Unité #2 Analyse numérique matricielle Giansalvo EXIN Cirrincione.

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1 unité #2 Analyse numérique matricielle Giansalvo EXIN Cirrincione

2 Les deux problèmes fondamentaux
Résolution d’un système linéaire A u = b Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres d’une matrice Les deux problèmes fondamentaux

3 Résolution d’un système linéaire
Méthodes directes Résolution d’un système linéaire A u = b erreurs d’arrondi Méthodes itératives erreur de troncature

4 Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres d’une matrice
Compagne du polynôme Théorème de Abel Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres d’une matrice Méthodes itératives !

5 Conditionnement d’un système linéaire

6 Conditionnement d’un système linéaire

7 Conditionnement d’un système linéaire

8 Conditionnement d’un système linéaire

9 Conditionnement d’un système linéaire

10 Conditionnement d’un système linéaire

11 Conditionnement d’un système linéaire

12 Conditionnement d’un système linéaire
Un système linéaire Au = b est autant mieux conditionné que le nombre cond (A) est voisin de 1.

13 Conditionnement d’un système linéaire

14 Conditionnement d’un système linéaire
Un petit résidu peut correspondre à une grande erreur sur la solution

15 Conditionnement d’un système linéaire
Un petit résidu peut correspondre à une grande erreur sur la solution

16 Conditionnement d’un système linéaire

17 Conditionnement d’un système linéaire
A normale

18 Conditionnement d’un système linéaire
A normale

19 Conditionnement d’un système linéaire
Matrice de Hilbert

20 Conditionnement d’un problème de valeurs propres

21 Théorème de Bauer-Fike
Conditionnement d’un problème de valeurs propres Théorème de Bauer-Fike Soit A une matrice diagonalisable, P une matrice telle que et || • || une norme matricielle telle que pour toute matrice diagonale. Alors, pour toute matrice A, C’est le conditionnement de la matrice de passage à une matrice diagonale qui intervient !

22 calcul de ses valeurs propres
Conditionnement d’un problème de valeurs propres Si A est une matrice diagonalisable, conditionnement de A relativement au calcul de ses valeurs propres

23 Conditionnement d’un problème de valeurs propres
Si A est une matrice diagonalisable, Les matrices normales sont très bien conditionnées pour le problème des valeurs propres.

24 Conditionnement d’un problème de valeurs propres
Les matrices normales sont très bien conditionnées pour le problème des valeurs propres.

25 Approximation par les moindres carrées
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples Approximation par les moindres carrées regression

26 Approximation par les moindres carrées
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples Approximation par les moindres carrées moon fit

27 regression non linéare
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples Approximation par les moindres carrées regression linéare regression non linéare

28 Approximation par les moindres carrées
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples Approximation par les moindres carrées regression linéare

29 Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples
Soit wj , 1  j  n (n < m) un ensemble de n fonctions réelles linéairement indépendantes, définies sur un ensemble contenant les points xj . Le problème consiste à déterminer une fonction telle que les égalités U(xi) , 1  i  n , soient approchées « au mieux ».

30 Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples
ordinary least squares data least squares total least squares

31 Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples
On cherche une fonction U qui rend minimum le nombre : Équations normales

32 système mécanique à deux degrés de liberté
Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples système mécanique à deux degrés de liberté m1 m2 f(t) k1 k2 x1(t) x2(t) Seconde loi de Newton Écriture matricielle

33 Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples
système mécanique à deux degrés de liberté m1 m2 f(t) k1 k2 x1(t) x2(t) Le comportement des deux ressorts est découplé - si l’on admet que les deux valeurs propres sont positives, il existe deux pulsations propres caractérisant le système. fréquences de résonance

34 Origine des problèmes de l’analyse numérique matricielle : exemples
système mécanique à deux degrés de liberté 0.5 1 1.5 2 2.5 4 6 8 10 fréquence excitatrice a Module de l'amplitude de la réponse Amplitude de la réponse d’un système oscillant fréquences de résonance

35 FINE