La loi des cosinus A C B ( a – x ) h x c b a D b2 = a2 + c2 - 2ac cosB

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1 La loi des cosinus A C B ( a – x ) h x c b a D b2 = a2 + c2 - 2ac cosB
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

2 A Loi des cosinus b c Traçons un triangle quelconque et nommons-le ABC. h ( a – x ) x Dans le triangle ABC : C D B a - posons b pour représenter le côté en face de l’angle B, - posons c pour représenter le côté en face de l’angle C, - posons a pour représenter le côté en face de l’angle A. Traçons la hauteur AD ( h ). Cette hauteur crée deux triangles rectangles, le triangle ADC et le triangle ADB. Posons x pour représenter le segment DB. Le segment CD peut alors être représenté par le binôme ( a – x ). En utilisant la relation de Pythagore, établissons le système suivant : c2 = h2 + x2 b2 = h2 + (a – x )2 Éliminons h2 par la méthode de réduction: c2 = h2 + x2 -1 ( b2 = h2 + (a – x )2 ) + c2 = h2 + x2 - b2 = -h (a – x )2 + c2 – b2 = x2 - ( a – x )2

3 A C B ( a – x ) h x c b a D Développons maintenant c2 – b2 = x2 – ( a – x )2 c2 – b2 = x2 – ( a2 – 2ax + x2 ) c2 – b2 = x2 – a2 + 2ax - x2 c2 – b2 = – a2 + 2ax cos B = x c nous avons le rapport : Dans le triangle ADB, Isolons x : x = c cos B Dans l’expression : c2 – b2 = – a2 + 2ax remplaçons x par c cos B. Nous obtenons : c2 – b2 = – a2 + 2ac cosB Il reste à isoler b2 : – b2 = – a2 - c2 + 2ac cosB En multipliant par -1 : b2 = a2 + c2 - 2ac cosB En construisant une hauteur pour chaque sommet et en utilisant la même démarche, on en déduit que: a2 = b2 + c2 - 2bc cos A c2 = a2 + b2 - 2ab cos C

4 La formule des cosinus s'utilise lorsqu'on connaît les mesures des éléments suivants:
les 3 côtés Un angle compris entre 2 côtés B C c b A a A B C c b

5 Exemple 1 On cherche la mesure du côté BC. a 530 B C 4 m A 3 m
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A a2 = – 2 X 3 X 4 X cos 530 a2 = – 24 X 0,6018 a2 = ,4432 a2 = 10, 5568 a = 10, 5568  3,2 m BC  3,2 m

6 Exemple 2 On cherche la mesure de l’angle B. 530 B C 4 m A 3 m 3,2 m
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B b2 - a2 - c2 = - 2ac cos B b b2 - a2 - c2 - 2ac = cos B 32 – 3, - 2 X 3,2 X 4 = cos B - 17,24 -25,6  0,6734 cos B  0,6734 alors cos-1 0,6734  47,70 m  B  47,70