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Chapitre trois Préférences et fonctions dutilité.

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1 Chapitre trois Préférences et fonctions dutilité

2 Rationalité en économie u Hypothèse de comportement: Un décideur choisit toujours son alternative préférée parmi lensemble des alternatives disponibles. u Nous avons précisé ce quétait lensemble des alternatives disponibles u Nous devons maintenant préciser ce que sont les préférences.

3 Relation de Préférence u Critère de comparaison de paniers de consommation tels que x et y: –Préférence stricte: x est strictement préféré à y. –Préférence faible: x est faiblement préférée à y. –indifference: x et y sont équivalent sur le plan des préférence. –-non comparabilité: x et y ne sont pas comparables sur le plan des préférences

4 Formalisme de relations binaires préférence faible; x y = x est faiblement préféré à y. ~ ~

5 Relations de Préférence x y et y x implique x y. (facteur symmétrique) u x y et (non y x) implique x y. (facteur symmétrique) u Non x y et non y x implique x N y. (facteur non-comparable)

6 Ensemble des paniers faiblement préférés, u Considérons un panier de référence z. On peut définir lensemble des paniers faiblement préférés à z, noté FP (z), par FP (z) = {x X: x z}

7 Ensemble des paniers faiblement dominés u De manière analogue, pour un panier de référence z, on peut définir lensemble des paniers faiblement dominés par z, noté FD (z), par FD (z) = {x X: x z}

8 courbes dindifférence u On appelle courbe dindifférence associée à z lensemble I (z) = FP (z) FD (z); Lensemble I (z) contient tous les paniers que le consommateur considère équivalents à z u Puisquune « courbe dindifférence » nest pas toujours une courbe, une meilleure appellation serait celle d « ensemble dindifférence ».

9 Exemple de préférences u C = 2 +,

10 Illustration x2x2x2x2 x1x1x1x1 45 o FP (9,5) = les paniers situés en zone blanche

11 Illustration x2x2x2x2 x1x1x1x1 45 o FD (9,5) = partie blanche

12 Illustration x2x2x2x2 x1x1x1x1 45 o I (9,5) = {(9,5),(5,9)}

13 Hypothèses sur les relations de préférence u Complétude: Pour nimporte quels deux paniers x et y il est toujours possible de formuler lun ou lautre des deux énoncés suivants: x y ou y x. u De manière équivalente, x N y nest jamais vrai

14 Hypothèses sur les relations de préférence u Réflexivité: Tout panier x est toujours faiblement préféré à lui- même, i.e. x x

15 Hypothèses sur les préférences u Transitivité: si x est faiblement préféré à y, et y est faiblement préféré à z, alors x est faiblement préféré à z; i.e. x y et y z x z. ~ ~ ~

16 Propriétés des courbes dindifférences x2x2 x1x1 x Tous les paniers sur la courbe I 1 sont strictement préférés à un panier sur I 2. y z Tous les paniers sur I 2 sont strictement préférés à tous les paniers sur I 3. I1I1 I2I2 I3I3

17 Propriétés des courbes dindifférence x2x2 x1x1 I(x) x FP(x), lensemble des paniers faiblement préférés à x.

18 Courbes dindifférence x2x2 x1x1 FP(x), FP(x) inclut I(x). x I(x)

19 Propriétés des courbes dindifférence x2x2 x1x1 SP(x), lensemble des paniers strictement préférés à x, ninclut pas I(x). x I(x)

20 Les courbes dindifférences ont une intersection vide x2x2x2x2 x1x1x1x1 x y z I1I1I1I1 I2I2 de I 1, x y. de I 2, x z. donc y z.

21 Les courbes dindifférence ont une intersection vide x2x2x2x2 x1x1x1x1 x y z I1I1I1I1 I2I2 De I 1, x y. De I 2, x z. Donc y z. Mais de I 1 de I 2 on voit que y z, une contradiction.

22 Représentation numérique dune préférence par une fonction dutilité Une fonction dutilité U: C R représente numériquement une préférence si et seulement si: x x U(x) > U(x) x x U(x) < U(x) x x U(x) = U(x). ~

23 Ordinalité de la représentation numérique (1) u Lutilité est un concept ordinal u Si U(x) = 6 et U(y) = 2 le panier x est strictement préféré au panier y. Mais on ne peut pas dire que x est préféré trois fois plus que y ou que le consommateur est trois fois plus heureux avec x quavec y

24 Ordinalité de la représentation numérique (2) u Si U est une fonction dutilité qui représente numériquement une préférence et si f: R R est une fonction (dune variable) monotone croissante, la fonction G: C R définie, pour x C, par G(x) = f(U(x)) est une représentation numérique de tout aussi légitime que U ~ ~

25 Existence de Fonction dUtilité u Une préférence qui nest pas complète, transitive ou réflexive ne peut pas être représentée numériquement par une fonction dutilité. u Une préférence complète, transitive et réflexive et continue peut être représentée numériquement par une fonction dutilité continue. u Continuité = changements légers dans les quantités de biens dun panier ne doivent entraîner que des changements légers dans le niveau de préférence.

26 Fonction dutilité & Courbes dindifférence u une courbe dindifférence contient des paniers équivalents sur le plan de la préférence. u Equivalent sur le plan de la préférence même niveau dutilité. u Donc, tous les paniers appartenant à une courbe dindifférence ont le même niveau dutilité.

27 Fonctions dutilité & courbes dindifférences u La comparaison de tous les paniers de consommation physiquement et biologiquement concevables fournit une collection complète de courbes dindifférence, chacune étant associée à un niveau dutilité. u Cette collection de courbes dindifférence représente complètement les préférences du consommateur.

28 Fonctions dUtilité & Courbes dindifférence U 6 U 4 U 2 x1x1 x2x2

29 Fonctions dUtilité & Courbes dindifférence U 6 U 5 U 4 U 3 U 2 U 1 x1x1 x2x2 Utility

30 Fonctions dUtilité & Courbes dindifférence x1x1 x2x2

31 x1x1 x2x2

32 x1x1 x2x2

33 x1x1 x2x2

34 x1x1 x2x2

35 x1x1

36 x1x1

37 x1x1

38 x1x1

39 x1x1

40 x1x1

41 x1x1

42 x1x1

43 x1x1

44 x1x1

45 Préférences globalement saturables u Un panier strictement préféré à tout autre panier est un point de saturation. u A quoi ressemble des courbes dindifférence de préférences faisant lobjet de saturation?

46 Courbes dindifférence présentant de la saturation globale x2x2x2x2 x1x1x1x1 PointDe Saturation

47 Courbes dindifférence présentant de la saturation globale x2x2x2x2 x1x1x1x1 Mieux mieux mieux point de saturation

48 Courbes dindifférence présentant de la saturation globale x2x2x2x2 x1x1x1x1 mieux Mieux mieux PointDe Saturation

49 Préférences localement saturables I (z 1,z 2 ) z1z1 z2z2 2 mieux

50 Préférences non-saturables u est localement non-saturable si pour tout panier z et pour nombre réel positif, il existe un panier y dans C strictement préféré à z tel que, pour tout bien j, y j -z j <

51 Deux propriétés des préférences: 1-Monotonie u Monotonicité croissante faible: Augmenter la quantité dun bien sans réduire celle des autres biens ne fait pas de mal et augmenter strictement la quantité de tous les biens fait du bien u Monotonie croissante stricte: Augmenter strictement la quantité dun bien sans réduire celle des autres biens fait du bien.

52 Exemple: préférence (Léontieff) pour des Compléments parfaits –Si un consommateur consomme toujours les biens 1 et 2 dans des proportions fixes (e.g. un pour un), alors les biens sont des compléments parfaits et seul le nombre de paires dunités des deux biens détermine le classement des paniers dans léchelle de préférence du consommateur

53 Courbes dindifférence pour des compléments parfaits x2x2x2x2 x1x1x1x1 I1I1 45 o Chacun des paniers (5,5), (5,9) et (9,5) contiennent 5 paires; ils sont donc tous équivalents.

54 Courbes dindifférence pour des compléments parfaits x2x2x2x2 x1x1x1x1 I2I2 I1I1 45 o Puisque chacun des paniers (5,5), (5,9) et (9,5) contient 5 paires, chacun est jugé moins préférable que le panier (9,9) qui contient 9 paires.

55 Les préférences Léontieff sont faiblement monotones croissantes mais ne sont pas strictement monotones croissantes

56 Fonctions dUtilité pour les préférences Léontieff u U(x 1,x 2 ) = min{x 1,x 2 }. V(x 1,x 2 ) = (min{x 1,x 2 }) 2 W(x 1,x 2 ) = -1/(min{x 1,x 2 })

57 Courbes dIndifférence Léontieff x2x2 x1x1 45 o min{x 1,x 2 } = min{x 1,x 2 } = 5 min{x 1,x 2 } = 3 U(x 1,x 2 ) = min{x 1,x 2 }

58 2: convexité u Convexité: un mélange de paniers est (faiblement) préféré à chacun des deux paniers du mélange si ceux-ci sont équivalents. u Ex: Le mélange des paniers x and y (noté z) est z = (0.5)x + (0.5)y. z doit être faiblement préféré à x ou y si x et y sont équivalents.

59 Convexité. x2x2x2x2 y2y2y2y2 x 2 +y 2 2 x1x1x1x1 y1y1y1y1 x 1 +y 1 2 x y z = x+y 2 Est strictement préféré à x et y.

60 Convexité. x2x2x2x2 y2y2y2y2 x1x1x1x1 y1y1y1y1 x y z =(tx 1 +(1-t)y 1, tx 2 +(1-t)y 2 ) est préféré à x et y pour tous 0 < t < 1.

61 Convexité stricte x2x2x2x2 y2y2y2y2 x1x1x1x1 y1y1y1y1 x y Préférences sont strictement convexes si tous les mélanges z sont strictement préférés aux paniers x and y. z

62 Convexité faible. x y z Préférences sont faiblement convexes si le mélange z is faiblement préféré à deux paniers indifférents. x z y

63 Exemple; Préférences pour des substituts parfaits –Si un consommateur considère toujours les unités de biens 1 et 2 comme parfaitement interchangeables, alors les deux biens sont des substituts parfaits et seulement la quantité totale des deux biens contenue dans les paniers détermine le classement relatif de ces paniers dans léchelle de préférence du consommateur.

64 Courbes dindifférence pour des substituts parfaits x2x2x2x2 x1x1x1x pentes constantes à - 1. I2I2 I1I1 Paniers sur I 2 contiennent une quantité totale de 15 unités et sont strictement préférés à sont strictement préférés à tous les paniers sur I 1, qui ne contiennent que 8 unités

65 Les préférences pour des substituts parfaits sont faiblement convexes mais ne sont pas strictement convexes

66 Fonctions dutilité représentant des préférences pour des substituts parfaits u U(x 1,x 2 ) = x 1 + x 2. V(x 1,x 2 ) = (x 1 + x 2 ) 1/2 W(x 1,x 2 ) = ln(x 1 + x 2 ).

67 Carte dindifférence de préférences pour des Substituts parfaits x1x1 x2x2 x 1 + x 2 = 5 x 1 + x 2 = 9 x 1 + x 2 = 13 U(x 1,x 2 ) = x 1 + x 2.

68 Préférences non convexes x2x2x2x2 y2y2y2y2 x1x1x1x1 y1y1y1y1 z mieux Le mélange z est jugé moins préférable que x ou y.

69 Autres Préférences Non- Convexes x2x2x2x2 y2y2y2y2 x1x1x1x1 y1y1y1y1 z mieux Le mélange z est jugé moins préférable que x ou y.

70 Pentes de courbes dindifférences u La pente dune courbe dindifférence évaluée à un panier quelconque (x 1,…x n ) est le taux marginal de substitution (TMS (x 1,…x n )). u Comment calculer ce TMS ?

71 Taux Marginal de Substitution x2x2x2x2 x1x1x1x1 x TMS à x est la pente de la courbe dindifférence à x

72 Taux Marginal de Substitution x2x2x2x2 x1x1x1x1 TMS à x est lim {x 2 /x 1 } x 1 0 = dx 2 /dx 1 à x TMS à x est lim { x 2 / x 1 } x 1 0 = dx 2 /dx 1 à x x 2 x 1 x

73 Taux Marginal de Substitution x2x2x2x2 x1x1 dx 2 dx 1 dx 2 = TMS dx 1 donc, à x, TMS est le taux au quel le consommateur est disposé à échanger du bien 2 pour obtenir une « petite » quantité de bien 1. x

74 Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites u Dans un univers à deux biens (où on peut représenter toute courbe dindifférence I (z) dans le plan à 2 dimensions), la courbe en question est caractérisée, si les préférences sont continues et monotones croissantes, par léquation

75 Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites u Sous ces deux hypothèses, la relation est fonctionnelle (elle associe à toute quantité de bien 1 lunique quantité de bien 2 qui donne au consommateur le même niveau dutilité que z)

76 Calcul du TMS par le théorème des fonctions implicites (cas dérivable)

77 u

78 Utilités Marginales u Marginal signifie infinitésimal ». u Lutilité marginale du bien i sinterprète comme la variation dutilité qui résulte dun « petit » changement dans la consommation de bien i i.e.

79 La valeur de lutilité marginale dépend de la fonction dutilité utilisée pour représenter les préférences u Ex: si je mesure les préférences par la fonction dutilité U(x 1,x 2 ) = x 1 a x 2 b

80 La valeur de lutilité marginale dépend de la fonction dutilité utilisée pour représenter les préférences u Mais si je mesure les mêmes préférences par la fonction dutilité U(x 1,x 2 ) = alnx 1 + blnx 2

81 Le taux marginal de substitution ne dépend pas de la représentation numérique des préférences u Si V = f(U) où f est une fonction monotone croissante, alors Donc la valeur du TMS nest pas affectée par la transformation de la fonction dutilité au moyen dune fonction monotone croissante.

82 TMS & Courbes dindifférences mieux pire bien 2 Bien 1 2 biens une courbe dindifférence à pente négative TMS < 0.

83 TMS & Courbes dIndifférences mieux pire bien 2 mal 1 I bien et 1 « mal » une courbe dindifférence à pente positive TMS > 0.

84 TMS & Courbes dIndifférence bien 2 bien 1 TMS = - 5 TMS = TMS augmente avec x 1 (devient moins négatif) si les préférences sont strictement convexes et monotones croissantes.

85

86 Exemples de préférences (n=2) (quasi-linéarité) u Une fonction dutilité de la forme U(x 1,x 2 ) = f(x 1 ) + x 2 est linéaire par rapport à x 2 et est appelée quasi-linéaire. u E.g. U(x 1,x 2 ) = 2x 1 1/2 + x 2.

87 Carte dindifférence de préférences Quasi-linéaires x2x2 x1x1 Les courbes sont des copies par translation verticale des autres.

88 TMS pour les préférences quasi- linéaires u U(x 1,x 2 ) = f(x 1 ) + x 2. donc

89 TMS pour préférences quasi- linéaires TMS = - f (x 1 ) ne dépend pas de x 2 Donc la pente dune courbe dindifférence associée à une préférence quasi-linéaire est constante le long de toute ligne verticale (sur laquelle x 1 est constante).

90 TMS pour des préférences quasi- linéaires x2x2 x1x1 chaque courbe est une translation verticale dune autre. TMS est constant le long de toute verticale ( x 1 constant). TMS = - f(x 1 ) x 1

91 Exemples de préférences (n=2) (Cobb-Douglas) u Une fonction dutilité de la forme U(x 1,x 2 ) = x 1 a x 2 b avec a > 0 et b > 0 représente des préférences dites Cobb-Douglas u E.g. U(x 1,x 2 ) = x 1 1/2 x 2 1/2 (a = b = 1/2) V(x 1,x 2 ) = x 1 x 2 3 (a = 1, b = 3)

92 Carte dindifférence Cobb- Douglas x2x2 x1x1 Les courbes sont des Hyperboles asymptotiques aux axes


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