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Problème de Grenoble 1995. H G A B C D E F S I Partie I Partie II.

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1 Problème de Grenoble H G A B C D E F S I Partie I Partie II

2 La figure ci-contre représente un solide. Celui-ci se compose d'un parallélépipède rectangle surmonté d'une pyramide régulière à base carrée de sommet S et dont les faces latérales sont des triangles isocèles. H G A B C D E F S I Les dimensions de la figure sont les suivantes : AF = 2 cm ; AB = BC = 6 cm ; SH = 5 cm. 1) Représenter le triangle SGH en respectant les dimensions données. 2) a) Calculer la longueur de la hauteur SI du triangle SGH. b) En déduire l'aire du triangle SGH. 3) Montrer que l'aire extérieure totale du solide (face inférieure comprise) est de 132 cm 2. Problème de Grenoble Partie I

3 H G A B C D E F S I Les dimensions de la figure sont les suivantes : AF = 2 cm ; AB = BC = 6 cm ; SH = 5 cm. 1) Représenter le triangle SGH en respectant les dimensions données.Représenter le triangle SGH en respectant les dimensions données. 2) a) Calculer la longueur de la hauteur SI du triangle SGH.Calculer la longueur de la hauteur SI du triangle SGH. b) En déduire l'aire du triangle SGH.En déduire l'aire du triangle SGH. 3) Montrer que l'aire extérieure totale du solide (face inférieure comprise)Montrer que l'aire extérieure totale du solide (face inférieure comprise) est de 132 cm 2. Problème de Grenoble Partie I

4 H G A B C D E F S I Problème de Grenoble Partie II La figure précédente est la réduction à l'échelle 1 / 4 d'un coffret qu'un artisan désire réaliser. Il se propose de le couvrir intérieurement de feuilles d'or très fines, de calculer la masse d'or nécessaire ainsi que le prix de l'or à acheter. 1) Calculer l'aire réelle extérieure du coffret. 2) Sachant que pour couvrir une surface de 1 cm 2, il faut 0,00195 g d'or, calculer la masse d'or pour recouvrir l'objet au centième de gramme près. 3) Le découpage des feuilles d'or occasionne des pertes. L'artisan prévoit d'acheter 25 % d'or supplémentaire. Le prix du kilogramme d'or est de F. Calculer le prix de tout l'or à acheter.

5 H G A B C D E F S I Problème de Grenoble Partie II La figure précédente est la réduction à l'échelle 1 / 4 d'un coffret qu'un artisan désire réaliser. Il se propose de le couvrir intérieurement de feuilles d'or très fines, de calculer la masse d'or nécessaire ainsi que le prix de l'or à acheter. 1) Calculer l'aire réelle extérieure du coffret.Calculer l'aire réelle extérieure du coffret. 2) Sachant que pour couvrir une surface de 1 cm 2, il faut 0,00195 g d'or,Sachant que pour couvrir une surface de 1 cm 2, il faut 0,00195 g d'or, calculer la masse d'or pour recouvrir l'objet au centième de gramme près. 3) Le découpage des feuilles d'or occasionne des pertes. L'artisan prévoit d'acheter 25 % d'or supplémentaire. Le prix du kilogramme d'or est de F. Calculer le prix de tout l'or à acheter.

6 Le triangle SGH est donc isocèle de sommet principal S. D ’après le codage sur les segments [SG] et [SH] : SG = SH. Ses dimensions sont : GH = 6 cm Partie I 1) Représenter le triangle SGH en respectant les dimensions données. H G A B C D E F S I GH

7 Le triangle SGH est donc isocèle de sommet principal S. D’après le codage sur les segments [SG] et [SH] : SG = SH. Ses dimensions sont : GH = 6 cm SH = SG = 5cm H G A B C D E F S I GH S I Partie I 1) Représenter le triangle SGH en respectant les dimensions données.

8 Le triangle SGH est donc isocèle de sommet principal S. D’après le codage sur les segments [SG] et [SH] : SG = SH. Ses dimensions sont : GH = 6 cm SH = SG = 5cm H G A B C D E F S I GH S I Partie I 1) Représenter le triangle SGH en respectant les dimensions données.

9 H G A B C D E F S I GH S I Le segment [IS] est la hauteur issue du sommet principal: Partie I 2) a) Calculer la longueur de la hauteur SI du triangle SGH.

10 H G A B C D E F S I GH S I Le segment [IS] est la hauteur issue du sommet principal: c’est aussi la médiane issue de S. Donc I est le milieu du segment [GH]. Partie I 2) a) Calculer la longueur de la hauteur SI du triangle SGH.

11 H G A B C D E F S I Le segment [IS] est la hauteur issue du sommet principal: c’est aussi la médiane issue de S. Donc I est le milieu du segment [GH]. H S I On a donc IH = 3 et SH = ? Partie I 2) a) Calculer la longueur de la hauteur SI du triangle SGH.

12 H G A B C D E F S I H S I3 5 ? Le triangle SIH est rectangle en I. D’après le théorème de Pythagore : SH² = IH² +IS² ² = ² + IS² 5 3 Partie I 2) a) Calculer la longueur de la hauteur SI du triangle SGH. IS² = 5²-3² IS² = IS² = 16 donc IS = = 4² donc IS = 4 cm.

13 H G A B C D E F S I Partie I 2) a) Calculer la longueur de la hauteur SI du triangle SGH. H S I3 5 Le triangle SIH est rectangle en I. D’après le théorème de Pythagore : SH² = IH² +IS² ² = ² + IS² 5 3 IS² =5²-3² IS² = IS² = 16 donc IS = 16 = 4² donc IS = 4 cm. 4

14 H G A B C D E F S I Partie I 2) b) En déduire l'aire du triangle SGH. 6 4 GH S I On connaît une base et la hauteur associée : GH = 6 et IS = 4 Aire (triangle) = BaseHauteur 2 Aire (SGH) = 64 2 Aire (SGH) = 2 24 = 12 L ’aire du triangle SGH est 12 cm².

15 H G A B C D E F S I Partie I 3) Montrer que l'aire extérieure totale du solide (face inférieure comprise) est de 132 cm 2 Les faces de ce volume se composent de : - 4 triangles isocèles de dimensions celles du triangle SGH. - 4 rectangles de dimensions 6 sur 2 cm. - 1 carré de côté 6cm.

16 Partie I 3) Montrer que l'aire extérieure totale du solide (face inférieure comprise) est de 132 cm 2 D ’après 2) b) l ’aire de SGH est 12 cm². Pour les quatre triangles, on a: 4  12 =48 Pour un rectangle, l’aire est : - 4 triangles isocèles de dimensions celles du triangle SGH. - 4 rectangles de dimensions 6 sur 2 cm. - 1 carré de côté 6cm. 2  6 =12 Pour les quatre rectangles : 4  12 =48 Pour un carré de côté 6 : 6  6 =36

17 Partie I 3) Montrer que l'aire extérieure totale du solide (face inférieure comprise) est de 132 cm 2 H G A B C D E F S I Au total : =132 L’aire extérieure de ce solide est 132 cm².

18 Partie II 1) Calculer l'aire réelle extérieure du coffret. H G A B C D E F S I Par rapport à notre solide de la partie I, les dimensions sont multipliées par 4. Le rapport d ’agrandissement est 4 donc l ’aire est multipliée par: 4² c’est-à-dire : 16 D ’après la Partie I, 3) :  132 = 2112 L ’aire extérieure réelle est 2112 cm².

19 Partie II 2) Sachant que pour couvrir une surface de 1 cm 2, il faut 0,00195 g d'or, calculer la masse d'or pour recouvrir l'objet au centième de gramme près. On a 2112 cm² à recouvrir : 2112  0,00195=4,1184 4,1184 Le chiffre qui suit celui des centièmes est supérieur ou égal à 5. 4,12 On prend comme arrondi au centième le nombre immédiatement supérieur. Il faut environ 4,12 g d’or pour recouvrir le coffret.

20 Partie II 2) Sachant que pour couvrir une surface de 1 cm 2, il faut 0,00195 g d'or, calculer la masse d'or pour recouvrir l'objet au centième de gramme près. Il faut environ 4,12 g d’or pour recouvrir le coffret.

21 Partie II 3) Le découpage des feuilles d'or occasionne des pertes. L'artisan prévoit d'acheter 25 % d'or supplémentaire. Le prix du kilogramme d'or est de F. Calculer le prix de tout l'or à acheter. Il faut donc rajouter 25 % d ’or : 25 % de 4,1184 :  4,1184=0,25  4,1184 = 1,0296 Il faut donc en tout : 4,1184+ =5,148 Avec les pertes, l ’artisan a besoin de 5,148 g d ’or.

22 Partie II 3) Le découpage des feuilles d'or occasionne des pertes. L'artisan prévoit d'acheter 25 % d'or supplémentaire. Le prix du kilogramme d'or est de F. Calculer le prix de tout l'or à acheter. Avec les pertes, l’artisan a besoin de 5,148 g d ’or. En notant p le prix à payer, comme il y a proportionnalité, on peut appliquer le produit en croix au tableau suivant : p 5, Prix Quantité 1 kg = 1000 g p  1000=5,148  p = 5,148  P = 5,148  70= 360,36 Le coffret nécessite l’achat de 360,36 francs d’or.


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