2 X 3 ), donc2 2 X 2 2 X 3 X 3 =2 4 X 3 2 ( 7 4 X 5 2 ) 3 =7 4 X 3 X 5 2 X 3 = 7 12 X 5 6 ( 2 X 5 ) 3 =2 3 X 5 3 Donc, ( 2 X 5 ) 3 = (2 X 5 ) X ( 2 X 5 ) X ( 2 X 5 ) = 2 3 X 5 3 Exemples : Loi 7 : (ab) m = a m b m 2 X 5 X 2 X 5 X 2 X 5 = ( 10 ) 3 = 8 X = 1 000

24 Cette loi nest vraie que sil ny a que des facteurs dans la parenthèse. Exemples :( 2 3 X 3 2 ) 2 = 2 6 X 3 4 = ( 2 3 X 3 2 ) 2 = ( 8 X 9 ) 2 = 72 2 =5 184 ( ) 2 = = 145 ( ) 2 = ( ) 2 = 17 2 =289 Faux ! Attention : 2 2 X 2 3 = = 2525 ( 2 2 ) 3 = 2 2 X 3 =2626 Loi 2 : Loi 6 : 64 X 81 = = 145 En calculant lintérieur de la parenthèse en premier :

25 Problèmes (6 3 ) 2 =6 (5 -1 ) 3 =car(5 -1 ) 3 =5 -3 = (2 2 X 5 3 ) 2 =2 4 X 5 6 (3x 2 ) 2 =9x 4, (-2y) 2 =4y 2 (-2y) 3 =-8y 3 (-5xy) 3 =-125x 3 y 3 (xy) -2 = (ab 2 a -3 b 4 ) -3 =car(ab 2 a -3 b 4 ) -3 = a -3 b -6 a 9 b -12 =a 6 b -18 = a6a6 b 18 car(xy) -2 = x -2 y -2 = 1 x2y2x2y2 car (3x 2 ) 2 =(3 1. x 2 ) 2 =3 2. x 4 =9. x 4 =9x 4 1 x2x2 1 y2y2 X = , 1 x2y2x2y2, a6a6 b 18,

26 Si on peut insérer un exposant à lintérieur, on peut aussi le sortir ! Écris les expressions suivantes selon la base exigée. 8 3 en base 2 :2 9, car 8 3 =(2 3 ) 3 = X 8 -3 en base 2 : 9 4 en base 3 :3 8, car 9 4 =(3 2 ) 4 = , car4 2 X 8 -3 =(2 2 ) 2 X (2 3 ) -3 = 2 4 X 2 -9 =2 -5 Ici, on laisse lexposant négatif, car on doit écrire lexpression en base 2. Pour écrire lexposant positif, on doit inverser la base; la base devient 1 et non X 2 -3 en base 2 :2, car4 2 X 2 -3 =(2 2 ) 2 X 2 -3 =2 4 X 2 -3 =2 (36) 3 en base 6 :6 6, car (36) 3 =(6 2 ) 3 =6 3 3 X 7 3 en base 21 :21 3,car3 3 X 7 3 = en base 2 et 3 : 2 6 X 3 3, car12 3 = (4 X 3) 3 = (2 2 X 3) 3 = 2 6 X 3 3 (a (n+2) ) 2 =a 2n+4,car(a (n+2) ) 2 =a 2(n+2) =a 2n+4 (3 X 7) 3 = Petit défi (a+b) (2n-6) 2 ÷ (a+b) (n-3) 4 = 1, car (a+b) (2n-6) 2 ÷ (a+b) (n-3) 4 = (a+b) 2(2n-6) ÷ (a+b) 4(n-3) = (a+b) (4n-12) ÷ (a+b) (4n-12) = 1 Une quantité divisée par elle-même donne 1.

27 Loi 8 :Lorsquun quotient de puissance (une fraction) se retrouve à lintérieur dune parenthèse et que celle-ci est affectée dun exposant, on multiplie cet exposant avec les exposants du numérateur et du dénominateur. Loi 8 : a b m a b m m = Démonstration : = 2 5 X 2 5 X 2 5 = Donc, = Calcule les expressions suivantes = = 4 9 3a 4b 2 3 = 3 3 a b 6 = 27 a 3 64 b 6 Attention : lexposant multiplie chacun des facteurs. 3 X a 4 X b 2 3 =

28 Calcule les expressions suivantes. x2x2 y 3 = x6x6 y3y3 2x 3y -2 = 3y 2x 2 = x -2 3y -1 2 = y 3x 2 2 = 15 3 ÷ 5 3 = = car15 3 ÷ 5 3 = (3 X 5) = 3 3 X = 3 3 = a 2 = a 2 = = car 2x 3y -2 = 9y 2 4x 2 car x -2 3y -1 2 = y2y2 9x 4 car 1 5a 2 = 1 25a 2 3 y 2 x 2 = 2 22 y 3 x 2 = , 9y 2 4x 2, y2y2 9x 4, 1 25a 2,

29 Les lois sur les exposants sont particulièrement intéressantes pour simplifier des expressions complexes. Simplifie les expressions suivantes = 2 X 3 X 7 2 X 3 X 3 2 = = = 2 3 X X = (2 x 3) 2 =6 2 =36, x = car = X = X= car x = 13 = X 22 = 5 2 X X X X 10 X 22 = 3 4 X X 10 2 X 5 4 X X 10 4 = 3 4 X 5 4 X X 5 2 X 10 6 = 3 2 X 5 2 X 10 4 = , X 22 = car 27 1,

30 Les exposants fractionnaires = 9 = 3 Un exposant fractionnaire signifie que lon doit calculer une racine. Avec ta calculatrice, calcule 9 :3 Avec ta calculatrice, calcule 9 yxyx ( 1 ÷ 2) = 3 2 Avec ta calculatrice, calcule 8 yxyx ( 1 ÷ 3) = 2 Avec ta calculatrice, calcule 8 : 3

31 La forme radicale Vocabulaire Le radical. Cest le symbole qui indique que lon doit extraire une racine. Lindice. Le radicande. Il indique la grandeur de lextraction. 8 3 = 2 La racine. Cest la réponse. 2 est donc la racine cubique de 8. Cest le nombre que lon doit extraire. Remarque : 3 se prononce la racine cubique. se prononce la racine carrée. Lindice est alors 2. 2 Par convention, on ne lécrit pas, mais il faut se souvenir quil est là.

32 8 3 La forme radicale Sens signifie : quel est le nombre qui multiplié 3 fois par lui-même donne 8 ? Ce nombre est 2, car 2 X 2 X 2 = signifie : quel est le nombre qui multiplié 2 fois par lui-même donne 25 ? Ce nombre est 5 car 5 X 5 = peut donc sécrire 25 peut donc sécrire Lexpression est donc égale à

33 Remarque La racine carrée dun nombre négatif nexiste pas dans les réels. Exemple : - 4 signifie : Quel est le nombre qui multiplié deux fois par lui-même donne – 4 ? Ce nombre nexiste pas, car2 X 2 = 4 -2 X -2 = provient de 2 X -2 ; La racine cubique dun nombre négatif existe dans les réels. Exemple : signifie : Quel est le nombre qui multiplié trois fois par lui-même donne – 8 ? Ce nombre est -2, car ce sont deux nombres différents. -2 X -2 X -2 =

34 Écrire une forme radicale en forme exponentielle. 8 3 Il faut se souvenir que lexposant de 8 est 1. 1 Cet exposant est le numérateur de la fraction. Lindice du radical est le dénominateur de la fraction. = Cette forme décriture est intéressante pour calculer rapidement certains radicandes. Exemple : 8 3 = = = 2 1 = 2 Loi 9 : amam n = a m n

35 Simplifie les expressions suivantes. x4x4 = car x4x4 = x 4 2 = 64 = 3 x 2 = = = 2 2 = 4 8 X 8 X 8 X 8 = 3 car 8 X 8 X 8 X 8 = X 2 3 X 2 3 X 2 3 = = = 2 4 = 16 = 4 2 (2 ) = = = = 4 car x = 3 3 x = 3 3 x = x = 3 1 X 1 3 x 3 3 = x 16 = 4 2 x2x2, 4,, 4, x,

36 Loi des radicaux La forme radicale peut sécrire en forme exponentielle, donc les lois sur les radicaux sont les mêmes que les lois sur les exposants. Nous allons nous attarder à deux lois en particulier : Loi 10 : a X b = a b b a Loi 11 : a b =

37 Loi 10 : a X b = a b Démonstration : 4 X 9 = 36 2X3=6 =6 Il est parfois plus précis dutiliser cette loi. Exemple : 3 X ,442… X 2,08… 2,9993… 3 3 X = = 33 = 3 Mais, Attention :La loi nest vraie que si les indices des radicaux sont les mêmes. 3 X = X 9 = 36 3 X 3 9 La loi ne sapplique pas.

38 b a Loi 11 : a b = Démonstration : 16 4 = 4 = 2 4 = 4 = 4 2 = 2 Il est parfois plus précis dutiliser cette loi. Exemple : ,47… 2,23… 2,004… Mais, 20 5 = 5 = 2 4 = Attention :La loi nest vraie que si les indices des radicaux sont les mêmes.

39 Calcule les expressions suivantes. 25 X = X = X 5 = = X = 64 = = = = = = 16 = = = 3 3

40 Calcule les expressions suivantes. 8x 3 = 3 = x3x3 8 X 33 x2x2 4 X = 4x 2 = 2. x =2x ou simplement 4x 2 = 2x 2. x = 2xou simplement 8x 3 = 3 a 2 + b 2 La loi ne sapplique pas, car ce ne sont pas des facteurs. a 2 X b 2 = b2b2 a2a2 X = a X b = ab 2x

41 Quelques défis. Donne la réponse en forme radicale. a 2 3 a 1 2 ÷= a = a = a 1 6 = a = 4 = 2 3 (x 4 y -1 )= 6 3 x 24 y -6 = x 24 3 y = x 8 y -2 = Calcule la valeur de cette expression. Simplifie lexpression : x8x8 y2y2 Soit 3 (x 4 y -1 )= = 2 = x 8 y -2 = x8x8 y2y2 3 (x 4 y -1 ) 6

42 Réduis au maximum cette expression; donne la réponse en base 4 et en base n n - 1 = 4 3n n n - 1 = 64 (2n + 1) 4 (3n – 1) = 4 (2n + 1) 4 (3n – 1) = 3 4 (2n + 1) 4 (3n – 1) = 3 4 6n (3n – 1) = 4 6n (3n – 1) ÷ = 4 6n + 3- (3n – 1) = 4 6n n + 1 = 4 3n + 4 = 4 = (2 2 ) 3n + 4 et 2 6n (3n + 4) = 2 6n + 8


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