Rappels mathématiques et physiques

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1 Rappels mathématiques et physiques
Stage de Pré Rentrée 2011 Rappels mathématiques et physiques

2 Sommaire 1) Dérivées 2) Intégrales 3) Fonction exponentielle
4) Fonction logarithme 5) Les fonctions sinusoïdales 6) Equations Différentielles 7) Géométrie dans l’espace 8) Les ultiples et sous multiples/unités 9) Conversions

3 1) Dérivées Elles sont notées f’ en maths. Traduisant , elles permettent d’étudier les variations d’une fonction, de construire des tangentes à des courbes… Elles se calculent normalement de la façon suivante: Pour tout x et x0 qui appartiennent à l’ensemble de définition, Citez l’exemple de la vitesse comme dérivée Plus x se rapproche de x0 , plus la précision sur le coefficient directeur de la droite est important. Source: Wikipedia

4 Dérivées usuelles de fonctions:

5 2) Intégrales L’intégration permet de calculer la surface de l’espace délimité par la représentation graphique d’une fonction f ; une intégrale s’écrit de la forme suivante: Avec I =[a,b] Source: Wikipedia

6 Propriétés des intégrales:
Relation de Chasles Linéarité Monotonie

7 3) Fonction Exponentielle
f(x)=ex Caractéristiques fondamentales : Points remarquables : Propriétés : • Limites : • Exponentielle de base b : e^(ln x) = ln(e^x) = x : les courbes exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x

8 4) Fonction Logarithme Caractéristiques fondamentales : définie sur ,
Valeurs remarquables : Propriétés: Limites : Logarithme de base b : ln (a*b) = ln(a) + ln(b)

9 5) Les fonctions sinusoïdales
Parité cos(x) = cos(-x) → paire sin(x) = -sin(-x) → impaire Périodicité cos(x + 2π) = cos(x) sin(x + 2π ) = sin(x) sin(π - y) cos(x) cos(-x) sin(y) sin(x) cos(π-x) sin(-x) Complémentarité sin( - x) = cos(x) cos( - x) = sin(x) → traduit le déphasage de du sinus et du cosinus. cos(π –x) = -cos(x) sin(π –x) = sin(x) cos(π +x) = -cos(x) sin(π +x) = -sin(x) Relation fondamentale cos2 (x) + sin2 (x) = 1

10 Sinus et cosinus : valeurs remarquables
x sin(x) cos(x) 1 /2 1 /3 1/2 /4 /6 1/2 cos sin

11 6) Equations différentielles
• Résolution de y’ = a*y y (x) = k* où k est une constante réelle. Pour trouver k, on prend les conditions à l’origine, c’est-à-dire pour x = 0. y (0) = k* = k donc y (x) = y (0) * • Résolution de y’ = a*y + b y (x) = k* où k est une constante réelle Pour trouver la constante k, on prend les conditions à l’origine, c’est-à dire pour x = 0. y (0) = k* = k ↔ k = y (0) +

12 7) Géométrie dans l’espace
Produit scalaire Si deux vecteurs et sont orthogonaux, Si deux vecteurs et sont colinéaires, , et Ainsi, linéarité et distributivité : commutativité : Principe de la projection orthogonale : rappeler que le produit scalaire d'un vecteur u par un vecteur v de norme 1 est la longueur de la projection de u sur la direction de v : ||v|| =1 => u.v = u. cos theta = projection de u sur v

13 b) Produit vectoriel Le produit vectoriel est un vecteur tel que
est orthogonal à et donc Attention ! Le produit vectoriel n’est pas commutatif: Si deux vecteurs et sont colinéaires, alors = .

14 • Sens du produit vectoriel :
+ • Sens du produit vectoriel : On se place dans un repère orthonormal direct. Ici, l’angle orienté est positif donc est dans le même sens que par rapport à et . Inversement, si l’angle orienté est négatif, le produit vectoriel est orienté dans le sens opposé à par rapport à et . → cf règle du « tire-bouchon ».

15 8) Les multiples et sous-multiples
Tera T 1012 Giga G 109 Mega M 106 Kilo K 103 Mili m 10-3 Micro μ 10-6 Nano n 10-9 Pico p 10-12 Fento f 10-15 atto a 10-18

16 9)Conversions Les unités de volume:
• Convertir une surface de 134 mm2 en unité du SI: → 134 mm2 = 134 (10-3m)2 = 134. (10-3)2m2 = m2 = 1, m2 • Convertir une vitesse angulaire de 5 tours/minute en rad.s-1 (2π rad = 1 tour = 360 degrés): → m3 dm3 cm3 mm3 1000 L 1 kL 1 L 10-3 L 1 mL 10-6 L 1 μL

17 Les unités « inverses »:
ATTENTION: Ne vous trompez pas de sens lors de la conversion d’unités « inversées ». Ex: 1 mol.L-1 = 1 mol.dm-3 = 103 mol.m-3 = 10-3 mol.cm-3. (et non pas 10-3 mol.m-3 … ce n’est pas une dillution!). La dillution: Pour éviter la confusion avec la conversion des unités inversées, pensez en « volume initial → volume final ». Ex 1: Dillution de 100 mL d’une solution de 1 mol.L-1 dans 900 mL d’eau pure: Cf = = 0,1 mol.L-1. Ex 2: Dillution de 100 mL d’une solution de 1 mol.L-1 dans 1 L d’eau pure: Cf = = 0,09 mol.L-1.