Pré-rentrée L1 Eco-Gestion Mathématiques

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1 Pré-rentrée L1 Eco-Gestion Mathématiques
Fonctions Trigonométriques Disponible ce soir sur unipiaf.net

2 Fonctions trigonométriques
Connaître le cercle trigonométrique Les angles remarquables Les valeurs de Sin et Cos sur ces angles

3 Phénomènes périodiques
Cycle de Kondratiev : alternance sur ans Croissance récession dépression

4 Fonctions trigonométriques
Cosinus Sinus fct combinée entre elles, peuvent suivre tout phénomène périodique

5 Fonction trigonométriques
Exemple Phénomène périodique en créneaux Reproduit par combinaison de 1, 2 … jusqu'à 25 combinaisons de fonctions trigonométriques Peu commun car variation brutal. Peut être reproduit par des combinaisons de fct Trigo

6 Trigonométrie Géométrique du triangle rectangle
Cosinus(Â) = coté adjacent / hypoténuse = a / h Sinus(Â) = coté opposé / hypoténuse = o / h Rappel : le cosinus d'un angle peut être défini dans un triangle rectangle. C'est le rapport

7 Trigonométrie Géométrique du triangle rectangle
Si on prend le cas particulier d'une hypoténuse unité de longueur 1. Elle se simplifie et il ne reste que le côté adjacent

8 Cercle unité Angle radian
Repère orthonormé (O, I, J) Définition Le cercle unité C a pour centre O et rayon 1 Soit M sur le cercle C La mesure en radian de l'angle IÔM est la longueur de l'arc de cercle IM Pour mesurer les angles utilise pas le degré. Mais le radian

9 Cercle unité -Angle en radian
Correspondance degré – radian pour l'angle IÔM Degré 0° 30° 45° 60° 90° 180° 360° Radian 2 subdivision

10 Cercle unité -Angle en radian
Correspondance degré – radian pour l'angle IÔM Degré 0° 30° 45° 60° 90° 180° 360° Radian /6 /4 /3 /2  2 Savoir placer sur un cercle trigo les angles pi/6 pi/4 pi/3 An radian, 360 = tour complet = 2pi 180 c'est pi 90 moitié de pi 45 = 90/2 30 = 60/2

11 Cercle unité – Angles radians orientés
Complète aux 4 cadrans : en haut à gauche on ajoute, en bas, on adopte convention des angles radians orienté, et on les prends négatifs Un point pouvant être obtenu par plusieurs tours, plusieurs notations possibles -5pi/6 == 7pi/7

12 Cercle unité - Cosinus Sinus
Tout point sur C a pour coordonnées M(Cos , Sin ) Où  est l'angle (Ox, OM) Propriété Cos²  + Sin²  = 1 1 Sin  M coordonnée un cos et sin de l'angle

13 Cercle unité Angles remarquables
Radian /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6  Cos Sin Coupe l'axe en 3 position : longue Sqrt(3)2 moyenne R2/2 et courte 1/2

14 Cercle unité Angles remarquables
Radian /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6  Cos 1 -1 Sin Symétrique

15 Cercle unité Angles remarquables orientés
Radian -/6 -/4 -/3 -/2 -2/3 -3/4 -5/6 Cos 1 Sin -1 Completer tableau + cercle

16 Fonction Cosinus x - -/2 0 /2  0 + 1 + 0 – -1 – 0 Cos(x)
Cos(/2) = 0 Cos(-/2) = 0 Pour tout nombre réel x -1  Cos(x)  1 Cos(x+2n) = Cos(x)  périodique, pour tout n entier Cos(-x) = Cos(x) symétrique axe Oy Cos(x+y) = Cos(x)Cos(y) - Sin(x)Sin(y) Variations Cos'(x) = -Sin(x) Période ]-,] x - -/ /2  Cos'(x)= -Sin(x) – – 0 Cos(x)

17 Exercice Exprimer les à l'aide de Cos(x) ou Sin(x) Cos(x + ) = Cos(x + /2) = Cos( - x) = Cos(2x) =

18 Exercice Cos(x + ) = – Cos(x) Cos(x + /2) = – Sin(x) Cos( - x) = – Cos(x) Cos(2x) = Cos²(x) – Sin²(x) Par formule ou cercle

19 Fonction Sinus x - -/2 0 /2  Sin'(x)= Cos(x) -1 – 0 + 1 + 0 – -1
Sin() = 0 Sin(-) = 0 Pour tout nombre réel x -1  Sin(x)  1 Sin(x+2n) = Sin(x)  périodique, pour n entier Sin(-x) = -Sin(x) symétrique par rapport O Sin(x+y) = Sin(x)Cos(y) + Sin(y)Cos(x) Variations Sin'(x) = Cos(x) Période ]-,] x - -/ /  Sin'(x)= Cos(x) -1 – – -1 Sin(x)

20 Exercice Exprimer les à l'aide de Cos(x) ou Sin(x) Sin(x + ) = Sin(x + /2) = Sin( - x) = Sin(2x) =

21 Exercice Sin(x + ) = – Sin(x) Sin(x + /2) = Cos(x) Sin( - x) = Sin(x) Sin(2x) = 2Sin(x)Cos(x)

22 Primitives f(x) Primitive F(x) Additivité et le Reste inconnu !!

23 Exercice Résoudre dans l'ensemble des nombres réels x Cos(x) = 0
Sin(x) = 0

24 Exercice Résoudre dans l'ensemble des nombres réels x, Cos(x)=0 Sur la période ]-,], les seules solutions sont : Cos(-/2) = 0 Cos(/2) = 0 Généralisation par périodicité pour tout entier n Cos(-/2 + n× 2) = 0 Cos( /2 + n× 2) = 0 Or -/2 = /2 -  d'où Cos(-/2 + n× 2) = 0 équivaut à Cos(/2 -  + n× 2) = 0 qui se réécrit en Cos(/2 + (n-1)× 2) = 0

25 Exercice Résoudre dans l'ensemble des nombres réels x Cos(x)=0 Généralisation par périodicité pour tout entier n Cos( /2 + n × 2) = 0 Cos( /2 + (n-1) × 2) = 0 On obtient tous les combinaisons /2 + , /2 + 2 … Solutions S = {/2 + n × 2 , pour tout entier relatif n}

26 Exercice Résoudre dans l'ensemble des nombres réels x Sin(x)=0 Solutions S = { + n × 2 , pour tout entier relatif n}

27 Exercice Étudier Cos²(x) La fonction a-t-elle une période de 
Étudier le sens variation de Cos²(x) sur sa période [0, [