Renaissance de la Didactique des Mathématiques

Présentation au sujet: "Renaissance de la Didactique des Mathématiques"— Transcription de la présentation:

1 Renaissance de la Didactique des Mathématiques
ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

2 Les mathématiques vers 1960
Une évolution ancienne, qui s’accélère… des idées qui envahissent les sciences et les techniques ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

3 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
Le 18ième siècle voit le Calcul différentiel et intégral ouvrir un champ nouveau aux mathématiques qui envahissent l’industrie Le 19ième voit l’algèbre, l’analyse et la logique réorganiser les structures de l’édifice jusqu’à la crise des fondements Le 20ième siècle voit un développement tous azimuts des mathématiques fondamentales et appliquées (qui tendent à se confondre), toutes les sciences demandent et suscitent des développements mathématiques originaux Malgré l’allongement des études, il devient de plus en plus difficile d’assurer des connaissances mathématiques suffisantes pour les acteurs de tous les secteurs d’activités où cela serait nécessaire. ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

4 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
La pression concerne d’abord les formations universitaires et en particulier en mathématiques, la préparation aux grandes écoles Après 1950, toutes les forces vives de la société, les industriels comme les intellectuels, militent pour cette réforme dans le monde entier. Progressivement toutes les disciplines et tous les secteurs de l’enseignement classique: le vocabulaire, les objets de l’étude, la construction des concepts, l’organisation d’ensemble, les méthodes d’enseignement… sont remis en cause, certains mêmes disqualifiés dans l’opinion. Ces projets vont se concrétiser en France à l’occasion des évènements de 1968 ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

5 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
La demande évoluera avec l’apparition de l’informatique qui rend progressivement automatiques les calculs, la gestion et la modélisation dans beaucoup d’activités humaines et par suite, dévalue leur apprentissage . Beaucoup veulent que la réforme ne se limite pas aux études supérieures scientifiques. Elle doit concerner le 2ième cycle de l’enseignement secondaire scientifique. Rapidement on conçoit qu’elle doit s’étendre à tout le secondaire, c.à.d à son tronc commun, le premier cycle et on entrevoit des raisons de l’étendre aussi au primaire Finalement l’ambition de la réforme s’étend « de la maternelle à l’Université » ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

6 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
Cette réforme consiste essentiellement : 1. à réorganiser l’ordre des notions classiques par rapport à l’exposé moderne des mathématiques afin de réformer et d’unifier le vocabulaire 2. à réaliser les cours sur ces nouvelles connaissances 3. à imaginer les exercices et les problèmes correspondants. Ce qui était moins aisé ! … en utilisant si possible les méthodes pédagogiques et les connaissances épistémologiques et psychologiques classiques ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

7 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
Remarque : Adapter ces conceptions et ces méthodes aux nouvelles connaissances venues de toutes les disciplines était considéré par les mathématiciens comme un problème indépendant, qui était l’affaire des professeurs et des psychopédagogues Mais toutes les disciplines proposaient de nouvelles suggestions à l’enseignement et engageaient des recherches à ce sujet ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

8 Le renouveau des mathématiques
Le renouveau des mathématiques pose à l’enseignement des questions - de culture mathématiques - et d’Ingénierie didactique qui vont remonter jusqu’à l’enseignement primaire ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

9 L’enseignement des mathématiques à l’école primaire avant 1960
Une méthodologie traditionnelle sophistiquée mais sans support scientifique ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

10 Des méthodes et une épistémologie stables
Les mathématiques à l’école primaire (6-14 ans) : arithmétique (3h/s), système métrique (1h/s), géométrie (1h/s) pendant 36 semaines L’enseignement de l’arithmétique suit un plan d’ensemble qui est le même depuis plus de 250 ans (ref. Gobain 1711), avec seulement l’ajout du système métrique. La responsabilité du professeur : exposer la même leçon à tous les élèves, donner et corriger des exercices et des problèmes. Assurer des révisions périodiques raisonnables pour les algorithmes fondamentaux pour les usages Les instituteurs ne signalent pas de grandes difficultés dans leur enseignement de l’arithmétique et du calcul, sauf un peu pour les problèmes: les élèves « doués » savent tous les faire parfaitement, les autres se limitent plus ou moins aux exemples standards, certains en restent aux exercices. ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

11 Diverses organisations de manuels
1. Recueil de problèmes pratiques gradués centrés sur les métiers: les algorithmes sont nommés mais pas étudiés à part 2. Les algorithmes simples sont regroupés et quelques notions sont identifiées et montrées à l’occasion de leur usage 3. L’étude des algorithmes et des notions mathématiques devient l’ossature des manuels. Les définitions et les règles deviennent l’objet d’enseignement et d’apprentissage formels (récitation). Exemple, leçon type 1890. 4. Lorsque survient l’étude des structures mathématiques, à la fin des années 60 : les notions sont articulées pour la commodité de leur présentation et de leur compréhension interne. Les exercices se diversifient en rapport avec le cours. Leur rapport classique avec les usages et les pratiques quotidiennes n’est plus assuré. 5. La réaction à partir des années 90. « retour » vers un faux passé ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

12 Plan standard d’une leçon type 1920
La correction des devoirs de la veille Le titre, l’objet de la leçon (ex. mesure de volume pour les bois) L’exposé de la connaissance à apprendre : définition, ou règle, Les questions orales répéter, interroger et commenter l’exposé Les exercices oraux et écrits, contrôlés aussitôt (reproduire) Les exemples d’applications, Le Problème type, Emplois similaires Les commentaires et les questions La correction , Les exercices d’entraînement, ad libitum Les devoirs, E N C L A S A la Maison Il s’agit de l’étude des techniques et de leur applications Les mathématiques sont, au mieux, orales, lors des explications ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

13 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
Exemple (1923) Alix & Bazenant, Arithmétique Bibliothèque d’éducation (1923) ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

14 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

15 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

16 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
Avec des variantes… présentation d’un problème introductif recherche autonome ou recherche guidée de la solution Explication, preuve ou démonstration, Reformulation et confirmation de la validité culturelle Les applications exercices contrôlés par le professeur, Problèmes exercices d’entraînement où la réponse est donnée (auto -enseignements programmés, fichier de calcul de C. Freinet) E N C L A S ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

17 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
Exemple 1962 Ch. Piette, S. Sciulara, R. Berthoul, Arithmétique Moderne, Cours moyen 1- 2, Wesmael-Charlier, 1962 ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

18 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
Les modèles classiques (rationalistes et « conductivistes ») sont toujours l’objet de critiques , qui, dans la ligne de Rousseau, s’appuient sur des arguments d’origines diverses, pédagogiques, médicales ou philosophiques. - L’éducation nouvelle de John Dewey prône une pédagogie active, l’écoute des besoins de l'enfant, le recours au projet: apprendre en faisant... (E.U. 1900). Elle est « pragmatique, expérimentale, volontariste et socialisante ». Ce mouvement en inspire beaucoup d’autres, dès 1918, qui se manifestent par la production de techniques variées : textes et dessins libres (C. Freinet), centres d’intérêt (O. Decroly), méthodes fondées sur la psychologie sensori-motrice (A. Montessori), activités collectives (Roger Cousinet) ou individuelles (H. Bouchet ) ou orientées plutôt vers les travaux manuels ou vers les techniques modernes de communication… Il apparaît ainsi une grande variété de pratiques proposées aux enseignants avec des arguments rhétoriques et avec des exemples de classes « modèles » ou expérimentales Le contenu intervient peu dans ces débats. ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

19 Trois questions sensibles en 1965
1. Pour les instituteurs Comment améliorer l’apprentissage de la résolution de problèmes? La recherche se concentre à cette époque : - Sur l’étude des élèves en difficulté, classification des handicaps  enseignement individualisé (1934) - et sur l’enseignement de la résolution des problèmes par les procédés classiques : Problèmes types, analogie, discours et répétition (apprentissage behavioriste, L’illustration, le matériel etc. (moyens sensorimoteurs) ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

20 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
2. Pour les responsables des programmes Comment améliorer l’organisation générale des apprentissages mathématiques Elle est fondée à l’époque sur l’enchaînement des techniques et sur la décomposition des tâches en sous tâches : - adaptée aux exposés suivis d’exercices - mais lourde (répétitive), coûteuse (en vocabulaire, en temps et en échecs), inadaptée aux mathématiques Cette organisation conduit à multiplier les problèmes types pour favoriser la reconnaissance par analogie. Plus leur nombre croît plus l’incertitude des élèves augmente. Les mathématiques et une épistémologie scientifique peuvent-elles faire mieux ? ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

21 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
3. Pour les promoteurs de la réforme. A quelles conditions des réponses à ces questions pourront être tenues pour scientifiquement valides ? Quelles connaissances pour déterminer leur objet (les questions, les hypothèses)? Quelles conditions pour la mise en expérience de ces questions (la confrontation à la contingence)? Quelles Méthodes pour établir la consistance et la validité des conclusions? Quelles limites (précautions) pour leur développement? A l’époque, on conçoit seulement un schéma empirique : Grands principes, Idées générales, /Expérimentations, « évaluation », /Diffusion par l’exemple / reproduction, En fait ces processus sont seulement médiatiques, sans contrôle effectif de la valeur scientifique des hypothèses. ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

22 Les mathématiques « modernes » et l’enseignement primaire
Les raisons et les causes de l’extension du mouvement à l’école primaire sont différentes ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

23 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
Mais il était clair que pour l’école primaire, le projet de changer seulement le « contenu » mathématique ne pouvait pas fonctionner car les méthodes pédagogiques traditionnelles étaient critiquées de toutes parts. On pouvait prévoir que les professeurs essaieraient de les changer Mais alors, tenter de résoudre en même temps le problème de la compréhension de l’enseignement et de l’apprentissage de mathématiques totalement nouvelles, en tenant compte des apports des autres disciplines notamment de l’épistémologie, ne pouvait que provoquer la proposition d’un très grand nombre de « solutions ». Il en résulterait une grande dispersion - difficile à accepter pour les responsables de l’éducation nationale soucieux de son homogénéité, et surtout - difficile à réduire par le processus habituel des concertations entre le genre d’« experts » dont on disposait - et a fortiori par des ralliements spontanés au même modèle ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

24 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
C’est sans doute ce qui a poussé les promoteurs de la réforme, et en particulier André Lichnérowicz à envisager la création d’Instituts de Recherches sur l’Enseignement des Mathématiques. Il me proposa en 1964 d’étudier « les conditions limites d’une expérience en pédagogie des mathématiques ». Je lui remis en 1968 un « rapport » sur les conditions sociales, matérielles et méthodologiques de l’observation dont je vous parlerai bientôt. Je rendis public en 1970 une sorte de programme d’étude des « situations pour l’enseignement des mathématiques » avec quelques premiers exemples. L’idée des situations s’inspirait des dispositifs imaginés par Pierre Gréco pour étudier l’apparition spontanée des structures mathématiques chez l’enfant. J’avais l’intention de systématiser la construction de dispositifs appropriés à l’étude psychologique des nouveaux concepts mathématiques. Les grandes étapes de ce qui s’ensuivit est l’objet de la vue suivante ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

25 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
La création des IREM et la naissance de la didactique et ma contribution 1964 : 1964 : Grande agitation des mathématiciens et des professeurs réforme de l’enseignement à l’université Détail personnel: André Lichnérowicz me propose d’étudier « les conditions limites d’une expérience en pédagogie des mathématiques » 1968 : Mouvements sociaux, Je remets mon « rapport » sur « les conditions sociales, matérielles et méthodologiques des expériences en pédagogie des mathématiques » au colloque d’Amiens : il conclut sur le projet d’un IREM 1969 : Création des premiers IREM : de la maternelle à l’université, tous les niveaux sont concernés … Je publie un programme d’étude des « situations pour l’enseignement des mathématiques ». Le Pr Colmez directeur du nouvel IREM de Bordeaux me confie la mise en œuvre du programme de recherches de l’équipe que j’avais formée depuis 1964. ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

26 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
L’enseignement primaire est un terrain plus favorable que d’autres aux recherches théoriques et expérimentales sur l’enseignement: les aménagements didactiques du savoir y sont plus évidemment nécessaires, plus délicats et moins facilement conformes aux canons traditionnels de l’enseignement des mathématiques les connaissances qui y sont traditionnellement enseignées sont fondamentales. Elles sont donc concernées par les nouvelles mathématiques bien que leur origine très ancienne rende leur forme plus différente. les phénomènes de didactique y sont plus « complexes » et d’autant plus visibles. Les conflits épistémologiques y sont moins violents Seule la jeune tradition scolaire et les ressources humaines du primaire permettaient la création des conditions expérimentales nécessaires Alors que le mouvement prenait l’ampleur que l’on connaît dans le secondaire et dans le supérieur, les instruments nécessaires à des recherches scientifiques cliniques et expérimentales sur la scolarité commune se mettaient en place avec la création du COREM. ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

27 L’ingénierie didactique
Les options fondamentales du centre d’observation et de recherches de l’IREM de Bordeaux (COREM) ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

28 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
1. La Simulation de l’activité mathématique L’enfant apprend à parler sa langue maternelle grâce à des conditions favorables (recherche de coopération, communication, etc.) avant de pouvoir étudier sa grammaire. Ces conditions le conduisent à s’exprimer et non pas à citer ou à réciter des textes. Pour enseigner les mathématiques il faut donc disposer de conditions qui induisent spontanément chez les élèves des comportements qui ressemblent à ceux des mathématiciens lorsqu’ils créent les mathématiques mais qui sont des expressions Dans la conception didactique classique ce sont les problèmes qui tiennent ce rôle. Faire des mathématiques, « c’est » résoudre des problèmes de mathématiques dit-on. Or si avec les méthodes classiques l’enseignement des textes et des algorithmes mathématiques est assez bien réussi, celui des problèmes est moins satisfaisant. On peut penser que c’est parce que l’activité mathématique est mal représentée par les problèmes traditionnels. ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

29 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
Les méthodes d’apprentissage classiques consistent à exposer le savoir, puis à en faire apprendre le texte, puis à demander la restitution ce texte en réponse à des circonstances voisines. Cette restitution ne représente pas bien l’activité mathématique: tout ce qui s’écarte du texte et des méthodes enseignées est considéré comme des maladresses ou des erreurs. Or l’activité mathématique réelle a abouti à ces textes par des processus beaucoup plus variés, où la production de questions et de connaissances nouvelles avait son prix. Ainsi pour les élèves aussi, faire des mathématiques serait poser de nouveaux problèmes, de nouvelles questions en construisant au passage les instruments d’étude nécessaires D’où l’idée d’élargir la notion de « problème » centrée sur la construction logique des énoncés mathématiques, à celle plus large de « situation », qui par des propriétés poïétiques*, pourrait susciter une sorte de genèse mathématique des concepts. * La poïétique a pour objet l'étude des potentialités inscrites dans une situation donnée qui débouche sur une création nouvelle. ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

30 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
2. La chose avant le mot et avant l’explication Traditionnellement, les connaissances étaient introduites d’abord verbalement, par leur définition et par leur justification. Sans renoncer à cette possibilité, il semblait utile d’étudier des dispositifs où le sens pourrait se manifester par des décisions avant d’être l’objet de formulations et d’explications. Créer les conditions qui provoquent chez l’élève des décisions dont la cause et la raison sont la connaissance à enseigner, donne à cette connaissance une existence concrète qui peut permettre ensuite de l’évoquer, de la communiquer et de l’expliquer. Examiner, Expliquer, justifier, définir, sont des activités secondes. Elles sont facilitées par l’existence préalable de leur objet sous forme de faits « objectifs », de décisions et de formulations directes. Ces conditions ne tendent pas à reproduire les processus historiques, ni les textes qui en résultent. Ce sont des simulations qui donnent aux connaissances le sens finalement retenu par les mathématiciens. Elles avaient l’avantage d’inviter les novateurs à éviter l’intrusion de concepts trop discursifs, accompagnés d’un vocabulaire qui ne serait pas soutenu par un usage mathématique. ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

31 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
3. La spécificité des conditions et des processus Les conditions d’apprentissage sont spécifiques de chaque savoir: par exemple on ne compte pas et on ne range pas des objets dans les mêmes conditions ni pour les mêmes raisons. Les processus de connaissance et d’apprentissage trop généraux ou trop particuliers sont finalement plus coûteux et moins efficaces. La construction mathématique est par définition la seule qui soit légitimement « signifiante ». Par exemple, l’importance démesurée donnée dans l’enseignement aux procédés rhétoriques comme la métaphore et plus précisément l’analogie n’ont finalement qu’une efficacité locale et passagère. Il en est de même pour la décomposition formelle soi disant « rationnelle » lorsqu’elle fait disparaître la logique et la fonction du concept. La question génératrice de la théorie des situations est donc «pourquoi les élèves donneraient-ils la réponse attendue? Ces raisons sont-elles mathématiques? Sont-elles l’objet de l’enseignement? Sont-elles optimales?». ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

32 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
4. La centration des recherches sur les situations mathématiques utilisées avec les enfants présentait plusieurs avantages… a) aborder directement les difficultés principales de l’enseignement traditionnel : celui de la résolution des problèmes b) tenter de répondre à la question essentielle : « Est-ce que pratiquer les mathématiques en mathématicien favorise vraiment leur apprentissage et leur enseignement, par rapport aux méthodes classiques plus formelles et plus périphériques? » c) Laisser les professeurs continuer à utiliser les moyens qui leur sont familiers et qui conviennent souvent à certains objectifs et à certaines conditions sans entreprendre une bataille épistémologique générale prématurée. Il ne s’agissait pas pour moi de promouvoir des innovations lucratives en disqualifiant le travail des professeurs mais d’obtenir des réponses convaincantes à des questions. Je ne prévoyais pas de faire l’impasse sur ce que l’expérience de l’enseignement avait accumulé au cours des siècles, mais de le questionner ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

33 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
5. … Et quelques inconvénients, entre autres… a) Il fallait admettre que le sens des concepts mathématiques variait suivant les conditions de leur utilisation. En créant de nouvelles situations les professeurs, volontairement ou non, transforment les mathématiques qu’ils enseignent. L’idée que les mathématiques « changent » suivant le contexte paraît choquante pour les mathématiciens. Il convenait d’étudier ces modifications pour les contrôler et pour les utiliser. Ce phénomène a été étudié plus tard sous le nom de « transposition didactique» b) L’organisation mathématique des mathématiciens n’est donc pas nécessairement la plus adaptée à l’apprentissage. L’ampleur et la signification des écarts n’est pas analysable sans une science expérimentale appropriée ayant pour objet les rapports des sociétés humaines avec les mathématiques. c) Ce genre de travaux n’avait pas de place dans l’organisation des disciplines, ni en psychologie, ni en pédagogie. Leur responsabilité revenait aux mathématiciens. Nous les avons intitulés : « recherches en ingénierie (mathématique pour la) didactique ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

34 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
Conclusions Il s’agissait donc de chercher comment pourraient être construites ces situations propres à stimuler l’activité mathématique des élèves. Certains se sont attachés à donner des exemples d’activités pour apprendre des connaissances fragmentaires autour des apprentissages officiels. Il s’agissait au contraire de pouvoir le faire à propos des notions traditionnellement enseignées, si possible à leur place (et non pas comme des cours additionnels) et avec des résultats au moins aussi bons. La suite de ce cours a pour objet de montrer comment la construction de ces situations a été possible et pourquoi. Pour cela je présenterai 1. des exemples de leçons et de curriculums couvrant les parties les plus importantes de l’enseignement commun à tous les élèves 2. La définition des principaux concepts théoriques relatifs à la théorie des situations mathématiques et à celles des situations didactiques 3. Les méthodes d’observation que nous avons utilisées pour confronter nos travaux à la contingence. ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

35 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
Dans l’immédiat, nous allons d’abord montrer un exemple de situation propre à faire créer des théorèmes par les élèves, et les études dont elle a été l’objet. (qui dira 20?) ensuite nous montrerons comment TOUT énoncé mathématique, théorème ou définition, peut être interprété par des modèles de situations. Nous appliquerons ces principes à la construction d’une ébauche appropriée à l’étude de l’égalité. Ces esquisses peuvent être étudiées et améliorées expérimentalement et théoriquement. Mais notre ingénierie ne prétend pas donner des « modèles » au sens populaire. Elle ne disqualifie a priori aucun procédé, ancien ou nouveau. Il est important de noter que nos travaux ont seulement pour objet de nous aider à comprendre l’enseignement des mathématiques, pratiqué ou possible, et sa complexité et de faire de son étude un objet de science Cette science commence à pouvoir prévoir certains phénomènes Mais nous ne prétendons pas qu’elle est assez avancée pour nous permettre de nous aventurer à suggérer des solutions pratiques aux problèmes que nous soulevons. ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques

36 introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques
Fin A venir : ID2 : Étude d’une situation mathématique ID3 : Exemples de construction de situations : la désignation, l’égalité, ID4 : le nombre naturel ULYSSE introduction 2 Renaissance de la didactique des mathématiques