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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon La droite dans R 3 La droite dans R3R3.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon La droite dans R 3 La droite dans R3R3

2 Introduction Dans cette présentation, nous verrons comment obtenir une équation dune droite de R 3 dont certaines caracté- ristiques sont décrites à laide des vecteurs. Pour décrire une droite de R 3, on peut : donner un point et un vecteur directeur de la droite; donner un point et deux vecteurs perpendiculaires à la droite. donner deux points de la droite;

3 Vecteur position Un repère dune droite est constitué dun point de celle-ci et dun vecteur directeur (parallèle à la droite). À partir de lorigine du vecteur directeur, on peut décrire chaque point de la droite par un vecteur position. En considérant que t varie sur lensemble des réels, on obtient alors une équation vectorielle de la droite, soit : Remarque : OX = OP + t D, où t est un nombre réel. Dans R 2 et R 3, les vecteurs OX, OP et D sexpriment en fonction de la base. On utilisera la base orthonormée usuelle.

4 Exemple En considérant les vecteurs algébriques dans la base usuelle, on a léquation vectorielle : Trouver une équation vectorielle et des équations paramétriques, symétriques et cartésiennes de la droite passant par le point R(3; 4; 5) et parallèle au vecteur D = (2; 6; 3). S Soit P(x ; y; z), un point quelconque de la droite, alors le vecteur RP est parallèle au vecteur directeur. Il existe donc un scalaire t tel que : Les équations paramétriques sont alors : OP = OR + t D (x; y; z) = (3; 4; 5) + t (2; 6; 3) = (3 + 2t; 4 + 6t; 5 + 3t) : x = 3 + 2t y = 4 + 6t z = 5 + 3t, où t est un nombre réel. S Pour trouver des équations symétriques, il faut isoler le paramètre dans chacune des équations et les égaler. On trouve alors les équations symétriques : t = x – 3 2 = y – 4 6 donne : 6x – 2y – 10 = 0 (plan parallèle à laxe des z). = z – 5 3 S On obtient les équations cartésiennes en égalant les rapports deux à deux. x – 3 2 = y – 4 6 y – 4 6 = z – 5 3 donne : 3y – 6z + 18 = 0 (plan parallèle à laxe des x). S On obtient donc le système déquations : Cest une description cartésienne de la droite. 6x – 2y – 10 = 0 3y – 6z + 18 = 0 Il nest pas nécessaire de prendre les deux autres rapports car ils donnent un troisième plan passant par la même droite. Remarque :

5 Exercice En considérant les vecteurs algébriques dans la base usuelle, on a léquation vectorielle : Trouver une équation vectorielle et des équations paramétriques, symétriques et cartésiennes de la droite passant par le point R(3; – 2; 4) et parallèle au vecteur D = (–2; 2; 3). S Soit P(x ; y; z), un point quelconque de la droite, alors le vecteur RP est parallèle au vecteur directeur. Il existe donc un scalaire t tel que : Les équations paramétriques sont alors : OP = OR + t D (x; y; z) = (3; –2; 4) + t (–2; 2; 3) = (3 – 2t; –2 + 2t; 4 + 3t) : x = 3 – 2t y = –2 + 2t z = 4 + 3t, où t est un nombre réel. S Pour trouver des équations symétriques, il faut isoler le paramètre dans chacune des équations et les égaler. On trouve alors les équations symétriques : t = x – 3 –2 = y donne : 2x + 2y – 2 = 0 (plan parallèle à laxe des z). = z – 4 3 S On obtient les équations cartésiennes en égalant les rapports deux à deux. x – 3 –2 = y y = z – 4 3 donne : 3y – 2z + 14 = 0 (plan parallèle à laxe des x). S On obtient donc le système déquations : Cest une description cartésienne de la droite. 2x + 2y – 2 = 0 3y – 2z + 14 = 0

6 Équations paramétriques dune droite de R 3 Considérons une droite dont on connaît un point R(x 1 ; y 1 ; z 1 ) et un vecteur direc- teur D = (a; b; c). Soit un point P(x; y; z) de cette droite, alors : (x; y; z) = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) + t (a; b; c) = (x 1 + a t; y 1 + b t; z 1 + c t), où t est un nombre réel. Remarque : Les coefficients du paramètre donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes donnent un point de la droite. Un point et un vecteur directeur sont donnés Cela donne léquation vectorielle : OP = OR + t D, où t est un nombre réel. Doù lon tire : : x = x 1 + a t y = y 1 + b t z = z 1 + c t, où t est un nombre réel. OP = OR + RP, doù :

7 Équations vectorielle et paramétriques Les coefficients du paramètre donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes donnent un point de la droite. Équation vectorielle et équations paramétriques Définition Soit R(x 1 ; y 1 ; z 1 ), un point dune droite, et D = (a; b; c), un vecteur directeur de cette droite. On appelle équation vectorielle de la droite léquation : (x; y; z) = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) + t (a; b; c) = (x 1 + a t; y 1 + b t ; z 1 + c t), où t est un nombre réel. OP = OR + t D, où t est un nombre réel. On appelle équations paramétriques de la droite les équations : : x = x 1 + a t y = y 1 + b t z = z 1 + c t, où t est un nombre réel. En exprimant les vecteurs dans la base usuelle de R 3, cela donne :

8 Équations symétriques dune droite de R 3 Équation symétrique Définition Soit R(x 1 ; y 1 ; d 1 ), un point dune droite, et D = (a; b; c), un vecteur directeur de cette droite. Les équations symétriques de la droite sont : x – x 1 a = y – y 1 b, si a 0, b 0 et c 0. Remarque : Dans les équations symétriques de la droite, les dénominateurs donnent un vecteur directeur de la droite et les constantes donnent un point de la droite. = z – z 1 c

9 Équations paramétriques dune droite de R 3 pour trouver les équations paramétriques dune droite dont un point R et un vecteur directeur sont connus 1.Construire le vecteur allant du point R à un point P quelconque. 2.Établir léquation : 3.Utiliser légalité vectorielle pour écrire les équations para- métriques. Procédure OP = OR + t D, où t est un nombre réel. : x = x 1 + a t y = y 1 + b t z = z 1 + c t, où t est un nombre réel. Remarque : Lorsque deux points de la droite sont connus, on peut déterminer un vecteur directeur en considérant le vecteur dont lorigine est un de ces points et dont lextrémité est lautre point.

10 Exemple Trouver une description paramétrique de la droite passant par les points P(1; –2; 4) et R(3; 4; 8). S Déterminons le vecteur PR en consi- dérant les vecteurs positions des points P et R. Les équations paramétriques sont alors : PR = OR – OP : x = 1 + t y = –2 + 3t z = 4 + 2t, où t est un nombre réel. S = (3; 4; 8) – (1; –2; 4) = (2; 6; 4) Comme vecteur directeur, on peut considérer PR = (2; 6; 4), ou bien D= (1; 3; 2) qui est parallèle àPR. On peut choisir lun ou lautre des points donnés pour écrire les équations.

11 Exercice Le vecteur directeur est : Trouver une description paramétrique de la droite passant par les points P(3; –1; 5) et R(2; 4; 1). S Déterminons le vecteur PR en considérant les vecteurs positions des points P et R. Les équations paramétriques sont alors : PR = OR – OP : x = 3 – t y = –1 + 5t z = 5 – 4t, où s et t sont des nombres réels. S = (2; 4; 1) – (3; –1; 5) = (–1; 5; –4) PR= (–1; 5; –4). On peut choisir lun ou lautre des points donnés pour écrire les équations. ou : x = 2 –s y = 4 + 5s z = 1 – 4s

12 La droite, intersection de plans On peut décrire une droite dans lespace en donnant les équations de deux plans concourants. Cependant, si on veut connaître un point et un vecteur directeur, il est plus simple de résoudre le système déquations linéaires formé de ces deux équations. Comme il y a deux équations pour trois inconnues, on a une variable libre que lon représente par un paramètre pour obtenir les équations paramétriques de la droite dintersection; on a alors la description en fonction dun de ses points et dun vecteur directeur. Pour connaître un vecteur directeur de la droite, on peut alors effectuer le produit vectoriel des vecteurs normaux à ces plans.

13 Exemple Donner un point et un vecteur directeur de la droite définie par lintersection des plans : 1 : x – 2y + 3z = 5 et 2 : 2x – 3y + 5z = 8 On a donc une variable libre et, en posant z = t, on obtient que lensemble-solution est : Résolvons le système formé des deux équations de plans par la méthode de Gauss-Jordan. On obtient alors : SS L1L1 L 2 – 2L 1 1–235 2–358 1–235 01–1–2 L 1 + 2L 2 L2L –1 –2 Cet ensemble est formé des points dune droite que lon peut également représenter par les équations paramétriques : : x = 1 – t y = –2 + t z = t On peut conclure que la droite passe par le point R(1; –2; 0) et quelle est parallèle au vecteur = (–1; 1; 1). D {(x; y; z) | x = 1 – t, y = –2 + t, z = t}

14 Exercice Donner un point et un vecteur directeur de la droite définie par lintersection des plans : 1 : x + 3y – 12z – 28 = 0 et 2 : 3x + 10y – 41z – 92 = 0 On a donc une variable libre et, en posant z = t, on obtient que lensemble-solution est : Résolvons le système formé des deux équations de plans par la méthode de Gauss-Jordan. On obtient alors : SS L1L1 L 2 – 3L 1 13– – – –58 L 1 – 3L 2 L2L –5 8 Cet ensemble est formé des points dune droite que lon peut également représenter par les équations paramétriques : : x = 4 – 3t y = 8 + 5t z = t On peut conclure que la droite passe par le point R(4; 8; 0) et quelle est parallèle au vecteur = (–3; 5; 1). D {(x; y; z) | x = 4 – 3t, y = 8 + 5t, z = t}

15 Positions relatives de droites dans R 3 Droites parallèles Caractéristique des droites parallèles Les vecteurs directeurs sont parallèles : k R tel que D 1 = k D 2 Caractéristiques des droites parallèles distinctes Lorsquun point P(x 1 ; y 1 ; z 1 ) est sur lune des droites, il ne peut être sur lautre droite : Il ny a aucun point dintersection. Lorsquun point P(x 1 ; y 1 ; z 1 ) est sur lune des droites, il est sur lautre droite : Les droites ont une infinité de points dintersection. Caractéristiques des droites parallèles confondues si P, alors P 2

16 Positions relatives de droites dans R 3 Droites non parallèles Caractéristique des droites non parallèles Les vecteurs directeurs ne sont pas parallèles : k R, D1 k D2D1 k D2 Les droites ont un et un seul point dintersection. Lorsquun point P(x 1 ; y 1 ; z 1 ) est sur lune des droites, il ne peut être sur lautre droite : Les droites nont aucun point dinter- section. Caractéristiques des droites gauches si P, alors P 2 Caractéristique des droites concourantes

17 Exemple a Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point dintersection, le cas échéant. SS = x – 2 3 y + 4 –2 = z – : x = 8 + 6t y = 12 – 4t z = 7 + 2t et 2 : Les vecteurs directeurs sont := (3; –2; 1) et D1 D1 = (6; –4; 2). D2 D2 Ils sont parallèles, puisque : 2 D1 D1 = D2. D2. Les droites sont donc parallèles et, si elles ont un point commun, elles sont confondues. Vérifions si elles ont un point commun. En posant t = 0 dans les équations de 2, on a le point P(8; 12; 7). En substituant ces coordonnées dans les équations de 1. On obtient : 8 – 2 3 = –2 = 7 – 5 1 Cette double égalité est fausse. Par conséquent, les droites sont parallèles distinctes.

18 Exemple b Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point dintersection, le cas échéant. SS = x – 2 3 y + 4 –2 = z – : x = 5 – t y = –2 + 2t z = –2 – 3t et 2 : Les vecteurs directeurs sont := (3; –2; 1) et D1 D1 = (–1; 2; –3). D2 D2 Ils ne sont pas parallèles, puisque pour tout, k D1 D1 D2. D2. Les droites peuvent être concourantes ou gauches. Vérifions si elles ont un point commun. En substituant les équations de 2 dans celles de 1, on obtient : (5 – t) – 2 3 = (–2 + 2t) + 4 –2 = (–2 – 3t) – 5 1 On obtient la même valeur en considérant deux autres rapports., doù : 3 – t 3 = 2 + 2t –2 = –7 – 3t 1 En considérant les deux premiers rapports et en isolant t, on obtient : t = –3 S En substituant t = –3 dans les équations de 2, on trouve : x = 5 – (–3) = 8 y = –2 + 2(–3) = –8 z = –2 – 3(–3) = 7 Les droites se rencontrent au point (8;–8; 7).

19 Exemple c Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point dintersection, le cas échéant. Ils ne sont pas parallèles, puisque pour tout scalaire k, k Les vecteurs directeurs sont : SS = (–2; 1; 4) et D1 D1 = (–1; 2; 3). D2 D2 D1 D1 D2. D2. Les droites peuvent être concourantes ou gauches. Pour le savoir, vérifions si elles ont un point commun. En comparant les équations paramétriques, on a : On doit déterminer si ce système déquations admet une solution. S x = 5 – t y = –2 + 2t z = –2 + 3t 1 :et 2 : x = 3 – 2s y = –4 + s z = –3 + 4s 3 – 2s = 5 – t –4 + s = –2 + 2t –3 + 4s = –2 + 3t, doù : –2s + t = 2 s – 2t = 2 4s – 3t = 1 En représentant par une matrice et en échelonnant, on obtient : 1 1–2 L1L1 2L 2 + L1L –32 L 3 + 2L 1 –2 1 0 L1L1 L 2 /(–3) 2 6 0–15 3L 3 – L2L2 –2 –3 – S Le système na pas de solution, ce qui signifie que les droites nont pas de point de rencontre. Puisque les droites ne sont ni parallèles ni concourantes, ce sont donc des droites gauches.

20 Exercice Déterminer si les droites suivantes sont parallèles, concourantes ou gauches. Trouver le point dintersection, le cas échéant. Ils ne sont pas parallèles, puisque pour tout k scalaire, k Les vecteurs directeurs sont : SS = (2; 4; –3) et D1 D1 = (–3; 5; 2). D2 D2 D1 D1 D2. D2. Les droites peuvent être concourantes ou gauches. Pour le savoir, vérifions si elles ont un point commun. En comparant les équations paramétriques, on a : On doit déterminer si ce système déquations admet une solution. S x = 12 – 3t y = –17 + 5t z = –1 + 2t 1 : et 2 : x = 7 + 2s y = 6 + 4s z = –1 – 3s 7 + 2s = 12 – 3t 6 + 4s = –17 + 5t –1 – 3s = –1 + 2t, doù : 2s + 3t = 5 4s – 5t = –23 –3s – 2t = 0 En représentant par une matrice et en échelonnant, on obtient : 3 4–5 L1L1 L 2 – 2L 1 5 –23 –3–20 2L 3 + 3L L1L1 L 2 /(–11) 5 – L 3 /5 2 – S 1 L 1 – 3L 2 L2L2 L 3 – L2L – On trouve s = – 2 et t = 3. En substituant ces valeurs dans les équations paramétriques de 1 et de 2, on trouve (3; –2; 5). Cest le point de rencontre des deux droites.

21 Positions relatives dune droite et dun plan s Droite et plan parallèles Caractéristiques Le vecteur normal au plan est perpendicu- laire au vecteur directeur de la droite : N D Lorsquun point P(x 1 ; y 1 ; z 1 ) est sur la droite, il est également dans le plan : Lorsquun point P(x 1 ; y 1 ; z 1 ) est sur la droite, il nest pas dans le plan : si P, alors P Droite contenue dans le plan Droite non contenue dans le plan si P, alors P = 0

22 Positions relatives dune droite et dun plan Droite et plan concourants Caractéristiques Le vecteur normal du plan nest pas perpendiculaire au vecteur directeur de la droite : Il existe un seul point commun à la droite et au plan : Il existe un et un seul point P tel que : P et P N D 0

23 Exemple Déterminer si la droite et le plan sont parallèles ou concourants. Sils sont concourants, trouver leur point dintersection. Le produit scalaire donne : Le vecteur directeur de est : SS x = 2 – 3t y = –5 + 7t z = –3 – 2t = (–3; 7; –2). D : 2x + 3y + 4z + 9 = 0 et : = (2; 3; 4). N D N Le produit scalaire est non nul, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et la droite et le plan sont concourants. Le vecteur normal à est : = (–3; 7; –2) (2; 3; 4) = – – 8 = 7 0. Trouvons le point de rencontre. En substituant les équations de dans celle de, on obtient : 2(2 – 3t) + 3(–5 + 7t) + 4(–3 – 2t) + 9 = 0 4 – 6t 6t – t – 12 – 8t + 9 = 0 7t – 14 = 0 t = 2 Le point de rencontre est obtenu en posant t = 2 dans les équations de. Cela donne : x = 2 – 3 2 = –4 y = – = 9 z = –3 – 2 2 = –7 La droite et le plan se rencontrent au point (–4; 9; –7). S

24 Exercice Déterminer si la droite et le plan sont parallèles ou concourants. Sils sont concourants, trouver leur point dintersection. Le produit scalaire donne : Le vecteur directeur de est : SS x = t y = –2 – 3t z = –7 – 4t = (2; –3; –4). D : x – 2y + 5z – 15 = 0et : = (1; –2; 5). N D N Le produit scalaire est non nul, les vecteurs ne sont pas perpendiculaires et la droite et le plan sont concourants. Le vecteur normal à est : = (2; –3; –4) (1; –2; 5) = – 20 = Trouvons le point de rencontre. En substituant les équations de dans celle de, on obtient : (10 + 2t) – 2( –2 – 3t) + 5(–7 – 4t) – 15 = t t – 35 – 20t – 15 = 0 –12t – 36 = 0 t = –3 Le point de rencontre est obtenu en posant t = 2 dans les équations de. Cela donne : x = (–3) = 4 y = –2 – 3 (–3) = 7 z = –7 – 4 (–3) = 5 La droite et le plan se rencontrent au point (4; 7; 5). S

25 Exemple Les vecteurs perpendicu- laires à sont : Déterminer si la droite et le plan sont parallèles ou concourants. Sils sont concourants, trouver leur point dintersection. Le produit mixte de ces vecteurs donne : SS : 2x – 3y + 4z – 32 = 0 et : x – 5y + 3z – 28 = 0 et 4x – y – 3z + 1 = 0. = (2; –3; 4). N Le produit mixte est non nul, la droite et le plan sont concourants. Le vecteur normal à est : = 36 – = –3 1– –1–3 2 = (1; –5; 3) et N 1 = (4; –1; –3). N 2 = 2 (15 + 3) – (–3) (–3 – 12) + 4 (–1 + 20) Trouvons le point de rencontre. En échelonnant la matrice du système formé de ces trois équations, on obtient : 1 –3 –5 L1L1 2L 2 – L1L –1–3 L 3 – 2L –1 La droite et le plan se rencontrent au point (3; –2; 5). 0 – – –65 –7 L1L1 L2L2 7L 3 + 5L 2 0 – – –335 –7 La dernière ligne donne z = 5 et par substitution, on trouve y = –2 et x = 3.

26 Les vecteurs perpendicu- laires à sont : Exercice Déterminer si la droite et le plan sont parallèles ou concourants. Sils sont concourants, trouver leur point dintersection. Le produit mixte de ces vecteurs donne : SS : 2x 2x + y – 3z 3z + 16 = 0 et : 4x 4x + 5y 5y – 2z 2z + 19 = 0 et x + 3y 3y + 2z 2z – 4 = 0. = (2; 1; –3). N Le produit mixte est non nul, la droite et le plan sont concourants. Le vecteur normal à est : = 50 – 49 = L 1 – 2L 3 = L 2 – 4L 3 –3 –2 132 L3L3 0 –5 0 –7 – –7 = (4; 5; –2) et N 1 = (1; 3; 2). N 2 = 1 –5–7 –10 Trouvons le point de rencontre. En échelonnant la matrice du système formé de ces trois équations, on obtient : L1L1 L 2 – 2L 1 –3 – L 3 – L1L1 2–16 –19 4 La droite et le plan se rencontrent au point (5; –5; 7). 0 1– – L1L1 L2L2 3L 3 – 5L 2 0 1– – La dernière ligne donne z = 7 et par substitution, on trouve y = –5 et x = 5.

27 Conclusion On peut caractériser une droite de R 3 en donnant un point de celle-ci et un vecteur directeur. Cela est suffisant pour déterminer une description de la droite par des équations. À partir des équations dune droite, on peut facilement déterminer un vecteur directeur et un point de celle-ci. Ces informations permettent de déterminer les positions relatives de deux droites et les positions relatives dune droite et dun plan. On ne peut caractériser une droite par un vecteur perpendiculaire, car il y a une infinité de vecteurs perpendiculaires à une droite. Cest pourquoi il faut deux équations de plans pour déterminer une droite dans lespace. Cependant, à partir de deux vecteurs perpendiculaires, on peut déterminer un vecteur directeur en effectuant un produit vectoriel.

28 Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Section 12.1, p Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 10.3, p Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature. Section 12.2, p Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 10.2, p


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