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ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 1 Renaissance de la Didactique des Mathématiques.

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1 ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 1 Renaissance de la Didactique des Mathématiques

2 ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 2 Les mathématiques vers 1960 Une évolution ancienne, qui saccélère… des idées qui envahissent les sciences et les techniques

3 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 3 Le 18 ième siècle voit le Calcul différentiel et intégral ouvrir un champ nouveau aux mathématiques qui envahissent lindustrie Le 18 ième siècle voit le Calcul différentiel et intégral ouvrir un champ nouveau aux mathématiques qui envahissent lindustrie Le 19 ième voit lalgèbre, lanalyse et la logique réorganiser les structures de lédifice jusquà la crise des fondements Le 19 ième voit lalgèbre, lanalyse et la logique réorganiser les structures de lédifice jusquà la crise des fondements Le 20 ième siècle voit un développement tous azimuts des mathématiques fondamentales et appliquées (qui tendent à se confondre), toutes les sciences demandent et suscitent des développements mathématiques originaux Le 20 ième siècle voit un développement tous azimuts des mathématiques fondamentales et appliquées (qui tendent à se confondre), toutes les sciences demandent et suscitent des développements mathématiques originaux Malgré lallongement des études, il devient de plus en plus difficile dassurer des connaissances mathématiques suffisantes pour les acteurs de tous les secteurs dactivités où cela serait nécessaire. Malgré lallongement des études, il devient de plus en plus difficile dassurer des connaissances mathématiques suffisantes pour les acteurs de tous les secteurs dactivités où cela serait nécessaire.

4 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 4 La pression concerne dabord les formations universitaires et en particulier en mathématiques, la préparation aux grandes écoles La pression concerne dabord les formations universitaires et en particulier en mathématiques, la préparation aux grandes écoles Après 1950, toutes les forces vives de la société, les industriels comme les intellectuels, militent pour cette réforme dans le monde entier. Après 1950, toutes les forces vives de la société, les industriels comme les intellectuels, militent pour cette réforme dans le monde entier. Progressivement toutes les disciplines et tous les secteurs de lenseignement classique: le vocabulaire, les objets de létude, la construction des concepts, lorganisation densemble, les méthodes denseignement… sont remis en cause, certains mêmes disqualifiés dans lopinion. Progressivement toutes les disciplines et tous les secteurs de lenseignement classique: le vocabulaire, les objets de létude, la construction des concepts, lorganisation densemble, les méthodes denseignement… sont remis en cause, certains mêmes disqualifiés dans lopinion. Ces projets vont se concrétiser en France à loccasion des évènements de 1968 Ces projets vont se concrétiser en France à loccasion des évènements de 1968

5 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 5 La demande évoluera avec lapparition de linformatique qui rend progressivement automatiques les calculs, la gestion et la modélisation dans beaucoup dactivités humaines et par suite, dévalue leur apprentissage. La demande évoluera avec lapparition de linformatique qui rend progressivement automatiques les calculs, la gestion et la modélisation dans beaucoup dactivités humaines et par suite, dévalue leur apprentissage. Beaucoup veulent que la réforme ne se limite pas aux études supérieures scientifiques. Elle doit concerner le 2 ième cycle de lenseignement secondaire scientifique. Beaucoup veulent que la réforme ne se limite pas aux études supérieures scientifiques. Elle doit concerner le 2 ième cycle de lenseignement secondaire scientifique. Rapidement on conçoit quelle doit sétendre à tout le secondaire, c.à.d à son tronc commun, le premier cycle et on entrevoit des raisons de létendre aussi au primaire Rapidement on conçoit quelle doit sétendre à tout le secondaire, c.à.d à son tronc commun, le premier cycle et on entrevoit des raisons de létendre aussi au primaire Finalement lambition de la réforme sétend « de la maternelle à lUniversité » Finalement lambition de la réforme sétend « de la maternelle à lUniversité »

6 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 6 Cette réforme consiste essentiellement : 1. à réorganiser lordre des notions classiques par rapport à lexposé moderne des mathématiques afin de réformer et dunifier le vocabulaire 1. à réorganiser lordre des notions classiques par rapport à lexposé moderne des mathématiques afin de réformer et dunifier le vocabulaire 2. à réaliser les cours sur ces nouvelles connaissances 2. à réaliser les cours sur ces nouvelles connaissances 3. à imaginer les exercices et les problèmes correspondants. Ce qui était moins aisé ! 3. à imaginer les exercices et les problèmes correspondants. Ce qui était moins aisé ! … en utilisant si possible les méthodes pédagogiques et les connaissances épistémologiques et psychologiques classiques

7 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 7 Remarque : Adapter ces conceptions et ces méthodes aux nouvelles connaissances venues de toutes les disciplines était considéré par les mathématiciens comme un problème indépendant, qui était laffaire des professeurs et des psychopédagogues Remarque : Adapter ces conceptions et ces méthodes aux nouvelles connaissances venues de toutes les disciplines était considéré par les mathématiciens comme un problème indépendant, qui était laffaire des professeurs et des psychopédagogues Mais toutes les disciplines proposaient de nouvelles suggestions à lenseignement et engageaient des recherches à ce sujet Mais toutes les disciplines proposaient de nouvelles suggestions à lenseignement et engageaient des recherches à ce sujet

8 ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques Le renouveau des mathématiques pose à lenseignement des questions - de culture mathématiques - et dIngénierie didactique qui vont remonter jusquà lenseignement primaire

9 ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 9 Lenseignement des mathématiques à lécole primaire avant 1960 Une méthodologie traditionnelle sophistiquée mais sans support scientifique

10 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 10 Des méthodes et une épistémologie stables Les mathématiques à lécole primaire (6-14 ans) : arithmétique (3h/s), système métrique (1h/s), géométrie (1h/s) pendant 36 semaines Les mathématiques à lécole primaire (6-14 ans) : arithmétique (3h/s), système métrique (1h/s), géométrie (1h/s) pendant 36 semaines Lenseignement de larithmétique suit un plan densemble qui est le même depuis plus de 250 ans (ref. Gobain 1711), avec seulement lajout du système métrique. Lenseignement de larithmétique suit un plan densemble qui est le même depuis plus de 250 ans (ref. Gobain 1711), avec seulement lajout du système métrique. La responsabilité du professeur : exposer la même leçon à tous les élèves, donner et corriger des exercices et des problèmes. Assurer des révisions périodiques raisonnables pour les algorithmes fondamentaux pour les usages La responsabilité du professeur : exposer la même leçon à tous les élèves, donner et corriger des exercices et des problèmes. Assurer des révisions périodiques raisonnables pour les algorithmes fondamentaux pour les usages Les instituteurs ne signalent pas de grandes difficultés dans leur enseignement de larithmétique et du calcul, sauf un peu pour les problèmes: les élèves « doués » savent tous les faire parfaitement, les autres se limitent plus ou moins aux exemples standards, certains en restent aux exercices. Les instituteurs ne signalent pas de grandes difficultés dans leur enseignement de larithmétique et du calcul, sauf un peu pour les problèmes: les élèves « doués » savent tous les faire parfaitement, les autres se limitent plus ou moins aux exemples standards, certains en restent aux exercices.

11 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 11 Diverses organisations de manuels 1. Recueil de problèmes pratiques gradués centrés sur les métiers: les algorithmes sont nommés mais pas étudiés à part 1. Recueil de problèmes pratiques gradués centrés sur les métiers: les algorithmes sont nommés mais pas étudiés à part 2. Les algorithmes simples sont regroupés et quelques notions sont identifiées et montrées à loccasion de leur usage 2. Les algorithmes simples sont regroupés et quelques notions sont identifiées et montrées à loccasion de leur usage 3. Létude des algorithmes et des notions mathématiques devient lossature des manuels. Les définitions et les règles deviennent lobjet denseignement et dapprentissage formels (récitation). Exemple, leçon type Létude des algorithmes et des notions mathématiques devient lossature des manuels. Les définitions et les règles deviennent lobjet denseignement et dapprentissage formels (récitation). Exemple, leçon type Lorsque survient létude des structures mathématiques, à la fin des années 60 : les notions sont articulées pour la commodité de leur présentation et de leur compréhension interne. Les exercices se diversifient en rapport avec le cours. Leur rapport classique avec les usages et les pratiques quotidiennes nest plus assuré. 4. Lorsque survient létude des structures mathématiques, à la fin des années 60 : les notions sont articulées pour la commodité de leur présentation et de leur compréhension interne. Les exercices se diversifient en rapport avec le cours. Leur rapport classique avec les usages et les pratiques quotidiennes nest plus assuré. 5. La réaction à partir des années 90. « retour » vers un faux passé 5. La réaction à partir des années 90. « retour » vers un faux passé

12 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 12 Plan standard dune leçon type 1920 La correction des devoirs de la veille La correction des devoirs de la veille Le titre, lobjet de la leçon (ex. mesure de volume pour les bois) Le titre, lobjet de la leçon (ex. mesure de volume pour les bois) Lexposé de la connaissance à apprendre : définition, ou règle, Lexposé de la connaissance à apprendre : définition, ou règle, Les questions orales répéter, interroger et commenter lexposé Les questions orales répéter, interroger et commenter lexposé Les exercices oraux et écrits, contrôlés aussitôt (reproduire) Les exercices oraux et écrits, contrôlés aussitôt (reproduire) Les exemples dapplications, Les exemples dapplications, Le Problème type, Emplois similaires Le Problème type, Emplois similaires Les commentaires et les questions Les commentaires et les questions La correction, La correction, Les exercices dentraînement, ad libitum Les exercices dentraînement, ad libitum Les devoirs, Les devoirs, ENCLASSEENCLASSE A la Maison Il sagit de létude des techniques et de leur applications. Les mathématiques sont, au mieux, orales, lors des explications

13 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 13 (1923) Exemple (1923) Alix & Bazenant, Arithmétique (1923) Bibliothèque déducation (1923)

14 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 14

15 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 15

16 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 16 Avec des variantes… présentation dun problème introductif présentation dun problème introductif recherche autonome ou recherche guidée de la solution recherche autonome ou recherche guidée de la solution Explication, preuve ou démonstration, Explication, preuve ou démonstration, Reformulation et confirmation de la validité culturelle Reformulation et confirmation de la validité culturelle Les applications Les applications exercices contrôlés par le professeur, exercices contrôlés par le professeur, Problèmes Problèmes exercices dentraînement où la réponse est donnée exercices dentraînement où la réponse est donnée (auto -enseignements programmés, fichier de calcul de C. Freinet) ENCLASSEENCLASSE

17 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 17 Ch. Piette, S. Sciulara, R. Berthoul, Arithmétique Moderne, Cours moyen 1- 2, Wesmael-Charlier, 1962 Exemple 1962

18 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 18 Les modèles classiques (rationalistes et « conductivistes ») sont toujours lobjet de critiques, qui, dans la ligne de Rousseau, sappuient sur des arguments dorigines diverses, pédagogiques, médicales ou philosophiques. Les modèles classiques (rationalistes et « conductivistes ») sont toujours lobjet de critiques, qui, dans la ligne de Rousseau, sappuient sur des arguments dorigines diverses, pédagogiques, médicales ou philosophiques. - Léducation nouvelle de John Dewey prône une pédagogie active, lécoute des besoins de l'enfant, le recours au projet: apprendre en faisant... (E.U. 1900). Elle est « pragmatique, expérimentale, volontariste et socialisante ». - Léducation nouvelle de John Dewey prône une pédagogie active, lécoute des besoins de l'enfant, le recours au projet: apprendre en faisant... (E.U. 1900). Elle est « pragmatique, expérimentale, volontariste et socialisante ». Ce mouvement en inspire beaucoup dautres, dès 1918, qui se manifestent par la production de techniques variées : textes et dessins libres (C. Freinet), centres dintérêt (O. Decroly), méthodes fondées sur la psychologie sensori-motrice (A. Montessori), activités collectives (Roger Cousinet) ou individuelles (H. Bouchet ) ou orientées plutôt vers les travaux manuels ou vers les techniques modernes de communication… Ce mouvement en inspire beaucoup dautres, dès 1918, qui se manifestent par la production de techniques variées : textes et dessins libres (C. Freinet), centres dintérêt (O. Decroly), méthodes fondées sur la psychologie sensori-motrice (A. Montessori), activités collectives (Roger Cousinet) ou individuelles (H. Bouchet ) ou orientées plutôt vers les travaux manuels ou vers les techniques modernes de communication… Il apparaît ainsi une grande variété de pratiques proposées aux enseignants avec des arguments rhétoriques et avec des exemples de classes « modèles » ou expérimentales Il apparaît ainsi une grande variété de pratiques proposées aux enseignants avec des arguments rhétoriques et avec des exemples de classes « modèles » ou expérimentales Le contenu intervient peu dans ces débats. Le contenu intervient peu dans ces débats.

19 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 19 Trois questions sensibles en Pour les instituteurs Comment améliorer lapprentissage de la résolution de problèmes? 1. Pour les instituteurs Comment améliorer lapprentissage de la résolution de problèmes? La recherche se concentre à cette époque : - Sur létude des élèves en difficulté, classification des handicaps enseignement individualisé (1934) classification des handicaps enseignement individualisé (1934) - et sur lenseignement de la résolution des problèmes par les procédés classiques : Problèmes types, analogie, discours et répétition (apprentissage behavioriste, Problèmes types, analogie, discours et répétition (apprentissage behavioriste, Lillustration, le matériel etc. (moyens sensorimoteurs) Lillustration, le matériel etc. (moyens sensorimoteurs)

20 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques Pour les responsables des programmes Comment améliorer lorganisation générale des apprentissages mathématiques 2. Pour les responsables des programmes Comment améliorer lorganisation générale des apprentissages mathématiques Elle est fondée à lépoque sur lenchaînement des techniques et sur la décomposition des tâches en sous tâches : - adaptée aux exposés suivis dexercices - mais lourde (répétitive), coûteuse (en vocabulaire, en temps et en échecs), inadaptée aux mathématiques Cette organisation conduit à multiplier les problèmes types pour favoriser la reconnaissance par analogie. Plus leur nombre croît plus lincertitude des élèves augmente. Cette organisation conduit à multiplier les problèmes types pour favoriser la reconnaissance par analogie. Plus leur nombre croît plus lincertitude des élèves augmente. Les mathématiques et une épistémologie scientifique peuvent-elles faire mieux ? Les mathématiques et une épistémologie scientifique peuvent-elles faire mieux ?

21 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques Pour les promoteurs de la réforme. A quelles conditions des réponses à ces questions pourront être tenues pour scientifiquement valides ? 3. Pour les promoteurs de la réforme. A quelles conditions des réponses à ces questions pourront être tenues pour scientifiquement valides ? Quelles connaissances pour déterminer leur objet (les questions, les hypothèses)? Quelles conditions pour la mise en expérience de ces questions (la confrontation à la contingence)? Quelles Méthodes pour établir la consistance et la validité des conclusions? Quelles limites (précautions) pour leur développement? A lépoque, on conçoit seulement un schéma empirique : A lépoque, on conçoit seulement un schéma empirique : Grands principes, I dées générales, /Expérimentations, « évaluation », /Diffusion par lexemple / reproduction, En fait ces processus sont seulement médiatiques, sans contrôle effectif de la valeur scientifique des hypothèses.

22 ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 22 Les mathématiques « modernes » et lenseignement primaire Les raisons et les causes de lextension du mouvement à lécole primaire sont différentes

23 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 23 Mais il était clair que pour lécole primaire, le projet de changer seulement le « contenu » mathématique ne pouvait pas fonctionner car les méthodes pédagogiques traditionnelles étaient critiquées de toutes parts. Mais il était clair que pour lécole primaire, le projet de changer seulement le « contenu » mathématique ne pouvait pas fonctionner car les méthodes pédagogiques traditionnelles étaient critiquées de toutes parts. On pouvait prévoir que les professeurs essaieraient de les changer On pouvait prévoir que les professeurs essaieraient de les changer Mais alors, tenter de résoudre en même temps le problème de la compréhension de lenseignement et de lapprentissage de mathématiques totalement nouvelles, en tenant compte des apports des autres disciplines notamment de lépistémologie, ne pouvait que provoquer la proposition dun très grand nombre de « solutions ». Mais alors, tenter de résoudre en même temps le problème de la compréhension de lenseignement et de lapprentissage de mathématiques totalement nouvelles, en tenant compte des apports des autres disciplines notamment de lépistémologie, ne pouvait que provoquer la proposition dun très grand nombre de « solutions ». Il en résulterait une grande dispersion Il en résulterait une grande dispersion - difficile à accepter pour les responsables de léducation nationale soucieux de son homogénéité, et surtout - difficile à réduire par le processus habituel des concertations entre le genre d« experts » dont on disposait - et a fortiori par des ralliements spontanés au même modèle

24 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 24 Cest sans doute ce qui a poussé les promoteurs de la réforme, et en particulier André Lichnérowicz à envisager la création dInstituts de Recherches sur lEnseignement des Mathématiques. Cest sans doute ce qui a poussé les promoteurs de la réforme, et en particulier André Lichnérowicz à envisager la création dInstituts de Recherches sur lEnseignement des Mathématiques. Il me proposa en 1964 détudier « les conditions limites dune expérience en pédagogie des mathématiques ». Je lui remis en 1968 un « rapport » sur les conditions sociales, matérielles et méthodologiques de lobservation dont je vous parlerai bientôt. Il me proposa en 1964 détudier « les conditions limites dune expérience en pédagogie des mathématiques ». Je lui remis en 1968 un « rapport » sur les conditions sociales, matérielles et méthodologiques de lobservation dont je vous parlerai bientôt. Je rendis public en 1970 une sorte de programme détude des « situations pour lenseignement des mathématiques » avec quelques premiers exemples. Je rendis public en 1970 une sorte de programme détude des « situations pour lenseignement des mathématiques » avec quelques premiers exemples. Lidée des situations sinspirait des dispositifs imaginés par Pierre Gréco pour étudier lapparition spontanée des structures mathématiques chez lenfant. Javais lintention de systématiser la construction de dispositifs appropriés à létude psychologique des nouveaux concepts mathématiques. Lidée des situations sinspirait des dispositifs imaginés par Pierre Gréco pour étudier lapparition spontanée des structures mathématiques chez lenfant. Javais lintention de systématiser la construction de dispositifs appropriés à létude psychologique des nouveaux concepts mathématiques. Les grandes étapes de ce qui sensuivit est lobjet de la vue suivante Les grandes étapes de ce qui sensuivit est lobjet de la vue suivante

25 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 25 La création des IREM et la naissance de la didactique et ma contribution 1964 : 1964 : Grande agitation des mathématiciens et des professeurs réforme de lenseignement à luniversité 1964 : 1964 : Grande agitation des mathématiciens et des professeurs réforme de lenseignement à luniversité Détail personnel: André Lichnérowicz me propose détudier « les conditions limites dune expérience en pédagogie des mathématiques » Détail personnel: André Lichnérowicz me propose détudier « les conditions limites dune expérience en pédagogie des mathématiques » 1968 : Mouvements sociaux, 1968 : Mouvements sociaux, Je remets mon « rapport » sur « les conditions sociales, matérielles et méthodologiques des expériences en pédagogie des mathématiques » au colloque dAmiens : il conclut sur le projet dun IREM Je remets mon « rapport » sur « les conditions sociales, matérielles et méthodologiques des expériences en pédagogie des mathématiques » au colloque dAmiens : il conclut sur le projet dun IREM 1969 : Création des premiers IREM : de la maternelle à luniversité, tous les niveaux sont concernés … 1969 : Création des premiers IREM : de la maternelle à luniversité, tous les niveaux sont concernés … Je publie un programme détude des « situations pour lenseignement des mathématiques ». Le Pr Colmez directeur du nouvel IREM de Bordeaux me confie la mise en œuvre du programme de recherches de léquipe que javais formée depuis Je publie un programme détude des « situations pour lenseignement des mathématiques ». Le Pr Colmez directeur du nouvel IREM de Bordeaux me confie la mise en œuvre du programme de recherches de léquipe que javais formée depuis 1964.

26 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 26 Lenseignement primaire est un terrain plus favorable que dautres aux recherches théoriques et expérimentales sur lenseignement: les aménagements didactiques du savoir y sont plus évidemment nécessaires, plus délicats et moins facilement conformes aux canons traditionnels de lenseignement des mathématiques les aménagements didactiques du savoir y sont plus évidemment nécessaires, plus délicats et moins facilement conformes aux canons traditionnels de lenseignement des mathématiques les connaissances qui y sont traditionnellement enseignées sont fondamentales. Elles sont donc concernées par les nouvelles mathématiques bien que leur origine très ancienne rende leur forme plus différente. les connaissances qui y sont traditionnellement enseignées sont fondamentales. Elles sont donc concernées par les nouvelles mathématiques bien que leur origine très ancienne rende leur forme plus différente. les phénomènes de didactique y sont plus « complexes » et dautant plus visibles. les phénomènes de didactique y sont plus « complexes » et dautant plus visibles. Les conflits épistémologiques y sont moins violents Les conflits épistémologiques y sont moins violents Seule la jeune tradition scolaire et les ressources humaines du primaire permettaient la création des conditions expérimentales nécessaires Seule la jeune tradition scolaire et les ressources humaines du primaire permettaient la création des conditions expérimentales nécessaires Alors que le mouvement prenait lampleur que lon connaît dans le secondaire et dans le supérieur, les instruments nécessaires à des recherches scientifiques cliniques et expérimentales sur la scolarité commune se mettaient en place avec la création du COREM. Alors que le mouvement prenait lampleur que lon connaît dans le secondaire et dans le supérieur, les instruments nécessaires à des recherches scientifiques cliniques et expérimentales sur la scolarité commune se mettaient en place avec la création du COREM.

27 ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 27 Lingénierie didactique Les options fondamentales du centre dobservation et de recherches de lIREM de Bordeaux (COREM)

28 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques La Simulation de lactivité mathématique 1. La Simulation de lactivité mathématique Lenfant apprend à parler sa langue maternelle grâce à des conditions favorables (recherche de coopération, communication, etc.) avant de pouvoir étudier sa grammaire. Ces conditions le conduisent à sexprimer et non pas à citer ou à réciter des textes. Lenfant apprend à parler sa langue maternelle grâce à des conditions favorables (recherche de coopération, communication, etc.) avant de pouvoir étudier sa grammaire. Ces conditions le conduisent à sexprimer et non pas à citer ou à réciter des textes. Pour enseigner les mathématiques il faut donc disposer de conditions qui induisent spontanément chez les élèves des comportements qui ressemblent à ceux des mathématiciens lorsquils créent les mathématiques mais qui sont des expressions Pour enseigner les mathématiques il faut donc disposer de conditions qui induisent spontanément chez les élèves des comportements qui ressemblent à ceux des mathématiciens lorsquils créent les mathématiques mais qui sont des expressions Dans la conception didactique classique ce sont les problèmes qui tiennent ce rôle. Faire des mathématiques, « cest » résoudre des problèmes de mathématiques dit-on. Dans la conception didactique classique ce sont les problèmes qui tiennent ce rôle. Faire des mathématiques, « cest » résoudre des problèmes de mathématiques dit-on. Or si avec les méthodes classiques lenseignement des textes et des algorithmes mathématiques est assez bien réussi, celui des problèmes est moins satisfaisant. Or si avec les méthodes classiques lenseignement des textes et des algorithmes mathématiques est assez bien réussi, celui des problèmes est moins satisfaisant. On peut penser que cest parce que lactivité mathématique est mal représentée par les problèmes traditionnels. On peut penser que cest parce que lactivité mathématique est mal représentée par les problèmes traditionnels.

29 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 29 Les méthodes dapprentissage classiques consistent à exposer le savoir, puis à en faire apprendre le texte, puis à demander la restitution ce texte en réponse à des circonstances voisines. Les méthodes dapprentissage classiques consistent à exposer le savoir, puis à en faire apprendre le texte, puis à demander la restitution ce texte en réponse à des circonstances voisines. Cette restitution ne représente pas bien lactivité mathématique: tout ce qui sécarte du texte et des méthodes enseignées est considéré comme des maladresses ou des erreurs. Cette restitution ne représente pas bien lactivité mathématique: tout ce qui sécarte du texte et des méthodes enseignées est considéré comme des maladresses ou des erreurs. Or lactivité mathématique réelle a abouti à ces textes par des processus beaucoup plus variés, où la production de questions et de connaissances nouvelles avait son prix. Or lactivité mathématique réelle a abouti à ces textes par des processus beaucoup plus variés, où la production de questions et de connaissances nouvelles avait son prix. Ainsi pour les élèves aussi, faire des mathématiques serait poser de nouveaux problèmes, de nouvelles questions en construisant au passage les instruments détude nécessaires Ainsi pour les élèves aussi, faire des mathématiques serait poser de nouveaux problèmes, de nouvelles questions en construisant au passage les instruments détude nécessaires Doù lidée délargir la notion de « problème » centrée sur la construction logique des énoncés mathématiques, à celle plus large de « situation », qui par des propriétés poïétiques*, pourrait susciter une sorte de genèse mathématique des concepts. Doù lidée délargir la notion de « problème » centrée sur la construction logique des énoncés mathématiques, à celle plus large de « situation », qui par des propriétés poïétiques*, pourrait susciter une sorte de genèse mathématique des concepts. * La poïétique a pour objet l'étude des potentialités inscrites dans une situation donnée qui débouche sur une création nouvelle.création

30 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques La chose avant le mot et avant lexplication 2. La chose avant le mot et avant lexplication Traditionnellement, les connaissances étaient introduites dabord verbalement, par leur définition et par leur justification. Traditionnellement, les connaissances étaient introduites dabord verbalement, par leur définition et par leur justification. Sans renoncer à cette possibilité, il semblait utile détudier des dispositifs où le sens pourrait se manifester par des décisions avant dêtre lobjet de formulations et dexplications. Sans renoncer à cette possibilité, il semblait utile détudier des dispositifs où le sens pourrait se manifester par des décisions avant dêtre lobjet de formulations et dexplications. Créer les conditions qui provoquent chez lélève des décisions dont la cause et la raison sont la connaissance à enseigner, donne à cette connaissance une existence concrète qui peut permettre ensuite de lévoquer, de la communiquer et de lexpliquer. Créer les conditions qui provoquent chez lélève des décisions dont la cause et la raison sont la connaissance à enseigner, donne à cette connaissance une existence concrète qui peut permettre ensuite de lévoquer, de la communiquer et de lexpliquer. Examiner, Expliquer, justifier, définir, sont des activités secondes. Elles sont facilitées par lexistence préalable de leur objet sous forme de faits « objectifs », de décisions et de formulations directes. Examiner, Expliquer, justifier, définir, sont des activités secondes. Elles sont facilitées par lexistence préalable de leur objet sous forme de faits « objectifs », de décisions et de formulations directes. Ces conditions ne tendent pas à reproduire les processus historiques, ni les textes qui en résultent. Ce sont des simulations qui donnent aux connaissances le sens finalement retenu par les mathématiciens. Elles avaient lavantage dinviter les novateurs à éviter lintrusion de concepts trop discursifs, accompagnés dun vocabulaire qui ne serait pas soutenu par un usage mathématique. Ces conditions ne tendent pas à reproduire les processus historiques, ni les textes qui en résultent. Ce sont des simulations qui donnent aux connaissances le sens finalement retenu par les mathématiciens. Elles avaient lavantage dinviter les novateurs à éviter lintrusion de concepts trop discursifs, accompagnés dun vocabulaire qui ne serait pas soutenu par un usage mathématique.

31 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques La spécificité des conditions et des processus 3. La spécificité des conditions et des processus Les conditions dapprentissage sont spécifiques de chaque savoir: par exemple on ne compte pas et on ne range pas des objets dans les mêmes conditions ni pour les mêmes raisons. Les conditions dapprentissage sont spécifiques de chaque savoir: par exemple on ne compte pas et on ne range pas des objets dans les mêmes conditions ni pour les mêmes raisons. Les processus de connaissance et dapprentissage trop généraux ou trop particuliers sont finalement plus coûteux et moins efficaces. La construction mathématique est par définition la seule qui soit légitimement « signifiante ». Les processus de connaissance et dapprentissage trop généraux ou trop particuliers sont finalement plus coûteux et moins efficaces. La construction mathématique est par définition la seule qui soit légitimement « signifiante ». Par exemple, limportance démesurée donnée dans lenseignement aux procédés rhétoriques comme la métaphore et plus précisément lanalogie nont finalement quune efficacité locale et passagère. Il en est de même pour la décomposition formelle soi disant « rationnelle » lorsquelle fait disparaître la logique et la fonction du concept. Par exemple, limportance démesurée donnée dans lenseignement aux procédés rhétoriques comme la métaphore et plus précisément lanalogie nont finalement quune efficacité locale et passagère. Il en est de même pour la décomposition formelle soi disant « rationnelle » lorsquelle fait disparaître la logique et la fonction du concept. La question génératrice de la théorie des situations est donc «pourquoi les élèves donneraient-ils la réponse attendue? Ces raisons sont-elles mathématiques? Sont-elles lobjet de lenseignement? Sont-elles optimales?». La question génératrice de la théorie des situations est donc «pourquoi les élèves donneraient-ils la réponse attendue? Ces raisons sont-elles mathématiques? Sont-elles lobjet de lenseignement? Sont-elles optimales?».

32 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques La centration des recherches sur les situations mathématiques utilisées avec les enfants présentait plusieurs avantages… a) aborder directement les difficultés principales de lenseignement traditionnel : celui de la résolution des problèmes b) tenter de répondre à la question essentielle : « Est-ce que pratiquer les mathématiques en mathématicien favorise vraiment leur apprentissage et leur enseignement, par rapport aux méthodes classiques plus formelles et plus périphériques? » c) Laisser les professeurs continuer à utiliser les moyens qui leur sont familiers et qui conviennent souvent à certains objectifs et à certaines conditions sans entreprendre une bataille épistémologique générale prématurée. Il ne sagissait pas pour moi de promouvoir des innovations lucratives en disqualifiant le travail des professeurs mais dobtenir des réponses convaincantes à des questions. Je ne prévoyais pas de faire limpasse sur ce que lexpérience de lenseignement avait accumulé au cours des siècles, mais de le questionner

33 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques … Et quelques inconvénients, entre autres… a) Il fallait admettre que le sens des concepts mathématiques variait suivant les conditions de leur utilisation. En créant de nouvelles situations les professeurs, volontairement ou non, transforment les mathématiques quils enseignent. Lidée que les mathématiques « changent » suivant le contexte paraît choquante pour les mathématiciens. Il convenait détudier ces modifications pour les contrôler et pour les utiliser. Ce phénomène a été étudié plus tard sous le nom de « transposition didactique» b) Lorganisation mathématique des mathématiciens nest donc pas nécessairement la plus adaptée à lapprentissage. Lampleur et la signification des écarts nest pas analysable sans une science expérimentale appropriée ayant pour objet les rapports des sociétés humaines avec les mathématiques. c) Ce genre de travaux navait pas de place dans lorganisation des disciplines, ni en psychologie, ni en pédagogie. Leur responsabilité revenait aux mathématiciens. Nous les avons intitulés : « recherches en ingénierie (mathématique pour la) didactique

34 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 34 Conclusions Il sagissait donc de chercher comment pourraient être construites ces situations propres à stimuler lactivité mathématique des élèves. Il sagissait donc de chercher comment pourraient être construites ces situations propres à stimuler lactivité mathématique des élèves. Certains se sont attachés à donner des exemples dactivités pour apprendre des connaissances fragmentaires autour des apprentissages officiels. Certains se sont attachés à donner des exemples dactivités pour apprendre des connaissances fragmentaires autour des apprentissages officiels. Il sagissait au contraire de pouvoir le faire à propos des notions traditionnellement enseignées, si possible à leur place (et non pas comme des cours additionnels) et avec des résultats au moins aussi bons. Il sagissait au contraire de pouvoir le faire à propos des notions traditionnellement enseignées, si possible à leur place (et non pas comme des cours additionnels) et avec des résultats au moins aussi bons. La suite de ce cours a pour objet de montrer comment la construction de ces situations a été possible et pourquoi. Pour cela je présenterai La suite de ce cours a pour objet de montrer comment la construction de ces situations a été possible et pourquoi. Pour cela je présenterai 1. des exemples de leçons et de curriculums couvrant les parties les plus importantes de lenseignement commun à tous les élèves 1. des exemples de leçons et de curriculums couvrant les parties les plus importantes de lenseignement commun à tous les élèves 2. La définition des principaux concepts théoriques relatifs à la théorie des situations mathématiques et à celles des situations didactiques 2. La définition des principaux concepts théoriques relatifs à la théorie des situations mathématiques et à celles des situations didactiques 3. Les méthodes dobservation que nous avons utilisées pour confronter nos travaux à la contingence. 3. Les méthodes dobservation que nous avons utilisées pour confronter nos travaux à la contingence.

35 ULYSSEintroduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 35 Dans limmédiat, nous allons dabord montrer un exemple de situation propre à faire créer des théorèmes par les élèves, et les études dont elle a été lobjet. (qui dira 20?) Dans limmédiat, nous allons dabord montrer un exemple de situation propre à faire créer des théorèmes par les élèves, et les études dont elle a été lobjet. (qui dira 20?) ensuite nous montrerons comment TOUT énoncé mathématique, théorème ou définition, peut être interprété par des modèles de situations. ensuite nous montrerons comment TOUT énoncé mathématique, théorème ou définition, peut être interprété par des modèles de situations. Nous appliquerons ces principes à la construction dune ébauche appropriée à létude de légalité. Nous appliquerons ces principes à la construction dune ébauche appropriée à létude de légalité. Ces esquisses peuvent être étudiées et améliorées expérimentalement et théoriquement. Ces esquisses peuvent être étudiées et améliorées expérimentalement et théoriquement. Mais notre ingénierie ne prétend pas donner des « modèles » au sens populaire. Elle ne disqualifie a priori aucun procédé, ancien ou nouveau. Mais notre ingénierie ne prétend pas donner des « modèles » au sens populaire. Elle ne disqualifie a priori aucun procédé, ancien ou nouveau. Il est important de noter que nos travaux ont seulement pour objet de nous aider à comprendre lenseignement des mathématiques, pratiqué ou possible, et sa complexité et de faire de son étude un objet de science Il est important de noter que nos travaux ont seulement pour objet de nous aider à comprendre lenseignement des mathématiques, pratiqué ou possible, et sa complexité et de faire de son étude un objet de science Cette science commence à pouvoir prévoir certains phénomènes Cette science commence à pouvoir prévoir certains phénomènes Mais nous ne prétendons pas quelle est assez avancée pour nous permettre de nous aventurer à suggérer des solutions pratiques aux problèmes que nous soulevons. Mais nous ne prétendons pas quelle est assez avancée pour nous permettre de nous aventurer à suggérer des solutions pratiques aux problèmes que nous soulevons.

36 ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques 36 Fin A venir : ID2 : Étude dune situation mathématique ID3 : Exemples de construction de situations : la désignation, légalité, ID4 : le nombre naturel


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