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Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Projection,

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2 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Projection, cosinus et trigonométrie. Une initiation pour petits et grands.

3 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Lumière et ombre Comment connaître la hauteur de cette pyramide dont le sommet est inaccessible? Le soleil darde ces rayons, et fait apparaître une ombre au sol

4 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Un bâton planté dans le sol Fait apparaître aussi une ombre

5 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées On accepte l’idée que les rayons du soleil arrivent parallèles sur Terre

6 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Les ombres sont proportionnelles à l’objet qui forme cette ombre.

7 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées On peut mesurer les longueurs du bâton et de son ombre. Et connaître ainsi le rapport de l’un à l’autre. Pour l’appliquer ensuite à la pyramide.

8 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Par exemple si un bâton de 1 mètre donne une ombre de 1,50 mètre, cela signifie que l’ombre est une fois et demi celle du bâton. Et donc, l’ombre de la pyramide est une fois et demi celle de la pyramide.

9 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Projeter Le sol

10 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Différents points projettent leur ombre sur le sol.

11 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Projeter, c’est envoyer les points sur une droite en suivant une direction.

12 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées On peut modifier la direction de cette projection.

13 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées On peut modifier la droite sur laquelle on projette

14 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées On peut modifier la droite sur laquelle on projette

15 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Pour projeter, il faut Une droite sur laquelle on projette, Une direction pour la projection. (D) ()()

16 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées A (D) ()() Le projeté d’un point A, est le point d’intersection de la parallèle à (  ) passant par A et de la droite (D). A’A’

17 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées A (D) ()() A’A’ A’ est le projeté de A sur (D) parallèlement à (  ).

18 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées A (D) ()() A’A’ B C E B’B’ C’C’ E’E’

19 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Effet d’une projection sur les formes (D) ()() A B Un segment [AB] A’A’ On projette A en A ’. B’B’ On projette B en B ’.

20 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées (D) ()() A B A’A’ B’B’ M Un point de [AB] M ’ M est projeté en M ’ entre A ’ et B ’.

21 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées (D) ()() A B A’A’ B’B’

22 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées (D) ()() A B A’A’ B’B’ Le projeté du segment [AB] est le segment [A’B’]

23 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées (D) ()() A’A’ B’B’ A B C Un triangle

24 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées (D) ()() A’A’ B’B’ A B C L ’ensemble du triangle est projeté sur le segment [A’B’]

25 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées (D) ()() Un disque A’A’ On projette des points du cercle. B’B’ L ’ensemble du disque est projeté sur le segment [A’B’]

26 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées (D) ()() A’A’ B’B’ En général, on obtient toujours un segment.

27 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées (D) ()() A’A’ B’B’ En général, on obtient toujours un segment.

28 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Effet d’une projection sur les longueurs La longueur est conservée.

29 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées La longueur est agrandie.

30 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées La longueur est diminuée.

31 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Effet d’une projection sur les longueurs En général, la projection modifie les longueurs. Elle ne conserve les longueurs que lorsque celles-ci sont parallèles à la droite sur laquelle on projette. Elle augmente ou diminue les autres. De même, elle modifie la nature des figures géométriques. Elle n’a donc que peu de rapport avec les transformations géométriques (symétries, translations, rotations)

32 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Projection et milieu. On projette un segment. On projette son milieu. On obtient le milieu du projeté.

33 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées

34 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées

35 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Projection et milieu Donc la projection conserve le milieu. C’est à dire que le projeté du milieu d’un segment est le milieu du segment projeté.

36 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Milieu sur un quadrillage. 6 carreaux 8 carreaux

37 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées 3 carreaux On obtient ici le milieu

38 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées On obtient ici le milieu 4 carreaux

39 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Projection de longueurs égales On obtient 7 parties de longueurs égales.

40 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées On obtient 7 parties, de longueurs égales, limitées par les bandes horizontales.

41 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées On obtient 5 parties, de longueurs égales, limitées par des bandes verticales de deux carreaux de largeur

42 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées On veut partager un segment en 5 parties égales. Mais, oh quel dommage! 9 carreaux 8 carreaux Ce segment n’est pas directement partageable en cinq parties ….

43 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Alors, comment qu’on va faire?. On reproduit le segment en quession. Mais de manière asqui soit placé juste comme ifau pour pouvoir en couper cinq parties égales

44 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées 12345

45 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Milieux dans le triangle Elle coupe le troisième côté en son milieu On trace la parallèle au deuxième côté. Par le milieu d’un côté

46 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Si on trace une droite qui passe par les milieux de deux côtés Elle se trouve être parallèle au troisième côté.

47 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées //

48 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Les milieux font apparaître quatre triangles superposables.

49 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Les milieux font apparaître trois parallélogrammes.

50 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Donc le segment des milieux est deux fois moins long que le côté auquel il est parallèle.

51 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Projection orthogonale Dans une projection orthogonale, la direction de la projection est perpendiculaire à la droite sur laquelle on projette.

52 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Projection orthogonale Sur une droite On place des points A B C E D

53 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées On les projette orthogonalement A B C E D A’B’C’D’E’

54 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées A B C E D A’B’C’D’E’ Les segments projetés sont plus courts que les segments initiaux. Donc la projection orthogonale réduit les longueurs.

55 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées A B C E D A’B’C’D’E’ Comment s’opère cette réduction?

56 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Comparer les longueurs A B C E D A’B’C’D’E’ On peut mesurer les longueurs et les comparer par différence.

57 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées A B C E D A’B’C’D’E’ Segment initial Segment projeté AB A’B’ BC B’C’ CD C’D’ DE D’E’ 6,3 5,6 2,7 2,4 4,1 3,6 2,1 1,9 Différence 0,70,30,50,2 6,3 cm 5,6 cm 2,7 cm 4,1 cm 2,1 cm 2,4 cm3,6 cm 1,9

58 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées A B C E D A’B’C’D’E’ Segment initial Segment projeté AB A’B’ BC B’C’ CD C’D’ DE D’E’ 6,3 5,6 2,7 2,4 4,1 3,6 2,1 1,9 Différence 0,70,30,50,2 6,3 cm 5,6 cm 2,7 cm 4,1 cm 2,1 cm 2,4 cm3,6 cm 1,9 Cette différence dépend donc de la longueur initiale. On va donc chercher à les comparer par leur rapport. C ’est à dire par quel nombre elles ont été multipliées au cours de la projection.

59 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées A B C E D A’B’C’D’E’ Segment initial Segment projeté AB A’B’ BC B’C’ CD C’D’ DE D’E’ 6,3 5,6 2,7 2,4 4,1 3,6 2,1 1,9 Le segment initial est multiplié par 0,89 0,880,90 6,3 cm 5,6 cm 2,7 cm 4,1 cm 2,1 cm 2,4 cm3,6 cm 1,9 Ce rapport prend des valeurs qui sont assez proches. Les mesures et les calculs arrondis peuvent justifier ces petits écarts.

60 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées A B C E D A’B’C’D’E’ 6,3 cm 5,6 cm 2,7 cm 4,1 cm 2,1 cm 2,4 cm3,6 cm 1,9 En moyenne, au cours de la projection, les longueurs sont multipliées par 0,89  0,89

61 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées A E A’ E’ 10 cm 8,9 cm On peut vérifier que toute autre longueur sur la même droite est multipliée aussi par 0,89 au cours de la projection orthogonale.  0,89

62 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées A E A’ E’ 11,5 cm 10,24 cm Inversement si on connaît la longueur du projeté, il suffit de la diviser par 0,89 pour retrouver la longueur du segment initial.  0,89

63 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Cosinus d’un angle En résumé : au cours de la projection orthogonale,  0,89 Les longueurs sont multipliées par un coefficient indépendant de la longueur initiale. C’est ce nombre que l’on appelle le Cosinus de l ’angle formé par les deux droites.

64 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Variations du cosinus avec l’angle 12 cm 11,5 cm 16° Pour un angle de 16° 0,96 = 11,5 12 Le Cosinus est égal à :

65 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Pour un angle de 26° 0,90 = 10,8 12 Le Cosinus est égal à : 12 cm 10,8 cm 26°

66 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Pour un angle de 38° 0,79 = 9,5 12 Le Cosinus est égal à : 12 cm 38° 9,5 cm

67 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Pour un angle de 48° 0,68 = 8,1 12 Le Cosinus est égal à : 12 cm 48° 8,1 cm

68 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Pour un angle de 59° 0,52 = 6,2 12 Le Cosinus est égal à : 12 cm 59° 6,2 cm

69 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Pour un angle de 71° 0,33 = 4 12 Le Cosinus est égal à : 12 cm 71° 4 cm

70 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Pour un angle de 81° 0,15 = 1,8 12 Le Cosinus est égal à : 12 cm 81° 1,8 cm

71 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Variations du cosinus avec l’angle Quand l’angle augmente de 0° à 90°, le Cosinus diminue de 1 à 0.

72 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Dans un triangle rectangle  a h Pour un angle aigu Le Cosinus fait intervenir les deux côtés de l’angle. Le côté a que l’on dit adjacent. Et h l’hypoténuse a = h  Cos  Cos  a h = Cos  = a h

73 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées b = h  Cos  Cos  b h = Cos  = b h  b h

74 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Résolution du triangle rectangle. Résoudre un triangle triangle, c’est calculer les côtés et les angles à partir du minimum de données.

75 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées   h Si on connaît l’hypoténuse et un angle aigu a b On peut calculer le côté a Puis on peut calculer l’autre angle aigu Puis, on peut calculer le côté b a = h  Cos   = 90° -  b = h  Cos   Cos   Cos 

76 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées  12 Par exemple a b a = h  Cos  = 12  Cos62  = = 28° b = h  Cos   Cos 62  Cos °  12  0,469  5,6 cm = 12  Cos 28  12  0,883  10,6 cm

77 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Si on connaît un côté et un angle aigu 8,5 77° On commence par calculer le second angle aigu = 13° On peut maintenant calculer l’hypoténuse h 13° h = 8,5  Cos 13  8,5  0,974  8,7 cm Connaissant l’hypoténuse, on peut calculer le troisième côté. a a  8,7  Cos 77  8,7  0,225  1,9 cm

78 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Si on connaît deux côtés 10,3 9,7 On peut calculer l’hypoténuse en utilisant la relation de Pythagore h h = 10,3² + 9,7² = 200,18 h  14,1 cm

79 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Si on connaît deux côtés 10,3 9,7 On peut calculer l’hypoténuse en utilisant la relation de Pythagore h = 10,3² + 9,7² = 200,18 h  14,1 cm 14,1 On peut maintenant calculer l’un des angles aigus par son Cosinus Cos  = 9,7  14,1  0,688  Avec une machine, on trouve :   47° Et enfin l’autre angle aigu :   43°

80 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Quelques valeurs particulières Si on partage un carré par une diagonale. On obtient un triangle rectangle isocèle.

81 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Les deux angles aigus mesurent 45°

82 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Les deux côtés de l’angle droit sont égaux. On appelle a cette longueur. Par la relation de Pythagore, on calcule la longueur de l’hypoténuse. On obtient 2. a 2 a a Cos45 = a 2. a Et après simplification par a, Cos45 = 1 2

83 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Si on partage un triangle équilatéral par un axe de symétrie On obtient un triangle rectangle dont les angles aigus mesurent 30° et 60°. 30° 60°

84 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Si le côté du triangle équilatéral mesure a. Le triangle rectangle a deux côtés qui mesurent a et a/2. 30° 60° a a/2

85 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Par la relation de Pythagore, on calcule le troisième côté On obtient 30° 60° a a/2 3. a 2 Cos30 = a 3. a 2 = 3 2 Cos60 = a a /2 = a 2

86 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Quelques valeurs particulières Angle  Cos  0°30°45°60°90°

87 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Angles complémentaires Dans un triangle rectangle Les deux angles aigus sont complémentaires C ’est à dire que leur somme est égale à 90°.

88 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure 12° 78° Leur cos est égal à 0,978 0,208

89 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure 18° 72° 0,951 0,309 Leur cos est égal à

90 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure 24° 66° 0,914 0,407 Leur cos est égal à

91 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure 35° 55° 0,819 0,574 Leur cos est égal à

92 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure 45° 0,707 Leur cos est égal à

93 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure 59° 31° 0,515 0,857 Leur cos est égal à

94 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure 78° 12° 0,208 0,978 Leur cos est égal à

95 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure 87° 3° 0,052 0,999 Leur cos est égal à

96 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées 0,0520,2080,5150,707 0,9990,9780,8570,707 0,819 0,574 0,914 0,407 0,978 0,208 cos  cos    Pour deux angles complémentaires, les Cosinus varient en sens opposé. Quand l’un augmente, l’autre diminue On peut chercher quelle relation lie ces deux valeurs.

97 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées   a b h b Cos  = h Cos  = a h b² Cos²  = h² Cos²  = a² h² donc Cos²  +Cos²  = b² h² a² h² += a² + b² h² = = 1 Par la relation de Pythagore, a²+ b² = h²

98 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Repères et coordonnées. A Quand on place un point, pour pouvoir déterminer sa position, on se réfère à deux axes.

99 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées A Un axe horizontalUn axe vertical

100 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées A Chacun de ces axes est orienté, et gradué

101 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées Les deux axes se coupent au point O qui est l’origine du repère. A O

102 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées A O On projette A sur l’axe horizontal. Puis on projette A sur l’axe vertical. Abscisse de A Ordonnée de A

103 Lumière et ombre Projeter Effet d’une projection Quadrillages Milieux Et triangles Projection orthogonale Cosinus Triangle rectangle Coordonnées A Le couple (+5 ; +2,2) est le couple des coordonnées de A. O +5 +2,2


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