L’endomorphisme le plus simple est l’ homothétie

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1 Diagonalisation des endomorphismes réels dans un espace vectoriel E de dimension finie n.

2 L’endomorphisme le plus simple est l’ homothétie
L’endomorphisme le plus simple est l’ homothétie. Une homothétie de E est une application qui à tout vecteur u de E associe λu Sa matrice est une matrice scalaire ( dans n’importe quelle base de E).

3 Problématique: f étant un endomorphisme de E
Existe-t-il des sous espaces vectoriels F de E tels que la restriction de f à ces sous espaces vectoriels soit une homothétie?

4 λ est appelée valeur propre de f.
Recherche des sous espaces vectoriels de dimension supérieure ou égale à 1 sur lesquels f se réduit à une homothétie. Si F est un tel sous espace alors il existe un réel λ pour tout vecteur u de F, f(u)= λu λ est appelée valeur propre de f. Si u est non nul, u est appelé vecteur propre de f associé à la valeur propre λ . F est inclus dans le noyau de (f- λId). Ker (f- λId) est appelé espace propre de f associé à la valeur propre λ.

5 Recherche des valeurs propres
La proposition suivante : λ valeur propre de f est équivalente aux quatre propositions qui suivent: Ker (f- λId) est au moins de dimension 1. (f- λId) n’est pas inversible. rg(f- λId) < dim E. Det (f- λId) =0.

6 Le polynôme caractéristique
Det (f- λId) est appelé polynôme caractéristique de f Ce polynôme de variable λ est de degré n ( dim E). - Ses racines sont les valeurs propres de f.

7 Valeurs propres et Espaces propres
Une fois déterminées les valeurs propres, on connait leur multiplicité dans le polynôme caractéristique, on détermine une base de chaque espace propre.

8 Propriété importante des Espaces propres
Les espaces propres sont en somme directe. Cela signifie en particulier que la dimension de la somme des espaces propres est égale à la somme des dimensions des espaces propres. Cela signifie aussi que la réunion des bases des différents espaces propres est toujours une famille libre de E.

9 Comment savoir si un endomorphisme f de E est diagonalisable?
Définition: f est diagonalisable si et seulement si il existe une base dans laquelle la matrice de f est diagonale .Cette base est en fait une base de vecteurs propres. Autres façons d’exprimer ce qui précède: La somme des dimensions des espaces propres est égale à la dimension de E. - La somme des espaces propres est égale à E.

10 Théorème fondamental:
Dimension d’un espace propre et multiplicité de la valeur propre dans le polynôme caractéristique. Si λ est valeur propre de f avec une multiplicité de mλ dans le polynôme caractéristique alors la dimension de l’espace propre est inférieur ou égal à mλ . Conséquence: Théorème fondamental: f endomorphisme de E (de dimension finie) est diagonalisable SSI: - Son polynôme caractéristique est scindé et -si pour chaque valeur propre, la multiplicité est égale à la dimension de l’espace propre associé.

11 Diagonalisation de l’endomorphisme f
E,B E,B f f(x,y)= (x+y,3x-y)

12 Recherche du polynôme caractéristique.
Les valeurs propres sont donc 2 et -2 Le polynôme caractéristique est scindé.

13 Recherche des espaces propres
E-2 espace propre associé à la valeur propre -2 est le noyau de f+2Id ou de la matrice A+2I:

14 Recherche des espaces propres
E2 espace propre associé à la valeur propre 2 est le noyau de f-2Id ou de la matrice A-2I:

15 f est diagonalisable : On vérifie bien les conditions du théorème fondamental.
Autre façon de justifier le fait que f soit diagonalisable.

16 Matrice de passage Notons la base canonique et la base de vecteurs propres définie précédemment .Dans cette base, la matrice de f s’écrit: B B1 E,B E,B1