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Réalisé par R. MARRAKHA. KHAYAR Khayar-marrakh Université Hassan-II Faculté des sciences Aïn chock Casablanca Professeurs assistants - département de physique.

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1 Réalisé par R. MARRAKHA. KHAYAR Khayar-marrakh Université Hassan-II Faculté des sciences Aïn chock Casablanca Professeurs assistants - département de physique sphériques

2 Les coordonnées cartésiennes employées habituellement pour représenter un point dans l'espace à trois dimensions ne sont pas toujours les plus appropriées. On retiendra deux autres types de coordonnées pour repérer un point ou décrire un champ ( scalaire ou vectoriel ) : les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques.

3 Khayar-marrakh Pré requis : Objectifs : Au terme de ce travail le participant doit être capable de : Système de coordonnées cartésiennes et cylindriques Grandeurs scalaires et vectorielles Calcul vectoriel : produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte… Repérer un point de lespace en utilisant le système des coordonnées sphériques Passer des coordonnées cylindriques et sphériques aux coordonnées cartésiennes Utiliser ces systèmes de coordonnées dans la résolution des problèmes présentant une symétrie sphérique

4 Coordonnées sphériques Khayar-marrakh

5 y x z O y x z O Peut on repérer le point M dans le demi plan constante par de nouvelles coordonnées ? On trace les axes du repère et on exprime M en coordonnées cylindriques. Coordonnées Domaine de variation Oui, le point M est parfaitement repéré dans le plan méridien, si on connait la distance OM = r Khayar-marrakh y x z O z (,, ) z Voici un point M dans lespace. r = OM ] 0, + [ = ( Ox +, Om) [ 0, 2 [ Ox + le demi-axe positif (origine des phases) m r = ( Oz +, OM) [ 0, ] Oz + le demi-axe positif (origine des phases) r Ainsi le point M est repéré par les nouvelles coordonnées r, et. Ces coordonnées sont appelées coordonnées sphériques. et langle. Comment le repérer ? Origine : le point O Question : Réponse : M

6 Considérons le triangle rectangle Omm. Khayar-marrakh exprimons x et y en fonction de et h ( r, ) P P y x z M m Dans ce triangle on a : Soient r, et les coordonnées du point M. exprimons et z en fonction de r et Considérons le triangle rectangle OOM. r Dans le demi-plan P z O O z O O M r Dans ce triangle on a : Dans le plan P ( Oxy ) m x y y m m x O Expressions de r, et en fonction de x, y et z. Objectif : On cherche à exprimer x, y et z en fonction de r, et f ( r, ) g ( r, )

7 Surfaces de Coordonnées Deuxième surface de coordonnée 0 ( r et varient respectivement de 0 à + et de 0 à 2 ) Troisième surface de coordonnée 0 ( r et varient respectivement de 0 à + et de 0 à ) Première surface de coordonnée r = r 0 ( et varient respectivement de 0 à et de 0 à 2 ) Définition : Une surface de coordonnée est lensemble de points telle que lune des trois coordonnées est constante. Khayar-marrakh

8 Le point M décrit un cercle de centre O' et de rayon r o sin. Pour = 2, =, - et - : Pour θ quelconque : On obtient un ensemble de cercles d axe Oz et de rayon r o sin i ( i = 2, 3…) 1 Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier et ? Khayar-marrakh Lensemble des cercles forme une sphère de centre O et de rayon r o. [ 0, 2 [ Lorsque on fait varier θ de façon continue … Question : r r 0 m Réponse : O z y x Si on fixe r ( r r Soit M un point de coordonnées r, et. [ 0, ] Pour = : Dans une rotation = 2 … Première surface de coordonnée r = r o r 0 sin θ 1 O'O' M r 0 sin θ 2 2 r0r0 Conclusion : Ces la raison pour laquelle ce système est appelé système de coordonnées sphériques La première surface de coordonnée décrite par le point M est une sphère de centre O et de rayon r o.

9 Le point M décrit un cercle daxe Oz et de rayon r 1 sin. Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier et r ? Lorsque on fait varier r de façon continue … Soit M un point de coordonnées r, et. Réponse : Khayar-marrakh z Lensemble de cercles daxe Oz et de rayons r sin θ o forme un cône daxe Oz et de demi angle au sommet. On obtient un ensemble de cercles d axe Oz et de rayons r i sin o ( i = 2, 3… ). Si on fixe ( Pour r quelconque : M M M [ 0, 2 [ Question : r m O y x Pour r = r : Dans une rotation = 2 … Pour r r, r = r 3 et r = r 4 … r1r1 M r2r2 r3r3 r4r4 z ] 0, [ Deuxième surface de coordonnée = o Conclusion : La deuxième surface de coordonnée décrite par le point M est un cône daxe Oz et de demi angle au sommet o.

10 Pour r r, r = r 3 et r = r 4 … Dans une rotation = … Khayar-marrakh r2r2 r4r4 r r1r1 m M r1r1 r2r2 z M r3r3 M r4r4 M r3r3 O Réponse : Si on fixe ( Pour r quelconque : [ 0, ] Question : ] 0, [ Pour r = r : x y Conclusion : La troisième surface de coordonnée décrite par le point M est un demi-plan ( le méridien ) ayant laxe Oz pour frontière et faisant un angle 0 avec l axe Ox +. Troisième surface de coordonnée = 0 Le point M décrit un demi-cercle de centre O et de rayon r 1. L ensemble des demi-cercles forme un demi- disque de rayon infini demi-plan. On obtient des demi-cercles de centre O et de rayons r i ( i = 2, 3, 4 … ). Soit M un point de coordonnées r, et. Lorsque on fait varier r de façon continue … Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier et r ?

11 Khayar-marrakh Axes de Coordonnées Axe des r = r o et = o Axe des r = r o et = o Axe des r = o et = o Définition : Un axe de coordonnées est lintersection de deux surfaces de coordonnées, cest-à-dire lensemble des points obtenus en fixant les valeurs de deux coordonnées et en laissant libre la troisième.

12 Khayar-marrakh x y z o Leur intersection donne laxe (orienté) des r = = o et Axe des r On trace les deux surfaces de coordonnées: r Conclusion : Lensemble des points M appartenant à lintersection du cône, de sommet O, et du demi-plan o ; forme une demi-droite dorigine O. Cette demi-droite est appelée axe des r.

13 Khayar-marrakh O z y x Leur intersection donne laxe (orienté) des Axe des On trace les deux surfaces de coordonnées: r = r o = o et x O z Conclusion : Lensemble des points M appartenant à lintersection de la sphère, de rayon r o, et du demi-plan o ; forme un demi-cercle de centre O et dont le diamètre est porté par laxe Oz. Ce demi-cercle est appelé axe des.

14 Khayar-marrakh y x z o Axe des r = r o = o et Leur intersection donne laxe (orienté) des Conclusion : Lensemble des points M appartenant à lintersection de la sphère, de rayon r o, et du cône, de demi-angle au sommet o ; forme une circonférence daxe Oz. Ce cercle est appelé axe des. On trace les deux surfaces de coordonnées:

15 , et changent de direction et de sens, suivant la position du point M dans lespace. est le même vecteur unitaire dans les deux systèmes cylindrique et sphérique. Khayar-marrakh e O Vecteurs unitaires e Traçons à partir du point M les trois axes de coordonnées. A partir de M on trace les vecteurs unitaires tangents et dans le sens croissant de ces trois axes. e Axes des vecteurs unitaires Pour un autre point M e r r erer M erer M Conclusion : sont respectivement les vecteurs unitaires associés aux axes des r, des et des dirigés dans le sens croissant des variables r, et. z O y x ayant le même sens que O r. tangent à laxe des et dans le sens de la rotation r

16 Khayar-marrakh Etape 1 : passage du système sphérique au système cylindrique. Etape 2 : passage au système cartésien. Expressions de, et dans le système cartésien z M ezez e erer e y e e z ezez P y O'O' e M erer e e z x O x O z r erer erer r Dans le demi-plan P e Procédure : dans le système sphérique e on a la configuration suivante : et dans le système cylindrique e sont identiques e ezez e erer e e Remplaçant, maintenant, et par leurs expressions dans le système cartésien. Objectif :On cherche à exprimer, et dans le système cartésien erer e e Etape 2 Etape 1 Les des deux étapes donnent: résultat établi au diapositive 16 (coordonnées cylindriques)

17 O z y x MM ' = M 2 M ' + M 1 M 2 + MM 1 Quelle est lexpression du vecteur déplacement élémentaire dans ce système de coordonnées ? d l = MM' r r d r MM ' = MM 1 + M 1 M 2 + M 2 M ' M 2 M ' = Deuxième déplacement suivant laxe des Le déplacement élémentaire est le résultat de trois déplacements : de M à M ' Khayar-marrakh MM 1 = M 1 M 2 = M 2 M' = r sin d r d dr Troisième déplacement suivant laxe des r d M Déplacement élémentaire Soient M et M ' deux points de lespace. Premier déplacement suivant laxe des de M vers M 1 MM 1 = r d dr r sin d Question : Réponse : de M 1 vers M 2 de M 2 vers M ' N.B. : M est infiniment voisin de M. M 1 M 2 = M'M' M1M1 M2M2 r sin d ou encore M r M'M' r d r d + d MM1M1 r d r M1M1 M2M2 r d r d M2M2 M'M' r d r + dr d O'O'

18 Khayar-marrakh Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant laxe des y x z O suivi dun autre suivant laxe des, Surfaces élémentaires r = constante Un déplacement élémentaire MM, sur la sphère r = constante définit un élément de surface. On se trouve sur la sphère derayon r. dS = Λ r d dS r 2 sin d d = r sin d A retenir : dS = r 2 sin d d N.B. : M est infiniment voisin de M. on obtient un élément de surface d r d r sin dS M M

19 Khayar-marrakh Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant laxe des suivi dun autre suivant laxe des r, = constante Un déplacement élémentaire MM', sur la surface = constante, définit un élément de surface. On se trouve sur la surface latérale du cône. dS = Λ r sin dr d = M'M' M r sin d dr A retenir : dS = r sin dr d N.B. : M est infiniment voisin de M. dS on obtient un élément de surface z O x y

20 Khayar-marrakh Un déplacement élémentaire M M ', sur la surface = constante, définit un élément de surface. r dr d = Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant laxe des suivi dun autre suivant laxe des r, = constante On se trouve sur le demi-plan. dS = Λ r d dS dr A retenir : dS = r dr d M M'M' dS z O x y N.B. : M' est infiniment voisin de M. on obtient un élément de surface

21 et effectuons des déplacements élémentaires le long de ces axes. On obtient le volume élémentaire d Khayar-marrakh r d r d = r 2 sin dr d d Volume élémentaire Soient M et M' deux points de lespace. N.B. : M' est infiniment voisin de M. Un déplacement élémentaire MM' définit un élément de volume d Λ d = ( ) Traçons dabord les axes de coordonnées Surface de la base A retenir : d = r 2 sin dr d d M'M' M dr r sin d z y x O d r

22 Nous désirons exprimer nos remerciements à tous les collègues qui, par leur aide et leur encouragement, nous ont permis dachever ce travail. Septembre 2009


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